“乘法分配律”研究綜述

許德道

乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重點內(nèi)容之一，作為五大運算定律之一，它歷來備受關(guān)注，成為許多教師積極探索的主題。但由于其內(nèi)容本身的難度、教師教學(xué)方式的單一以及學(xué)生理解能力的局限，使得這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果常常不盡如人意。因而，對乘法分配律的教與學(xué)注入新的思考，尋找新的教學(xué)著力點，創(chuàng)新教學(xué)的方式與方法，探索具有實效的教學(xué)策略，改進(jìn)教學(xué)效果，具有較強(qiáng)的現(xiàn)實意義和較高的教學(xué)價值。

一、運算定律的意義

1.運算定律是建立數(shù)學(xué)大廈的基石

在數(shù)學(xué)中，研究運算的性質(zhì)成為繼研究運算定義之后最主要的基礎(chǔ)工作。在運算的各類性質(zhì)中，最基本的幾條性質(zhì)通常被稱為“運算定律”。五條運算不僅適用于整數(shù)的加法和乘法，也同樣適用于有理數(shù)的加法和乘法。隨著數(shù)的范圍進(jìn)一步擴(kuò)展，在實數(shù)甚至復(fù)數(shù)的加法和乘法中，也仍然成立。由于其在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義和作用，加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律與乘法分配律被譽(yù)為“數(shù)學(xué)大廈的基石”。

2.運算定律教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的重要途徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段的“學(xué)段目標(biāo)”中提出：學(xué)生要掌握必要的運算技能，能準(zhǔn)確地進(jìn)行運算。在第二學(xué)段“課程內(nèi)容”中進(jìn)一步指出：探索并了解加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律及乘法對加法的分配律五大運算定律，會應(yīng)用運算律進(jìn)行一些簡便運算。因而，乘法分配律有助于培養(yǎng)學(xué)生的簡算意識，提高運算能力。

二、乘法分配律的研究

1.乘法分配律教學(xué)的理論研究

（1）乘法結(jié)構(gòu)的研究

吉爾德·維格諾德從數(shù)學(xué)教育的角度，對加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)做了研究。他認(rèn)為：乘法結(jié)構(gòu)部分依賴加法結(jié)構(gòu)，這既為認(rèn)知與掌握加法、乘法提供了理論參考，同樣也為設(shè)計促進(jìn)乘法分配律深入理解的教學(xué)策略提供了有價值的意義參考。

（2）運算定律奠基了數(shù)學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)家通過考查數(shù)及運算在代數(shù)上最常利用的性質(zhì)，通過仔細(xì)觀察分析，歸結(jié)了十條，其中五條就是：加法適合交換律（a+b=b+a）、加法適合結(jié)合律[（a+b）+c=a+（b+c）]、乘法適合交換律（ab=ba）、乘法適合結(jié)合律[a（b+c）=ab+ac；（b+c）a=ba+ca]與乘法適合分配律a（b+c）=ab+ac，[（b+c）a=ba+ca]；近百年來，數(shù)學(xué)的發(fā)展都指出了包括這五條運算定律在內(nèi)的十條性質(zhì)的極大重要性，以此為基礎(chǔ)，推動了數(shù)學(xué)的極大發(fā)展。如，數(shù)學(xué)中的“域”就是指每一個滿足這十條性質(zhì)的量的系統(tǒng)等；在國外，還有人做了有關(guān)學(xué)生運算定律理解水平的研究，結(jié)果表明，學(xué)生對乘法分配律的理解有利于學(xué)生理解乘法結(jié)合律；還有研究表明，9歲左右的兒童對于乘法分配律的掌握差于乘法交換律等。

（3）國內(nèi)研究現(xiàn)狀

在國內(nèi)，楊曉映、何先友研究了不同問題情境對四、六年級學(xué)生運用乘法運算定律解決問題的影響。孫瑛等采用形動研究法，以主題教研活動的形式，對如何促進(jìn)學(xué)生理解乘法分配律等做了專題研究，強(qiáng)調(diào)：乘法分配律的學(xué)習(xí)要依托模仿，促進(jìn)理解；跳出原型，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)；還有教師以“課例研究”的方式對乘法分配律的課堂教學(xué)做了研究。黃劍慧對2012年版的人教版、北師大版、蘇教版與浙教版4套教材中“乘法分配律”例題做了比較研究，主要比較了例題內(nèi)容特點、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)思想等四方面的內(nèi)容。

2.乘法分配律教學(xué)的實踐研究

乘法分配律的教學(xué)探討，國內(nèi)雜志上發(fā)表文章，數(shù)量繁多，內(nèi)容豐富。筆者通過知網(wǎng)檢索、期刊查詢、著作選讀，并做了大致梳理，歸納起來，這些內(nèi)容主要涉及以下幾個方面：

（1）課堂教學(xué)設(shè)計、實錄評析類

就乘法分配律課堂教學(xué)的設(shè)計，是大家討論最熱烈的話題，這部分文章的作者大多為一線教師或基層教研工作人員。因其數(shù)量太多，不再列舉，僅就共同特點做簡略分析。它們一部分就備課做了探討。如：如何理解課程標(biāo)準(zhǔn)精神；如何組織教學(xué)內(nèi)容；如何設(shè)計教案。另一部分就課堂教學(xué)做了評價分析。如：課堂教學(xué)中教師、學(xué)生的表現(xiàn)情況；學(xué)生的學(xué)習(xí)效果等；對所表現(xiàn)出來的現(xiàn)象做歸因分析，并提出改進(jìn)策略。

（2）教學(xué)策略類

課堂教學(xué)中如何實施乘法分配律的教學(xué)更有效、更高效，針對這一問題，國內(nèi)有許多教研工作人員及一線教師做了實踐性探索。如：丁麗老師就自己如何對學(xué)生進(jìn)行乘法分配律學(xué)習(xí)前測做了分析；孫暾老師對如何對學(xué)生學(xué)習(xí)前、后做檢測及其對比分析，找出普遍存在的錯誤題目類型，并對其原因作了分析；還有老師談到了乘法分配律課堂教學(xué)中的指導(dǎo)策略以及課堂教學(xué)的方式方法，如：運用數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)乘法分配律等。

（3）教學(xué)反思類

開展乘法分配律的課例研究，促進(jìn)教師在反思中自我成長，出現(xiàn)了大量的反思性課例研究報告。這部分作品大多就自己或他人在課堂教學(xué)中存在的普遍問題做反思性探討，具有較高的參考價值。如：朱小平老師以蘇教版教材為例，就乘法分配律的教學(xué)，對“數(shù)學(xué)理解”“數(shù)學(xué)理解的層次”做了分析，并提出了促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)理解”的做法；徐希浩老師就如何指導(dǎo)學(xué)生分層建立數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)實質(zhì)理解做了反思等。

參考文獻(xiàn)：

[1]理查德萊什.數(shù)學(xué)概念和程序的獲得[M].孫昌識，譯.山東：山東教育出版社，1991：142.

[2]A.D.亞歷山大洛夫，等.數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義：第3卷[M].王元，萬哲先，等，譯.北京：科學(xué)出版社，2001：309-310.

[3]楊曉映，何先友.不同問題情景對不學(xué)生運用乘法運算策略的影響[J].心理發(fā)展與教育，2007（3）：68.

[4]孫瑛，等.乘法分配律教學(xué)研究報告[J].湖南教育，2013（4）：26-29.

[5]黃劍慧.“乘法分配律”例題呈現(xiàn)的教材比較研究[J].新課程，2013（5）：23-24.

[6]丁麗.乘法分配律學(xué)習(xí)前測分析及思考[J].湖南教育：下，2013（4）：49-51.

[7]孫暾.“乘法分配律”專項測評情況分析[J].小學(xué)教學(xué)參考：數(shù)學(xué)，2013（4）：8-9.

[8]朱小平.用“理解”的眼光來分析和解決：也談乘法分配律的教學(xué)困惑[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)版，2010.

[9]徐希浩.分層建立數(shù)學(xué)模型，引領(lǐng)學(xué)生實質(zhì)理解：“乘法分配律”執(zhí)教前后的思考[J].小學(xué)教學(xué)參考：數(shù)學(xué)，2011（11）：12.