王玉輝

摘 要： 作者結(jié)合在高職院校中《高等數(shù)學》課程的教學實踐，探討如何通過微積分三大概念——極限、導數(shù)、積分的引進和建立，揭示高等數(shù)學思想方法——局部“以直代曲”，整體“近似代替精確”等，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學能力 以直代曲 近似代替精確

數(shù)學能力是一種特殊的能力，它包括運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析、解決實際問題的能力，分析和解決問題的能力是指運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，它是以前三者為其結(jié)構(gòu)成分的綜合能力。

下面結(jié)合筆者在高職院校中《高等數(shù)學》課程的教學實踐談談如何通過微積分三大概念——極限、導數(shù)、積分的引進和建立過程揭示以直代曲、由常量到變量、有限到無限、具體到抽象、局部到整體的辯證的思維過程與思想方法，進而培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

1.極限思想

極限概念是微積分中最基本的概念，微積分中幾乎所有的概念，如導數(shù)、積分都是用極限概念表達的，是特定過程、特定形式的極限，極限方法貫穿于微積分的始終。

我國魏晉時杰出數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”就含有樸素的極限思想，是極限思想的具體體現(xiàn)，所以在極限概念教學時，我引導學生采用“割圓術(shù)”求圓面積滲透極限思想，具體做法如下。

（1）解釋劉徽的“割圓術(shù)”。

（2）作圓內(nèi)接正多邊形，教師指出由直線圍成的正多邊形面積，它不能代替曲線（圓）圍成的面積，怎樣解決這一問題呢？

（3）學生經(jīng)過思考會總結(jié)出：如果正多邊形邊數(shù)n無限增大就會發(fā)生質(zhì)的飛躍，正多邊形變成圓，正多邊形面積變成了圓面積。

采取以上講解過程，會很好地幫助學生理解數(shù)列極限定義，體會到極限定義中蘊含著的量變向質(zhì)變轉(zhuǎn)化的辯證思想，初步認識“以直代曲”，“從有限到無限”，“由近似求精確”這種有別于初等數(shù)學的全新的數(shù)學方法和思想。而這種極限的思想對今后微積分其他概念的建立，對提高學生邏輯思維能力，進而提高分析和解決問題的能力有非常大的幫助。

2.微分思想

微分學是從數(shù)量關(guān)系上描述物質(zhì)運動的數(shù)學工具，基本概念是導數(shù)與微分。

在導數(shù)概念教學中，我設(shè)計了幾個問題引導學生運用極限概念中體現(xiàn)的辯證思維形式研究討論，解決引出導數(shù)概念的例題：求變速直線運動的瞬時速度。

（1）怎樣把非勻速直線運動轉(zhuǎn)化為勻速直線運動研究？即“以勻代不勻”，“以常量代變量”。

學生通過探索，發(fā)現(xiàn)直接“以勻代不勻”，用平均速度代瞬時速度，誤差會很大，聯(lián)想到求圓面積的思想方法和研究極限概念的思路，考慮到若把時間段分割成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上“以勻代不勻”，用平均速度代瞬時速度誤差較小。

（2）怎樣把小區(qū)間內(nèi)的平均速度轉(zhuǎn)化為某一時刻的瞬時速度呢？

學生探索的結(jié)果是縮小區(qū)間，但每一次縮小后仍然是平均速度，要把平均速度轉(zhuǎn)化為某一時刻的瞬時速度，必須令△t→0，即必須使用極限的手段才能有質(zhì)的飛躍。當△t→0時，→定值，從而得到非勻速直線運動某一時刻的瞬時速度。

（3）師生共同討論小結(jié)，得出解決這類問題的思路：研究變量在某一點的變化率問題要使用分割的方法，在小區(qū)間內(nèi)用常量代替變量；再施以極限的手段，使小區(qū)間無限變小得到新的常量，最后得到變量在某一點的定量描述。在幾何意義上，這個過程是直與曲的轉(zhuǎn)化，在數(shù)量關(guān)系上，就是近似與精確的轉(zhuǎn)化。

3.積分思想

用與微分同樣的思路建立定積分概念時，學生已能夠熟練地把曲邊梯形“化整為零”，然后再“積零為整”。通過求一個新型的極限，即求和式當n→∞時的極限來定義定積分了。主要引導學生按以下步驟求由閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)曲線y=f（x）≥0，直線x=a，x=b與x軸能圍成的曲邊梯形面積。

（1）分割（化整為零）；（2）近似代替；（3）求和（積零為整）；（4）極限求精。

以上教學，不僅使學生初步理解掌握了極限、導數(shù)、定積分的定義，更重要的是在整個教學過程中揭示了高等數(shù)學的思想方法，培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力，分析、解決問題的能力，以及受益終身的數(shù)學能力。