數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊鎰濤 郝楠楠

【摘要】作為在高中階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程，相比其他兩門語言類學(xué)科，數(shù)學(xué)要求學(xué)生在充分運用數(shù)學(xué)思維方法的基礎(chǔ)上解決相關(guān)習(xí)題.筆者根據(jù)自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的切身體會，整理了一套有關(guān)利用數(shù)學(xué)思想解決高中數(shù)學(xué)中不同類型習(xí)題的思維方法，希望對大家的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 ；習(xí)題解答 ；高中；應(yīng)用

為了提高自己的數(shù)學(xué)成績，筆者在對數(shù)學(xué)解題思路的探究過程中，整理出了一套數(shù)學(xué)思想解題方法，并實現(xiàn)了數(shù)學(xué)成績的穩(wěn)固提升.本文將有關(guān)數(shù)學(xué)解題中需要運用的思維方法給大家進(jìn)行一個簡單的整理，希望能給諸位在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供一些有用的解題思路.

一、不等式在數(shù)學(xué)解題中的運用

不等式是這幾年高考的重點，對不等式解題思路的學(xué)習(xí)不僅可以解決集合、線性規(guī)劃、函數(shù)題目、取值范圍、最值等數(shù)學(xué)問題，還能夠為進(jìn)一步為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1.利用不等式解決函數(shù)最值問題

在高考考查范圍內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值一直作為重點難點考查的.對函數(shù)的最值的求解方式也很多，在相當(dāng)?shù)囊徊糠诸}目求解時采用不等式的方法，能夠開闊學(xué)生的解題思路：例如已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.針對這種題目，大多數(shù)情況下會用函數(shù)的單調(diào)性原理進(jìn)行解題，但如果我們應(yīng)用均值不等式會發(fā)現(xiàn)解答起來既簡單又快速.

2.利用不等式解決參數(shù)取值問題

通常情況下在解題過程中我們很容易簡單的進(jìn)行參數(shù)等價化簡，使得它獨自處在不等式的一邊，則在另一邊通常會化成含有變量 x 的關(guān)系式方程：（1）當(dāng)a≥f（x）的恒成立問題，可等價于求f（x）的最大值，證明a≥f（x）max即可.（2）當(dāng)a≤f（x）的恒成立問題，可等價于求f（x）的最小值，證明a≤f（x）max即可.

3.不等式在線性規(guī)劃中的解答思路

在線性規(guī)劃問題的解決中時最首先需要注意的就是可行域了，在對其的求解中可行域的畫出是其中的關(guān)鍵.

具體習(xí)題解析：已知f（x）=|x-2|-|x-5|，若關(guān)于x的不等式f（x）≥k有解，求k的最大值.

解法一：有f（x）=|x-2|-|x-5|得，-3≤f（x）≤3.

∵f（x）max≥k，∴k≤3.

解法二：由幾何意義得：-3≤|x-2|-|x-5|≤3，∴k≤3.

二、分類討論思想高中數(shù)學(xué)中的解題的應(yīng)用

分類討論的思想在高中數(shù)學(xué)的解題過程中應(yīng)用非常廣泛，含參數(shù)的問題大致分為兩種類型：一類是根據(jù)參數(shù)的取值范圍，尋求命題有可能出現(xiàn)的結(jié)果，最終得出命題的結(jié)論；另一類是根據(jù)給定命題的相關(guān)結(jié)論，尋找參數(shù)的應(yīng)滿足的具體條件或者相應(yīng)的取值范圍.

1.分類原理

數(shù)學(xué)思想的具體分類原理，就是把一個集合A分成若干個非空真子集Ai（i=1，2，3，…，n）（n ≥ 2，n ∈ N+），具體的分類必須需要具備兩個要點：首先要確保對子集分類沒有遺漏，二是保證分類之間沒有重復(fù)，做到“不重不漏”.

2.分類標(biāo)準(zhǔn)

解題中在確立分類討論的對象后，以何種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類是采取這種方法解決數(shù)學(xué)問題的前提.在通常情況下，分類的標(biāo)準(zhǔn)主要有三個：概念、定理、解題需要.

例1 求函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-2 的值域.

解 得出函數(shù)y=│x+1│+│x-2│-2的零點是 x=-1和x=2.

∴以 -1和 2 作為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，將定義域分為三類進(jìn)行討論.

得出y=-2x-1 （x≤-1）

1（-1≤x≤2）2x-3

（x>2）

∴根據(jù)函數(shù)的圖像得出函數(shù)的值域為[1，+∞）.

三、對稱思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

對稱問題占據(jù)著高中數(shù)學(xué)的重要一環(huán)，在新課標(biāo)的公式推導(dǎo)、教材習(xí)題中占據(jù)著重要的位置.數(shù)學(xué)中的對稱形式主要有三種：中心對稱、軸對稱、平面對稱.在平面集合的解析中，題目中很容易出現(xiàn)完整的對稱結(jié)構(gòu)，在對這類問題進(jìn)行解決的過程中，利用對稱往往能產(chǎn)生意想不到的效果.

例2 求與圓C：（X+2）2+（X-6）2=1，關(guān)于直線3x-4y+5=0的對稱圓的方程：

解 設(shè)圓C的圓心（-2，6）關(guān)于直線3x-4y+5=0的對稱點為C′（a，b），

依題意 解得：a=4，b=-2. b-6a+2·34=-1，3·a-22-4b+62+5=0.

∴所求圓的圓心C′（4，-2），半徑為1，

∴圓C′的方程為（x-4）2+（y+2）2=1.

結(jié)束語

在解題過程中數(shù)學(xué)思路的掌握往往會使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變成一件富有趣味的事.筆者作為一名高中學(xué)生，得出的數(shù)學(xué)解題思路較為簡單，但還是希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

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