數(shù)學(xué)思想在“圖形與幾何”教學(xué)中的滲透

□ 江蘇省常熟市新區(qū)小學(xué) 吳建英

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數(shù)學(xué)思想在“圖形與幾何”教學(xué)中的滲透

□ 江蘇省常熟市新區(qū)小學(xué) 吳建英

數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識和內(nèi)容之中，又高于具體知識和內(nèi)容的一種理性知識。它是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識的紐帶，也是整個(gè)數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的生命和靈魂，是數(shù)學(xué)知識賴以轉(zhuǎn)化為認(rèn)識世界、改造世界能量的橋梁。布魯納曾說，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學(xué)思想方法不但對學(xué)生學(xué)習(xí)具有普遍的指導(dǎo)意義，而且有利于學(xué)生形成科學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣。

數(shù)學(xué)思想貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)，該如何進(jìn)行行之有效的滲透呢？下面筆者以“轉(zhuǎn)化思想”、“分類思想”、“集合思想”、“函數(shù)思想”為例，簡要談?wù)勛约涸诮虒W(xué)實(shí)踐中的一些做法，以期與同行共同探討。

一、滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

轉(zhuǎn)化思想，即不是直接尋找問題的答案，而是尋找一些熟悉的結(jié)果，設(shè)法將面臨的問題轉(zhuǎn)化為某一規(guī)范的問題，以便運(yùn)用已知的理論、方法和技術(shù)使問題得到解決。在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中，我們通常會把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形。如在學(xué)生掌握長方體、正方體的體積計(jì)算公式后，出示一個(gè)不規(guī)則的鐵塊，讓學(xué)生求出它的體積。鐵塊既不是長方體，又不是正方體，該怎樣求它的體積呢？問題一拋出，學(xué)生紛紛沒了頭緒。但由于剛剛解決過教材P23第2題求土豆體積的問題，以及長方體、正方體的體積，學(xué)生很快便有了好辦法，總體有這樣幾種：

方法（1）：可以請鐵匠師傅幫個(gè)忙，讓他把這個(gè)不規(guī)則的鐵塊熔鑄成一個(gè)規(guī)則長方體后再計(jì)算。

方法（2）：把這個(gè)鐵塊放入一個(gè)裝滿水的，且有出水孔的容器，完全浸沒在水中，用量杯盛好，看溢出水的體積，就是鐵塊的體積。

方法（3）：把這個(gè)鐵塊放到一個(gè)裝有水的長方體的容器內(nèi)，浸沒在水中，量一量長方體容器的長、寬，以及看看水面上升了多少，只要求出長方體容器內(nèi)上升部分水的體積就得到了鐵塊的體積。

方法（4）：把鐵塊放到一個(gè)裝滿水的量杯內(nèi)，使之淹沒，然后拿出來，看看水少了多少毫升，這個(gè)鐵塊的體積就是多少立方厘米。（即同教材“土豆體積”的問題）

引導(dǎo)學(xué)生思考：大家的方法都很棒！想想都有什么共同之處？學(xué)生的方法要么把鐵塊的體積轉(zhuǎn)化成了長方體的體積，要么轉(zhuǎn)化成了水的體積，巧妙地利用了轉(zhuǎn)化思想來計(jì)算出它的體積。在轉(zhuǎn)化思想的影響下，靈活地將一道生活中的數(shù)學(xué)問題地用學(xué)過的知識來順利解決了。由此可以看出：學(xué)生一旦掌握了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，便獲得了自己獨(dú)立解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、滲透分類思想，提高學(xué)生概念建構(gòu)的能力

分類思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。分類通常是指一種揭示概念外延的邏輯方法，也就是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對象歸入一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的過程，分類也稱為劃分。小學(xué)階段，兒童以形象思維為主，認(rèn)知水平不高，其最大的特點(diǎn)是思維離不開具體事物的支撐。分類必然存在分類對象，滿足了學(xué)生的認(rèn)知需要形象支撐的特點(diǎn)。在圖形教學(xué)中滲透分類的數(shù)學(xué)思想，教師不能僅僅滿足于讓學(xué)生得到分類的結(jié)果，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解為什么要這樣分類，交流是按怎樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的，討論怎樣分類較為合理。教師要引導(dǎo)學(xué)生對分類的結(jié)果進(jìn)行解讀，充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過程。如在教學(xué)“認(rèn)識平行”時(shí)，我設(shè)計(jì)的第一個(gè)環(huán)節(jié)是從生活情境中選取五張圖片，從每張圖片中抽象出兩條直線：

讓學(xué)生通過觀察、分析、比較，把5組直線的位置關(guān)系進(jìn)行分類。學(xué)生通過交流，出現(xiàn)以下幾種分法：

A②⑤兩條直線交叉了（連在一起），①③④兩條直線是分開的。

B②④⑤兩條直線交叉了，①③兩條直線是分開的。

C②⑤兩條直線交叉了，①③兩條直線是分開的，④另外分一類。

為什么這樣分？你是按怎樣的標(biāo)準(zhǔn)來分類的？請不同分法的學(xué)生說說想法。

直線可以無線延長，我們把它延長?。ㄕn件演示延長）

問：相交嗎？（再延長）問：相交嗎？（再延長）問：相交嗎？好，讓我們閉上眼睛，想象一下，這兩條直線無限延長以后，會相交嗎？（課件演示延長相交）

告訴學(xué)生：像這樣互相交叉（或連在一起）的兩條直線，它們的位置關(guān)系，在數(shù)學(xué)上叫做“相交”。那么，像②④這樣的兩組直線，它們相交嗎？揭示：像這樣不相交的兩條直線我們說“互相平行”。

類似這樣的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從分類中產(chǎn)生矛盾，在充分辨析中化解矛盾，“平行”的本質(zhì)逐漸清晰，概念的引入趨于無痕化。

三、滲透集合思想，提升學(xué)生知識梳理的能力

集合間的包含關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透主要表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的構(gòu)建之中。英國數(shù)學(xué)家維恩最早使用了可以用于表示任意的幾個(gè)集合（不論它們之間的關(guān)系如何，都可以畫成同一樣式）的“韋恩圖”，用韋恩圖表示集合，有助于探索某些數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。如新教材第8冊，有關(guān)三角形的分類問題，除用文字說明外，還用集合形象地表示出來。我在教學(xué)“三角形的分類”一課中，安排了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：

在認(rèn)識了三角形按角分，可以分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種三角形后，給出一個(gè)橢圓形，引導(dǎo)學(xué)生想：如果我們把所有的三角形看作一個(gè)整體，用一個(gè)橢圓表示（課件演示），按上述三角形的分類，你能在這個(gè)橢圓里表示出這三種三角形嗎？你能在練習(xí)紙上畫一畫，寫一寫嗎？讓學(xué)生獨(dú)立在練習(xí)紙上畫一畫。學(xué)生大致出現(xiàn)這三類結(jié)果：

我肯定了這幾個(gè)學(xué)生的方法，同時(shí)課件出示書上的韋恩圖，并告訴學(xué)生：通常，為了更美觀、更科學(xué)，數(shù)學(xué)上用這樣的圖來表示三種三角形的關(guān)系。從這個(gè)圖上可以看出，這三種三角形都是這個(gè)整體的一部分。還讓學(xué)生閉上眼睛，把這幅圖記在腦子里，使學(xué)生看清三角形集合與銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各集合之間是整體與部分的關(guān)系。

四、滲透函數(shù)思想，展現(xiàn)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的能力

函數(shù)的思想方法就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合和對應(yīng)的思想去分析問題的數(shù)量關(guān)系，通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化合理地構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，使問題獲得解決。函數(shù)的思想方法是最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。

雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)中沒有正式引入函數(shù)概念與函數(shù)關(guān)系式，但這不等于沒有函數(shù)的雛形、沒有函數(shù)思想的存在。在小學(xué)階段滲透函數(shù)思想方法，可以使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變化、而且是相互聯(lián)系與相互制約的，從而了解事物的變化趨勢及其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這對于培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力都有極其重要的意義，而且可以為學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定良好的基礎(chǔ)。如六年級長方體和正方體單元中，有這樣一道題：

丹丹用24個(gè)棱長1厘米的小正方體擺出了一個(gè)長方體。她擺成的這個(gè)長方體的長、寬、高各是多少厘米？在下表中列出各種不同的可能（表略）。

在各種不同的擺法中，表面積最小的是哪一種？

學(xué)生不難得到結(jié)果：

在解決這一類問題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都能準(zhǔn)確找到答案，但也有一部分學(xué)生會有重復(fù)和遺漏。于是，我通常會引導(dǎo)學(xué)生這樣有序地思考：當(dāng)24個(gè)小正方體全部排成一層（即高是1cm）時(shí)，會有哪幾種擺法？學(xué)生想擺成一層，全部排成1排（即寬是1cm）時(shí)，每排幾個(gè)？擺成一層，全部排成2排（即寬是2cm）時(shí)，每排幾個(gè)？擺成一層，全部排成3排（即寬是3cm）時(shí)，每排幾個(gè)？當(dāng)擺成2層呢，又有哪幾種擺法？

在研究過程中，學(xué)生會漸漸地感悟到：要想得到最小的表面積，就要把所有能擺成的長方體逐一例舉出來再比較；而要想得到不同的長方體，必須在保持體積（即小正方體的個(gè)數(shù)24個(gè)）不變的情況下改變長方體的長、寬、高。在高不變的情況下，寬逐漸變大，長就逐漸變小。同時(shí)，也在這些數(shù)據(jù)的變與不變中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長、寬、高三個(gè)數(shù)據(jù)最接近時(shí)（即越接近正方體時(shí)），表面積最小。這樣就把“靜態(tài)”的學(xué)習(xí)變成了“動(dòng)態(tài)”的研究，而這種由“靜”到“動(dòng)”的過程就是函數(shù)的本質(zhì)，也體現(xiàn)了極值思想。

因此，是函數(shù)思想使學(xué)生學(xué)習(xí)的過程“動(dòng)”了起來，使學(xué)生的學(xué)習(xí)“主動(dòng)”起來，學(xué)生愿意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并嘗試將規(guī)律表述出來，這樣也有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力。