遼寧省朝陽(yáng)工程技術(shù)學(xué)校 張振河

一、前言

在田徑項(xiàng)目中，有些是不分道進(jìn)行的比賽。如標(biāo)準(zhǔn)跑道舉行3000m以上的比賽都不分道，在彎道起跑(不分道)時(shí)，必須力求使每一個(gè)運(yùn)動(dòng)員所跑的初段距離相等。為了達(dá)到規(guī)則的要求，不分道跑的項(xiàng)目的起跑線，必須是一條弧線，而彎道上的弧線起跑線畫法就目前國(guó)內(nèi)外一些畫法比較麻煩，在實(shí)際中不易操作，本文研究就是利用數(shù)學(xué)原理，找出一種比較簡(jiǎn)捷的放射線丈量法，弧線連接丈量點(diǎn)，這樣就會(huì)很快的畫出彎道弧線起跑線，即簡(jiǎn)單又快捷。解決了廣大體育工作者畫場(chǎng)地難的問題。

二、研究方法

半圓式田徑場(chǎng)地彎道弧線起跑線，在數(shù)學(xué)當(dāng)中也就是一個(gè)圓的漸開線軌跡。根據(jù)數(shù)學(xué)圓的漸開線極坐標(biāo)參數(shù)方程，找出這條漸開線軌跡與八條分道線外沿交點(diǎn)，這也就是本文所要研究的弧線起跑線的放射式丈量點(diǎn)。根據(jù)極坐標(biāo)參數(shù)方程分別求出每條分道放射線所對(duì)的圓心角，再根據(jù)數(shù)學(xué)余弦定理，求出圓心角所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)(放射線的長(zhǎng)度)，然后把每條放射線丈量點(diǎn)用弧線連 接，這條弧線就是彎道弧線起跑線。如圖所示：M(ρ.θ) 是圓的漸開線上的任意一點(diǎn), B為圓的切點(diǎn)，圓的極坐參數(shù)方程：

即：

以標(biāo)準(zhǔn)400米半圓式田徑場(chǎng)地，場(chǎng)地半徑 R36m、分道寬1.22m為例。每條分道放射線長(zhǎng)S18所對(duì)的圓心角度分別是θ1……θ8。 計(jì)算線半徑R=（36+0.3）m，ρ1……ρ8代表八條分道線的外沿半徑。t18分別是八條分道丈量點(diǎn)與圓的切線所對(duì)的圓心角。則由

查表得：t1=12 .765623°

同理：t2=19.208282° t3=23.754495°W

4=27.381395°W

5=30.431789°W

6=33.075712°W

7=35.412860°W

8= 37.507916°

根據(jù)上述公式：

同理：

從圖可以看出：△AOD為任意三角形，OD是跑道計(jì)算線半徑R，ρ是第一分道線半徑,∠AOB上述已計(jì)算出來，在任意三角形中已知兩邊和它們的夾角，第三邊之長(zhǎng)可以用余弦定理計(jì)算。即

上面公式可寫成(現(xiàn)以第一道放射線為例)

同理：

上式S18放射線已求出，然后在場(chǎng)地的一或三直段分界線上，從內(nèi)突沿外沿向外丈量0.3米得一點(diǎn)，以此點(diǎn)為圓心，分別以S18為半徑畫弧，分別與分道線外沿相交，交點(diǎn)也就是放射線丈量點(diǎn)，然后用弧線連接交點(diǎn)，此弧線即為起跑線的后沿；也就是彎道弧線起跑線。如圖（1-2）

弧線起跑線集合線的畫法：如圖(1-3)把弧線起跑線向后平行移動(dòng)3m即為弧線起跑線的集合線,方法是把D點(diǎn)向后丈量3m交于第一道跑道計(jì)算線 D′處,以D′為丈量起點(diǎn),分別經(jīng)(S1′……S8′)到S ……S點(diǎn)0.93m+3m 2.2m+3m 3.15m+3m 4.83m+3m 6.20m+3m 7.61m+3m 9.04m+3m 10.52m+3m. 把(S1′ ……S8′)的點(diǎn)用弧線的虛線連接.這條虛線的弧線就是彎道起跑線的集合線。

三、結(jié)論

此方法可適用于所有半圓式田徑場(chǎng)地彎道起跑線畫法，其計(jì)算公式可作為經(jīng)驗(yàn)公式。

此方法比較其它方法，便于實(shí)際操作，快速、簡(jiǎn)單易行。