楊朝云

[摘 要] 課改推進的數(shù)學探究，需要教師根據(jù)課程標準進行個性化內(nèi)化，而內(nèi)化的重要依據(jù)就是學生的學習需要. 正弦定理作為高中數(shù)學的重要內(nèi)容，對其探究可以強化問題的提出與解決兩個環(huán)節(jié). 通過問題的設(shè)計與探究反思，可以提升學生的探究品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；數(shù)學探究；學生需要；學生視角

課程改革以來，探究式教學從概念理解到課堂實踐，經(jīng)歷了理論學習、案例模仿、自主更新等過程，這樣的過程使得數(shù)學課堂上的探究更趨合理. 對于高中數(shù)學教學而言，這樣的探究教學，也更大程度上激發(fā)了學生的學習興趣，提高了數(shù)學教學的效果. 同時又應(yīng)當看到，對于探究教學的適應(yīng)過程，更多的還是基于知識本位，即更多地考慮數(shù)學知識怎樣才能有效地為學生所有效構(gòu)建，而忽視了學生在構(gòu)建過程中可能的學習狀態(tài)，也就是說當前的探究式教學更多的關(guān)注“應(yīng)該怎么樣”，而相對少有關(guān)注學生思維中的數(shù)學學習過程“實際是怎樣”. 這樣的定位顯然不利于真正發(fā)揮數(shù)學探究的作用，甚至還會造成探究無用的教學結(jié)論.基于這樣的認識，筆者以為高中數(shù)學教學須探尋一套真正切合學生需要的探究式教學途徑. 本文試以蘇教版教材中的“正弦定理”教學為例，談?wù)劰P者的思考.

高中數(shù)學探究的基本原則

從課程標準及相關(guān)解讀來看，數(shù)學探究更多地注重技術(shù)性，譬如從數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與提出，到對于數(shù)學問題的猜想，到基于數(shù)學邏輯或數(shù)學建模的數(shù)學例證等，這樣的探究技術(shù)指導下的數(shù)學探究，其價值在于可以迅速地將一線教師導引上探究教學之路. 但需要注意的是，這也僅僅是一種技術(shù)性的指導，并沒有直接涉及數(shù)學探究的本質(zhì)與背影，因而不容易讓教師產(chǎn)生持久的教學驅(qū)動力. 從這個角度講，高中數(shù)學探究需要建立更為基本的原則理解，這樣數(shù)學探究更容易有一個源頭活水.

對此，筆者翻閱了一定數(shù)量的教學資料，也從相關(guān)的數(shù)學史中試圖發(fā)現(xiàn)數(shù)學探究需要遵循的基本原則. 研究之后筆者認為，福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院的李祎老師提出的二十四字教學方針有較強的指導意義. 這二十四字是：精立內(nèi)容，大作功夫；少占多讓，少扶多放；絕對主動，相對自主. 下面結(jié)合教學實踐談?wù)剬@二十四字的理解.

其一，精立內(nèi)容，大作功夫. 筆者的理解是，在高中數(shù)學教學中，對于探究的內(nèi)容需要精心選擇確立，而不是鋪天蓋地地實施探究. 在教學實踐中的一大發(fā)現(xiàn)就是探究式教學相對耗時，有些知識也沒有探究的必要，因此內(nèi)容需精立，但一旦精立之后，就必須大作功夫，要讓學生的探究成為真的探究過程. “正弦定理”是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，在三角函數(shù)知識中也具有承上啟下的地位，因而適合探究式教學. 至于如何大作功夫，下面第二點會有詳細闡述.

其二，少占多讓，少扶多放. 這是數(shù)學探究的核心原則，意思是說在數(shù)學探究的過程中教師要充分放手，通過讓與放來實現(xiàn)學生的自主探究. 研究表明，這是一項對教學習慣極具挑戰(zhàn)性的工作，因為傳統(tǒng)講授式教學強調(diào)的恰恰是占的基礎(chǔ)上的扶（講授甚至是灌輸），而要改變這一習慣，最迫切需要的其實不是教師內(nèi)心的自我強制，而是探究式教學理念的意識驅(qū)動.

其三，絕對主動，相對自主. 數(shù)學探究與其說是一種形式，不如說是一種指向思維培養(yǎng)的實質(zhì). 在這個過程中，學生的主體地位必須堅決得到保證，這也是“絕對主動”的含義. 至于相對自主，強調(diào)的是學生探究自主性的適當發(fā)揮. 這似乎是一種理念上的后退，但近年來的實踐卻表明，真正有效的數(shù)學探究，不是讓學生去進行一些膚淺的熱鬧行為，而應(yīng)當是緊扣數(shù)學知識構(gòu)建與問題解決的思維參與. “正弦定理”中需要的是定理本身的證明與運用，只要學生的思維能夠鎖定在這兩點之上，那數(shù)學探究才是有效的，其他的延伸基本上都是不必要的，因此探究中的自主必須是相對的.

筆者以為，真正理解了這二十四字的含義，就可以為數(shù)學探究提供一個有效的保障.

基于學生需要的數(shù)學探究

用“精立內(nèi)容，大作功夫；少占多讓，少扶多放；絕對主動，相對自主”作為高中數(shù)學探究的指導性原則，實際上是將探究的重心真正放到了學生身上，也就是說只有真正基于學生需要進行的探究，才會是真實有效的探究. 下面就以“正弦定理”一課的探究式教學為例，來做一個說明.

蘇教版教材中對于“正弦定理”的教學確定了這樣的教學目標：從知識與技能的角度來看，要求學生能夠通過對任意三角形的邊與角的探究，掌握正弦定理的探究過程（證明方法）與定理本身的內(nèi)容，并能夠以之解決相關(guān)問題；從過程與方法的角度來看，其要求學生在探究過程中經(jīng)由從特殊到一般的思路，逐步構(gòu)建出正弦定理；從情感態(tài)度與價值觀的角度來看，其要求學生在探究的過程中認識數(shù)學探究的魅力，體會不同數(shù)學知識體系（三角函數(shù)、向量等）之間的聯(lián)系與辯證關(guān)系.

基于這樣的教學目標，筆者對本課的教學進行了探究式設(shè)計，下面分步說明.

第一步：創(chuàng)設(shè)探究情境. 經(jīng)驗表明，正弦定理的探究過程最好以學生熟悉的數(shù)學對象作為加工對象，這樣探究的大門可以迅速打開，且可以面向全體讓全部學生迅速準確判斷需要進行的探究任務(wù). 筆者的設(shè)計是這樣的：給出一個任意三角形ABC，并固定其中的一條邊如BC及任意一個鄰角∠B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動，提出問題：邊AB與其對角∠C之間存在著什么樣的量的關(guān)系？

第二步：學生自主猜想. 根據(jù)探究教學中學生的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，學生一般可以發(fā)現(xiàn)兩者之間的定性關(guān)系，而難以發(fā)現(xiàn)定量關(guān)系. 這個時候教師可以進行一定的引導，即基于學生的已有知識，先讓學生假設(shè)給出的三角形是直角三角形（∠C為直角），則可得出==的關(guān)系. 這樣的基礎(chǔ)性理解是否可以推向任意三角形呢？實踐表明，學生此時的認識一般來說是對半的：即認為可以與不確定（不可以）的學生一般來說各占一半.

第三步：實施數(shù)學探究. 數(shù)學探究的過程一般可以分為兩步，即將直角三角形轉(zhuǎn)換為銳角三角形和鈍角三角形，并分別加以證明. 證明方法一般是：作高證明，同行們相對熟悉，此不贅述. 需要在探究中重視的是，對于最終正弦定理的得出，除了作高證明的方法之外，是否存在其他的證明方法. 這種發(fā)散性思維，是正弦定理探究的重要關(guān)注點，也就是說正弦定理的證明不只是為了得到最終的結(jié)論，而是為了豐富探究的過程，充實學生的思維過程. 在這樣的要求之下，本課的探究會更加深入，而在此過程中教師可以做進一步的引導，比如說可以利用三角形的面積計算來證明，即S△ABC=absinC的應(yīng)用；也可以讓學生利用向量法來證明（拓展）.

第四步：反思探究過程. 這是數(shù)學探究中非常重要也很容易被忽視的一個環(huán)節(jié)，在筆者看來，反思探究過程最能提高學生的探究質(zhì)量，最能將學生內(nèi)隱的探究認識顯性化. 在正弦定理的探究反思過程中，教師應(yīng)當著力這樣的幾個問題的回答：正弦定理的理解有沒有困難？正弦定理是怎樣被發(fā)現(xiàn)的？如果不是老師提出的問題，自己有沒有可能發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律？正弦定理的不同證明方法怎樣才有可能自主發(fā)現(xiàn)？這幾個問題分別指向正弦定理探究難易程度本身，以及正弦定理被發(fā)現(xiàn)的過程，筆者以為，既然是一個探究式的教學過程，那就需要關(guān)注探究問題的由來以及證明方法這兩個核心，前者著重于培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的意識，后者指向探究思路的確定，這些都有助于提高學生的數(shù)學探究品質(zhì)，也與學生內(nèi)在的數(shù)學探究需要密切相關(guān).

“生需”視角下高中數(shù)學教學

將數(shù)學探究從純粹技術(shù)的需要，轉(zhuǎn)向?qū)W生需要的視角，是一種以生為本的切實體現(xiàn).“生需”作為一種教學視角，在高中數(shù)學探究的過程中究竟能起多大的作用，事實上可以從正弦定理的探究中窺得一斑.

在實際教學中，當在情境中提出問題之后，學生會有什么樣的直覺反應(yīng)？這是筆者研究的第一點，事實證明當教師以特殊的直角三角形作為引導時，學生還是有些意外的，因為此時他們意識不到面臨的問題與直角三角形之間存在什么直接的聯(lián)系，而在探究反思過程中明確了這個問題時，學生就已經(jīng)能夠發(fā)現(xiàn)基于直角三角形去研究并發(fā)展思考，其實就是一種從特殊到一般的探究思路；又如在探究中深究有多少種證明方法時，學生的思維也就沒有集中在作高證明這一種思路上，而是從已經(jīng)得出的正弦定理本身去研究，進而就有學生自主發(fā)現(xiàn)其與三角形面積公式存在一定的聯(lián)系；而事實上也有學生提出問題：怎樣才能在沒有教師提醒的情況下自己想到證明方法呢？這樣的問題，實際上就可以在探究反思中給予回答.

總之，高中數(shù)學探究只有基于學生視角，才能從學生的已有認知出發(fā)，從而構(gòu)建出適合學生思維需要的探究途徑，而教師的引導作用發(fā)揮，則在于通過恰當?shù)膯栴}與教學環(huán)節(jié)，提升學生的探究品質(zhì).