問(wèn)題導(dǎo)向下高校微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)研究

劉英

摘 要：微積分教學(xué)是理工類(lèi)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要概念之一，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想對(duì)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義。作為重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，很多學(xué)生能夠運(yùn)用相關(guān)定理來(lái)求導(dǎo)、積分，但對(duì)微積分概念的認(rèn)知往往不深刻，存在較大的關(guān)系認(rèn)知模糊?；诖?，本文從構(gòu)建微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)入手，對(duì)常見(jiàn)的概念意向認(rèn)知錯(cuò)誤進(jìn)行分析，并通過(guò)極限、導(dǎo)數(shù)、定積分的幾何意義進(jìn)行區(qū)分，從而設(shè)計(jì)微積分概念教學(xué)原則，引導(dǎo)學(xué)生從概念間的關(guān)系來(lái)闡釋問(wèn)題，幫助學(xué)生正確地構(gòu)建微積分概念。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；微積分概念；問(wèn)題導(dǎo)向；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

高等數(shù)學(xué)在面向“大眾化教育”發(fā)展中，學(xué)生層次越來(lái)越不均衡，課程教學(xué)質(zhì)量難以得到有效保證。微積分課程是高等數(shù)學(xué)教育中的重要概念，其教學(xué)導(dǎo)入、教學(xué)方法及教學(xué)效果有待改進(jìn)。特別是對(duì)微積分概念的理解，由于課程教學(xué)目標(biāo)具有差異性，在實(shí)踐教學(xué)中被壓縮，而微積分作為數(shù)學(xué)思維的重要概念，長(zhǎng)期以來(lái)又沒(méi)有得到各方的重視，導(dǎo)致學(xué)生僅僅能做基本的運(yùn)算，而難以深刻理解其思想。[1]為此，應(yīng)加大對(duì)高等數(shù)學(xué)微積分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，力求從學(xué)科知識(shí)銜接上提升廣大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從問(wèn)題導(dǎo)向上重新審視和挖掘微積分概念中的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生正確理解和構(gòu)建微積分基本概念意向。

一、高等數(shù)學(xué)概念意向研究

高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，斯根普是最早研究數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的學(xué)者，他將數(shù)學(xué)理解為工具性和關(guān)系性的綜合，符號(hào)所指代的是事物，在語(yǔ)義理解上表示一定的程序性，而關(guān)系是對(duì)符號(hào)意義及替代物之間結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，能夠從符號(hào)意義中來(lái)理清有效的邏輯關(guān)系。隨后，David Tall、斯特瓦特等人圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，從高等數(shù)學(xué)思維視角來(lái)分析數(shù)學(xué)概念；如利用微積分來(lái)分析極限、探討無(wú)窮大等概念的過(guò)渡關(guān)系，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)概念來(lái)建立概念意向。[2]概念意向是什么？維納和赫綽維茨從幾何概念中提出了“概念意向”，用以區(qū)別概念形式、公眾界定及個(gè)人認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)“概念意向”的形式化定義，從數(shù)學(xué)知識(shí)與主觀(guān)建構(gòu)中形成理解，需要在數(shù)學(xué)運(yùn)算動(dòng)態(tài)過(guò)程中，將概念與數(shù)學(xué)形式形成有效關(guān)聯(lián)。概念意向的建立，對(duì)于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義。如從函數(shù)的一致收斂性，從形式定義到概念意向的建立，有助于學(xué)生從概念中激發(fā)豐富的概念意向，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)邏輯思維的訓(xùn)練。

二、微積分概念的常用教學(xué)方法

微積分概念是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性知識(shí)，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都對(duì)微積分的概念教學(xué)提出過(guò)建議，認(rèn)為只強(qiáng)調(diào)基本的計(jì)算，不利于學(xué)生從思維認(rèn)知上理解，更難以從中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者嘗試從問(wèn)題導(dǎo)向上來(lái)審視當(dāng)前微積分概念的常用教學(xué)方法。

1.直觀(guān)教學(xué)法

對(duì)于“直觀(guān)”思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)教育家M·克萊因在《對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的建議》中強(qiáng)調(diào)，不要講數(shù)學(xué)說(shuō)得過(guò)于嚴(yán)密，而是要將之描繪得盡可能靠直覺(jué)來(lái)接受。[3]同時(shí)，他在《微積分：直觀(guān)和物理的方法》中提出，對(duì)于微積分知識(shí)，利用直觀(guān)的方法來(lái)提煉數(shù)學(xué)概念，從其定義、發(fā)展及如何應(yīng)用上，來(lái)幫助學(xué)生樹(shù)立微積分的概念。對(duì)于微積分知識(shí)的教學(xué)，高中階段往往是形式化的演繹證明，而對(duì)于大學(xué)，就需要從微積分的本質(zhì)上來(lái)進(jìn)行認(rèn)識(shí)。David Tall從高等數(shù)學(xué)思維幾何微積分教學(xué)研究中，試圖利用圖式概念來(lái)直觀(guān)地呈現(xiàn)微積分思想。Daoid Tall指出，微積分的基本思想是變化、變化率、變化率的累積，分別從運(yùn)算、逆運(yùn)算中用圖、數(shù)、符號(hào)來(lái)進(jìn)行表征。將數(shù)學(xué)的工具性和符號(hào)化作為問(wèn)題情境構(gòu)建的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生從形式化證明中回歸到具體化世界。我國(guó)有些數(shù)學(xué)家也提倡直觀(guān)法教學(xué)，如趙訪(fǎng)雄提出，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)，要避免照本宣科，更應(yīng)該從形象化、生動(dòng)的實(shí)例中來(lái)滲透和講解基本概念。

2.歷史發(fā)生法

歷史發(fā)生法教學(xué)是利用數(shù)學(xué)歷史，將數(shù)學(xué)概念與其歷史發(fā)展相滲透，引導(dǎo)學(xué)生從中來(lái)理解。數(shù)學(xué)家托普利茲倡導(dǎo)用歷史的方法研究微積分，并從“發(fā)生的方法”中克服了無(wú)窮小微積分的困難。如面對(duì)泰勒級(jí)數(shù)、中值定理、定積分、收斂性等概念，為什么會(huì)這樣？是怎么樣得到的……對(duì)這些問(wèn)題的回溯，都是從數(shù)學(xué)歷史中來(lái)展示，從而讓學(xué)生從問(wèn)題、概念、事實(shí)的本原上獲得全面理解。正如G·Kothe所談到的，托普利茲的“發(fā)生的方法”，能夠從數(shù)學(xué)基本原理的發(fā)展過(guò)程來(lái)進(jìn)行理解，幫助我們從數(shù)學(xué)觀(guān)點(diǎn)中的歷史溯源中來(lái)研究數(shù)學(xué)史，激勵(lì)學(xué)生更好地認(rèn)知事物。[4]單純從邏輯視角來(lái)探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，只能給學(xué)生最終的答案，對(duì)于答案本身，是難以理解其形成過(guò)程的。我們從托普利茲的“發(fā)生的方法”中，可以從數(shù)學(xué)概念的歷史背景中來(lái)建構(gòu)，讓學(xué)生更好地將其消化、吸收和內(nèi)化到數(shù)學(xué)智力結(jié)構(gòu)中。

3.基于概念的學(xué)習(xí)方法

基于概念的學(xué)習(xí)方法是通過(guò)概念環(huán)境，從概念的理解、應(yīng)用、遷移等方面來(lái)構(gòu)建知識(shí)，特別是通過(guò)量化和質(zhì)化研究，讓學(xué)生從知識(shí)和程序性知識(shí)中獲得深刻的理解。概念環(huán)境多表現(xiàn)為課題教學(xué)氛圍，從縝密的公式及基礎(chǔ)計(jì)算的關(guān)聯(lián)性上，滲透一部分技巧來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本概念的理解。如我們?cè)诮?shù)學(xué)、圖形、代數(shù)等相互關(guān)系時(shí)，從認(rèn)識(shí)定積分之前，可以從被積函數(shù)在指定區(qū)間上的函數(shù)圖形來(lái)表示定積分。而對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)環(huán)境來(lái)說(shuō)，多側(cè)重于技巧的運(yùn)用，忽視了概念本身，使得學(xué)生僅僅獲得計(jì)算方法?？梢?jiàn)，應(yīng)通過(guò)對(duì)概念的理解，輔以程序性的技巧應(yīng)用，讓學(xué)生能夠從概念的擴(kuò)展性上加深對(duì)概念多種表征的理解，引導(dǎo)學(xué)生從一題多解中構(gòu)建知識(shí)體系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)遷移能力。

三、微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)方案

1.微積分概念教學(xué)的設(shè)計(jì)原則

在微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)中，其原則表現(xiàn)在三點(diǎn)：一是通過(guò)本原性問(wèn)題來(lái)導(dǎo)入概念，以歷史的發(fā)展觀(guān)念來(lái)闡釋數(shù)學(xué)概念；二是利用幾何圖形直觀(guān)地顯示， 或者從生活中選取直觀(guān)的案例來(lái)構(gòu)建概念環(huán)境；三是強(qiáng)化概念與關(guān)系的闡釋。為此，遵循上述原則，從實(shí)例選取上，側(cè)重將微積分的重要概念，如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等進(jìn)行細(xì)化，從概念理解的難點(diǎn)、重點(diǎn)等方面，對(duì)微積分的結(jié)構(gòu)及自身特點(diǎn)進(jìn)行分析。如在極限的理解上，可以用嚴(yán)格的形式化語(yǔ)言來(lái)界定微積分概念，當(dāng)然，學(xué)生在理解ε-N語(yǔ)言遇到難題時(shí)，就需要加大形式化語(yǔ)言的理解與運(yùn)用；在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，從中學(xué)導(dǎo)數(shù)概念的引申，到導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值關(guān)系，再?gòu)膶?dǎo)數(shù)的概念意象中來(lái)探討切線(xiàn)斜率等形式，從導(dǎo)數(shù)的變化率中來(lái)認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)的思想；在學(xué)習(xí)微分概念時(shí)，可以從變化率和增量?jī)蓚€(gè)向度來(lái)探討，前者在講解時(shí)引入導(dǎo)數(shù)概念，后者在講解時(shí)引入微分概念，并從微分與微積分的概念關(guān)系上，確立相互之間的聯(lián)系，將微分概念作為設(shè)計(jì)重點(diǎn)，突顯微分概念在學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的概念圖地位。再如在中值定理教學(xué)中，將中值定理的邏輯推理作為重點(diǎn)，從導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，再到概念的嚴(yán)格化，并從中值定理的最初形式到分析其形態(tài)、形式的差異性，讓學(xué)生感知定理的演化過(guò)程。

2.微積分概念教學(xué)流程分析

構(gòu)建微積分概念教學(xué)，以具體的案例設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行綜合闡述，并從一年級(jí)微積分課程教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)模式，圍繞問(wèn)題導(dǎo)向來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。第一階段為準(zhǔn)備和設(shè)計(jì)階段，從近年來(lái)微積分概念教學(xué)相關(guān)文獻(xiàn)中梳理常見(jiàn)問(wèn)題，并就微積分概念教學(xué)的重點(diǎn)進(jìn)行明確，設(shè)計(jì)出每個(gè)概念的前測(cè)、后測(cè)試卷；第二階段是教學(xué)實(shí)施和問(wèn)題干預(yù)，通過(guò)對(duì)概念教學(xué)前的前測(cè)，了解學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知起點(diǎn)，特別是常見(jiàn)的誤解，來(lái)優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，修正教學(xué)流程和側(cè)重點(diǎn)，課后進(jìn)行總結(jié)教學(xué)反思，對(duì)概念教學(xué)的實(shí)施效果進(jìn)行總結(jié)并加以改進(jìn)；第三階段是回顧和反思，從前測(cè)、后測(cè)結(jié)果對(duì)比中，對(duì)微積分概念教學(xué)實(shí)效性進(jìn)行檢驗(yàn)，了解學(xué)生對(duì)概念教學(xué)的認(rèn)知度。

3.微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施過(guò)程

在微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)中，選取微分教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行分析。微分作為數(shù)學(xué)中的重要概念，主要涉及兩個(gè)問(wèn)題：

一是變化率；二是增量。從微分概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，對(duì)后期理解導(dǎo)數(shù)概念、微分運(yùn)算等具有重要意義。在理解微分概念上，其問(wèn)題主要表現(xiàn)在：一是教師在教學(xué)中重視不足，往往與另一個(gè)概念“導(dǎo)數(shù)”相混淆，學(xué)生對(duì)微分概念的理解出現(xiàn)偏差，多存在模糊性。如有學(xué)生對(duì)dx的認(rèn)識(shí)是變量還是常數(shù)都存在歧義；對(duì)微積分概念微分與積分過(guò)程的理解存在疑義。在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)于兩者概念的沖突，—表示為導(dǎo)數(shù)符號(hào)，而—表示為偏導(dǎo)數(shù)，兩者在運(yùn)算中易混淆；還有學(xué)生對(duì)極限、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)性的理解缺乏全面性，因此在教學(xué)干預(yù)中要圍繞常見(jiàn)問(wèn)題來(lái)改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于概念的認(rèn)知至關(guān)重要，微積分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)對(duì)微分與積分的差異性進(jìn)行區(qū)分，微分多研究事物運(yùn)動(dòng)的瞬間改變量，而積分多研究事物在某一運(yùn)動(dòng)區(qū)間的改變量。如人的頭發(fā)，微分研究的是瞬間生長(zhǎng)量，而積分則是研究某一時(shí)段下的生長(zhǎng)量。在運(yùn)算方法上，減法產(chǎn)生微分，加法產(chǎn)生積分，微分與積分在運(yùn)算上的對(duì)立與統(tǒng)一，對(duì)我們理解客觀(guān)事物的運(yùn)動(dòng)變化，特別是研究事物瞬間改變量有用，而導(dǎo)數(shù)是研究事物的瞬間變化率，掌握以上方法，學(xué)習(xí)這些概念就容易了。以具體課例來(lái)講，對(duì)于菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》中的球體積（最大的）相對(duì)誤差與量度得來(lái)的直徑的（最大的）相對(duì)誤差的關(guān)系，我們將之轉(zhuǎn)換為直徑為r0的球，在表面涂油漆，油漆的厚度為Δr，求油漆的體積。當(dāng)然，在該題闡釋上，學(xué)生能夠從一次函數(shù)的增量近似代替三次函數(shù)的增量，從微分概念的理解中來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。其解題方法為：ΔV=—π[r03+3r02（Δr）+3r0（Δr）2+（Δr）3]-—πr03=AΔr+o（Δr）。同樣道理，對(duì)于物理學(xué)中的自由落體運(yùn)動(dòng)，S（t）=—gt2，在計(jì)算位移的增量時(shí)，ΔS=gt0Δt+—gΔt2=AΔt+o（Δr）；可以將之與S=v0t+—gt2進(jìn)行聯(lián)系，將A與速度v0聯(lián)系，將Δt2與聯(lián)系o（Δr），進(jìn)而獲得ΔS≈dS=S'（t）Δr。由此得出，對(duì)于微分概念的理解，其原意為“差”，而微分在表示函數(shù)增量的近似值，當(dāng)誤差Δx高階無(wú)窮小時(shí)，則函數(shù)是可微的。

四、結(jié)語(yǔ)

對(duì)于微積分概念教學(xué)設(shè)計(jì)，要從學(xué)生的常見(jiàn)理解錯(cuò)誤中進(jìn)行梳理，特別是對(duì)微分的幾何意義進(jìn)行梳理，它盡管與切線(xiàn)有關(guān)，但無(wú)法從中正確理解哪個(gè)量可以表示微分，更不能將微分理解為函數(shù)在某點(diǎn)切線(xiàn)的增量；通過(guò)對(duì)微分概念實(shí)例的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從中構(gòu)建微分概念意向，能為后面所學(xué)的積分、湊微分、微分方程等奠定基礎(chǔ)。

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