鄒小英

摘 要： 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是現(xiàn)代文化的重要組成部分，其教育價(jià)值不亞于知識(shí)本身。在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)“精心預(yù)設(shè)”、“呈現(xiàn)過(guò)程”、“解決問(wèn)題”、“反思總結(jié)”四個(gè)途徑滲透數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化課堂教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想 挖掘 體驗(yàn) 運(yùn)用 內(nèi)化

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是現(xiàn)代文化的重要組成部分，其教育價(jià)值不亞于知識(shí)本身。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出：“學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的總體目標(biāo)明確提出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能夠獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。新課程把基本的數(shù)學(xué)思想作為目標(biāo)的重要組成部分，并在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出來(lái)，可見(jiàn)數(shù)學(xué)思想的重要性。那么，在平時(shí)的教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想，才能讓學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)和掌握，達(dá)到優(yōu)化課堂教學(xué)的目的呢？我結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)勛约旱淖龇ā?/p>

一、精心預(yù)設(shè)，挖掘思想

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容貫穿著兩條主線：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是一條明線，直接用文字的形式寫(xiě)在教材里；數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，存在于具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，是借助數(shù)學(xué)知識(shí)為載體呈現(xiàn)出來(lái)的，是隱性的“知識(shí)”，需要加以分析、提煉才能凸顯出來(lái)。這就要求教師鉆研教材，認(rèn)真?zhèn)湔n，挖掘每一堂課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)設(shè)計(jì)中將數(shù)學(xué)思想方法直接預(yù)設(shè)到各個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)并展示給學(xué)生。

案例1：“不等式的概念”的教學(xué)片段

問(wèn)題下列問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系能用等式表示嗎？若不能，應(yīng)該用怎樣的式子表示？

（1）a是負(fù)數(shù)；

（2）4支單價(jià)為a元的筆記本總價(jià)錢(qián)為12元；

（3）據(jù)天氣預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，明天最低溫度為6（℃），設(shè)明天的氣溫為t（℃），怎樣表示t與6的關(guān)系？

（4）圖為公路上對(duì)汽車(chē)的限速標(biāo)志，表示汽車(chē)在該路段行駛的速度不得超過(guò)60㎞/h，用（㎞/h）表示汽車(chē)的速度，怎樣表示和60之間的關(guān)系？

（5）一輛勻速行駛的汽車(chē)在11﹕20距離A地50千米，要在12﹕00之前駛過(guò)A地，車(chē)速應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（設(shè)車(chē)速為千米/小時(shí)）

師生活動(dòng)得出答案：（1）a<0 （2）4a=12 （3）t≥6 （4）v≤60（5）x>50

【說(shuō)明】既出現(xiàn)用“等式”表示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，又出現(xiàn)用“不等式”表示實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，初步感受不等式也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)模型思想與分類(lèi)思想。

追問(wèn)1：上述式子中，哪些是我們學(xué)習(xí)過(guò)的式子，它們叫什么名字？哪些是我們沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的式子，你能給它們?nèi)€(gè)名字嗎？

追問(wèn)2：類(lèi)比等式的定義，你能給不等式下定義嗎？

追問(wèn)3：你能說(shuō)說(shuō)你所見(jiàn)過(guò)的“不等號(hào)”嗎？

師生活動(dòng)：不等式的概念為“用不等號(hào)連接表示大小關(guān)系的式子叫做不等式”。

【說(shuō)明】通過(guò)追問(wèn)，學(xué)生自然地將式子分為“等式”和“不等式”兩類(lèi)，類(lèi)比“等式”的概念自主構(gòu)建“不等式”的概念，體會(huì)“不等式”是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界不可或缺的模型。

教材中概念的給出較直接和抽象，這個(gè)教學(xué)中教師以問(wèn)題為載體，通過(guò)精心地預(yù)設(shè)和適時(shí)地點(diǎn)撥引導(dǎo)，不知不覺(jué)地將數(shù)學(xué)思想方法融入教學(xué)，即通過(guò)分析幾個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題抽象出不等式概念的過(guò)程，滲透類(lèi)比、分類(lèi)、模型的思想方法。這些思想方法不是生搬硬套地塞給學(xué)生，而是水到渠成地揭示，這樣的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是自然的。

二、呈現(xiàn)過(guò)程，體驗(yàn)思想

數(shù)學(xué)概念的形成，定理、公式、法則的探索過(guò)程，習(xí)題的解答過(guò)程都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生只看教材內(nèi)容，不易發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)中教師要以組織者的身份引導(dǎo)學(xué)生，充分展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，營(yíng)造寬松和諧的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦積極參與探究過(guò)程，使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的意義和作用。

案例2：“多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)片斷：

師：三角形的內(nèi)角和等于180°，正方形的內(nèi)角和等于360°，那么任意四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？證明你的結(jié)論。

生1：360°。如圖1，連接一條對(duì)角線，四邊形分成兩個(gè)三角形，內(nèi)角和是2×180°=360°。

圖1

師：很好！利用化歸思想把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決。

師：類(lèi)比四邊形內(nèi)角和的推導(dǎo)方法，你能求出五邊形、六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？

生2：如圖2，過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引2條對(duì)角線，把五邊形分成3個(gè)三角形，內(nèi)角和是3×180°=540°。

生3：如圖3，過(guò)六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引3條對(duì)角線，把六邊形分成4個(gè)三角形，內(nèi)角和是4×180°=720°。

師：很棒！通過(guò)以上問(wèn)題，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢？

生4：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，把n邊形分成（n-2）個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°（n≥3）。

師：利用剛才的思路，把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，還有其他方法嗎？以六邊形為例。

生5：如圖4，可以在六邊形的內(nèi)部任取一點(diǎn)，分成六個(gè)三角形，這時(shí)多了一個(gè)周角，因此內(nèi)角和為：6×180°-360°=720°。

生6：如圖5，可以在六邊形的任一條邊上取一點(diǎn)，分成五個(gè)三角形，這時(shí)多了一個(gè)平角，因此內(nèi)角和為：5×180°-180°=720°。

師：同學(xué)們思維很敏捷，上面給出分割的方法都很好，這三種分割方法有什么相同點(diǎn)和異同點(diǎn)？

生7：相同點(diǎn)是三種分割方法都把多邊形分成幾個(gè)三角形，再利用三角形的內(nèi)角和求得；不同點(diǎn)是取點(diǎn)的位置不同，把點(diǎn)分別取在六邊形的頂點(diǎn)上、內(nèi)部、邊上。

若是教師直接給出公式，再配套相應(yīng)的題目予以鞏固，從應(yīng)試的角度出發(fā)，則效果一定不差，但數(shù)學(xué)思想無(wú)法呈現(xiàn)和發(fā)展。學(xué)生在親身經(jīng)歷的探索思考過(guò)程中感受和體驗(yàn)到重要的數(shù)學(xué)思想：化歸、類(lèi)比、分類(lèi)討論等思想，經(jīng)歷從特殊到一般的歸納方法。

三、解決問(wèn)題，運(yùn)用思想

數(shù)學(xué)的教學(xué)離不開(kāi)解題，數(shù)學(xué)思想是解題的法寶。數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是解題技能和數(shù)學(xué)思想方法的選擇和運(yùn)用的過(guò)程。隨著同一種思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題的次數(shù)增多，學(xué)生不斷提煉和積累解題的思想方法，隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)后面的數(shù)學(xué)思想方法就會(huì)逐漸被學(xué)生所掌握，進(jìn)而形成運(yùn)用思想方法進(jìn)行思維的意識(shí)和習(xí)慣，當(dāng)積累到一定的程度時(shí)，其隱藏的思想方法就會(huì)隨之凸顯出來(lái)，并自覺(jué)指導(dǎo)解題實(shí)踐。教師要從題海中選擇典型的試題，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，讓學(xué)生從解題過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，解題之后引導(dǎo)學(xué)生理清思路，及時(shí)歸納，在運(yùn)用中獲得發(fā)展。

案例3：等腰三角形的有關(guān)計(jì)算：

（1）若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm，且一邊長(zhǎng)為4cm，則它的腰長(zhǎng)是多少？

（2）若等腰三角形的一個(gè)外角為100°，則它的頂角為多少度？

（3）若等腰三角形一腰上的高與腰長(zhǎng)之比為1：2，則它的頂角為多少度？

等腰三角形邊、角計(jì)算問(wèn)題運(yùn)用分類(lèi)討論的思想，邊：分類(lèi)為腰或底；角：分類(lèi)為頂角或底角；高：分類(lèi)為高在三角形內(nèi)部或外部。

此題所給條件限制較多，直接化簡(jiǎn)較難，借助數(shù)軸運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，所給條件直觀化，整個(gè)化簡(jiǎn)過(guò)程簡(jiǎn)便多了。常借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行有關(guān)絕對(duì)值的計(jì)算。

四、反思總結(jié)，內(nèi)化思想

數(shù)學(xué)思想方法是通過(guò)教學(xué)過(guò)程逐步滲透的，零散地分布在教學(xué)內(nèi)容中，同一數(shù)學(xué)思想也許今天滲透了明天就沒(méi)有，也許這一單元有的思想方法下一單元沒(méi)有，它的教學(xué)是間斷不連續(xù)的，是零散不系統(tǒng)的。我們可以通過(guò)解題后的回顧、課堂小結(jié)、單元復(fù)習(xí)、總復(fù)習(xí)進(jìn)行歸納與總結(jié)，使零散的思想方法系統(tǒng)化，并逐步內(nèi)化為解題思維，以便學(xué)生在學(xué)習(xí)中自覺(jué)遷移和應(yīng)用。1.解題后引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路、運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法。2.歸納某一數(shù)學(xué)思想方法貫穿于哪些知識(shí)之間，如方程（組）的學(xué)習(xí)運(yùn)用化歸思想，分式方程化歸為整式方程，一元二次方程化歸為一元一次方程，三元一次方程組化歸為二元一次方程組再化歸為一元一次方程，即把分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程一元化；一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合。3.某一部分知識(shí)可以滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法，如生活中用料造價(jià)、最佳投資、最小成本、方案最優(yōu)等數(shù)學(xué)問(wèn)題，常用方程和函數(shù)思想解決。

由于同一數(shù)學(xué)知識(shí)可蘊(yùn)含不同的思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想又常常分布在不同的知識(shí)點(diǎn)中，因此經(jīng)常反思總結(jié)，有助于形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生內(nèi)化思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法的滲透是長(zhǎng)期的、漸漸的、反復(fù)的過(guò)程，只要教師有目的、有意識(shí)、主動(dòng)地把數(shù)學(xué)思想方法融入教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)一定會(huì)日趨成熟，學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)定會(huì)得到提高。

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