“圓心角”度數(shù)：弧長計算的關(guān)鍵點

周紅娟

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“圓心角”度數(shù)：弧長計算的關(guān)鍵點

周紅娟

弧長計算問題是中考必考知識點，題型不限，公式也很好記，然而解題的難點和關(guān)鍵點常常是待求弧所對的圓心角的度數(shù)，因為這些“圓心角”有時不止一個，這是怎么回事呢？請看例題：

例1（2015·蘇州）如圖1，在△ABC中，AB=AC.分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧，設(shè)兩弧交于點D，與AB、AC的延長線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD.

圖1

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求D（E、D（F的長度之和（結(jié)果保留π）.

【思路講解】（1）根據(jù)題意得出BD= CD=BC，由SSS證明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可.

（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC= ∠ACB=65°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根據(jù)弧長公式求出的長度，即可得出結(jié)果.

【規(guī)范解答】（1）證明：由作圖可知，BD= CD.

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.

（2）∵AB=AC，∠BAC=50°，

∴∠ABC=∠ACB=65°.

又∵BD=CD=BC，

∴△BDC是等邊三角形，

∴∠DBC=∠DCB=60°，

∴∠DBE=∠DCF=55°.

又∵BC=6，∴BD=CD=6，

【反思回顧】熟練掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決該題的關(guān)鍵.從上面的解法步驟來看，求出“∠DBE=∠DCF=55°”是重要進(jìn)展.

例2（2015·揚州）如圖2，已知⊙O的直徑AB=12 cm，AC是⊙O的弦，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接BC.

（1）求證：∠PCA=∠B；

（2）已知∠P=40°，點Q在優(yōu)弧ABC上，從點A開始逆時針運動到點C停止（點Q與點C不重合），當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時，求動點Q所經(jīng)過的弧長.

圖2

圖3

【思路講解】

（1）如圖3，連接OC，由AB是⊙O的直徑和PC是⊙O的切線得到∠ACB=∠2+ ∠3=90°和∠PCO=∠1+∠3=90°，從而得到∠1=∠2.再由OC=OB，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到∠2=∠B，進(jìn)而得到∠PCA=∠B的結(jié)論.

（2）根據(jù)同底等高三角形面積相等的性質(zhì)，分三種情況討論即可：在⊙O上作點C關(guān)于AB的對稱點Q，在⊙O上作點C關(guān)于點O的對稱點Q，在⊙O上作點C關(guān)于AB中垂線的對稱點Q.

【規(guī)范解答】（1）證明：如圖3，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=∠2+∠3=90°，

∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，

∴∠PCO=∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2，

∵OC=OB，∴∠2=∠B，

∴∠1=∠B，即∠PCA=∠B.

（2）如圖3，∵PC是⊙O的切線，∠P= 40°，∴∠POC=50°.

∵AB=12，∴AO=6.

當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時，動點Q在優(yōu)弧ABC上有三個位置：

①如圖4，在⊙O上作點C關(guān)于AB的對稱點，該點即是滿足△ABQ與△ABC的面積相等的點Q，由軸對稱性知，∠AOQ=∠POC= 50°，

圖4

圖5

②如圖5，在⊙O上作點C關(guān)于點O的對稱點，該點即是滿足△ABQ與△ABC的面積相等的點Q，由中心對稱性知，∠BOQ= ∠POC=50°，∴∠AOQ=130°，

③如圖6，在⊙O上作點C關(guān)于AB中垂線的對稱點，該點即是滿足△ABQ與△ABC的面積相等的點Q，由軸對稱性知，∠BOQ=∠POC= 50°，∴∠AOQ=230°，

圖6

【反思回顧】考題涉及圓周角定理、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、同底等高三角形的性質(zhì)、弧長的計算等多個知識點.第（2）問考查了分類思想，本質(zhì)上還可以用圖7來揭示它們的結(jié)構(gòu).

圖7

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學(xué)）