李群

摘 要： 行列式因其規(guī)律性和計(jì)算的技巧性一直是高等代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)問題.范德蒙行列式是一種特殊形式的行列式.本文主要通過例題的形式探討了范德蒙行列式在多項(xiàng)式證明中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 范德蒙行列式 多項(xiàng)式 應(yīng)用

在高等代數(shù)中，有關(guān)多項(xiàng)式的證明是一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，而線性方程組則是一個(gè)相對(duì)比較簡(jiǎn)單的問題.所以對(duì)于多項(xiàng)式中的某些問題，我們采用了轉(zhuǎn)換的思想把它轉(zhuǎn)換成線性方程組的情況，并且對(duì)該線性方程組的系數(shù)行列式進(jìn)行變換，以便化成范德蒙行列式的形式，這樣在證明中就能取得事半功倍的效果.

形如D = 1 1 1 … 1 a a a … a a a a … a … … … … …a a a … a a a a … a

的行列式被稱為n級(jí)范德蒙（Vandermonde）行列式，其值是 （a -a ），可以看出范德蒙行列式的結(jié)果既明確又簡(jiǎn)潔.

下面通過兩個(gè)例子看一下如何利用范德蒙行列式證明多項(xiàng)式中的問題.

例1：已知多項(xiàng)式g（x）=m +m x+…+m x ，證明：g（x）有n+1個(gè)互不相同的根，那么g（x）=0.

分析：要證g（x）=0，只需得到多項(xiàng)式g（x）中的系數(shù)全為0，換個(gè)角度就是構(gòu)造一個(gè)以多項(xiàng)式g（x）的系數(shù)為未知量的齊次線性方程組，證明其只有零解.

證明：因?yàn)槎囗?xiàng)式g（x）有n+1個(gè)互不相同的根，不妨設(shè)為x ，x ，…，x ，則g（x ）=0，i=1，2，…，n+1，從而得如下齊次線性方程組：

m +m x +m x +…+m x =0m +m x +m x +…+m x =0 … …m +m x +m x +…+m x =0

把看成未知量，則它的系數(shù)行列式為范德蒙行列式，即

D= 1 x x … x 1 x x … x … … … … 1 x x … x = （x -x ）=0

再由克萊姆（Cramer）法則可知，這個(gè)方程組有零解，即m =m =Λ=m =0，從而g（x）=0.

例2：設(shè)（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ）是平面上的n個(gè)點(diǎn)，它們/的橫坐標(biāo)是互不相同的，證明有且只有一個(gè)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式能通過這n個(gè)點(diǎn).

分析：對(duì)于這類題型首先設(shè)出一個(gè)次數(shù)小于n多項(xiàng)式，然后證明滿足題目要求的多項(xiàng)式的系數(shù)存在且具有唯一性即可.

證明：設(shè)多項(xiàng)式g（z）=a +a z+…+a z +a z ，若多項(xiàng)式g（z）能通過這n個(gè)點(diǎn)，即g（x ）=y ，（1≤i≤n），從而可得如下線性方程組：

a +a x +…+a x +a x =y a +a x +…+a x +a x =y …a +a x +…+a x +a x =y

把a(bǔ) ，a ，…，a 看成未知量，則其系數(shù)行列式為范德蒙行列式，且

D= 1 x … x x 1 x … x x … … … … 1 x … x x = （x -x ）≠0

由克拉默法則，此線性方程組就有唯一的非零解，即多項(xiàng)式g（z）的系數(shù)是唯一確定的，所以有且只有一個(gè)多項(xiàng)式能通過該平面上的這個(gè)點(diǎn).

范德蒙（Vandermonde）行列式是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的工具.把范德蒙行列式與多項(xiàng)式聯(lián)系，更能體現(xiàn)不同方面數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.巧妙地運(yùn)用范德蒙行列式能事半功倍地解決多項(xiàng)式的證明問題.

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