丁艷玲

摘要：高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理具有千絲萬縷的聯(lián)系。本文首先討論了高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理的學(xué)科特點，提出兩學(xué)科在教學(xué)中的相互滲透和相互促進(jìn)作用。基于工科學(xué)生在高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理學(xué)習(xí)中遇到的問題，指出大學(xué)物理為高等數(shù)學(xué)的抽象思維提供豐富的內(nèi)涵，進(jìn)而提出物理思維在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的必要性。文中著重探討如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的物理思維，進(jìn)而滿足工科學(xué)校培養(yǎng)學(xué)生工程思維的需求。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)課程 物理思維 教學(xué)設(shè)計 教學(xué)內(nèi)容

中圖分類號：G6337文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-5349（2016）11-0023-02

高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理是理工科學(xué)生必修的基礎(chǔ)課。雖然，它們有各自不同的目標(biāo)和價值判斷準(zhǔn)則，也有不同的傳統(tǒng)。但它們的基礎(chǔ)概念部分，令人吃驚地分享著若干共同的概念。[1]兩學(xué)科之間彼此借鑒，互相促進(jìn)。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)物理必備的工具，物理學(xué)發(fā)現(xiàn)的定性規(guī)律可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式定量且簡潔地表述出來。反之大學(xué)物理對高等數(shù)學(xué)的回饋也很豐厚。學(xué)過物理的學(xué)生對數(shù)學(xué)意境有更深邃的理解，更能體會數(shù)學(xué)語言的豐富內(nèi)涵和高度概括力。一些頗費口舌的數(shù)學(xué)概念可以借助物理的直觀而簡化處理。[2]高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理有著千絲萬縷的聯(lián)系，許多教育工作者就如何結(jié)合兩門學(xué)科特點協(xié)同教學(xué)進(jìn)行了深入探討。

一、問題的提出

隨著我國高考調(diào)整，普通高校擴招，增大學(xué)校規(guī)模，就出現(xiàn)了普通本科院校生源質(zhì)量逐年下降，明顯的表現(xiàn)就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較薄弱。[3]根據(jù)多年實際教學(xué)經(jīng)驗及對學(xué)生的問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)：學(xué)生們在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，物理想象能力匱乏；學(xué)習(xí)大學(xué)物理時，缺少與新知識相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識作為儲備，從而對物理模型的理解應(yīng)用產(chǎn)生局限性。因此，幫助學(xué)生克服在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中涉及的物理問題時出現(xiàn)的思維負(fù)遷移，使其順利實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和物理思維間轉(zhuǎn)化，從而為更好地培養(yǎng)學(xué)生具有優(yōu)秀的工程師素質(zhì)，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中需要承擔(dān)的任務(wù)和挑戰(zhàn)。本文就如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強培養(yǎng)學(xué)生物理思維的改革與實踐提出幾點思考與探索。

二、探尋物理意義，實現(xiàn)物理思維在數(shù)學(xué)中的滲透

高等數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面具有為其他科學(xué)提供表述語言、抽象思維模式和計算工具的特點。[4]物理學(xué)研究的是物理量之間的數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系要借助于數(shù)學(xué)來表達(dá)。數(shù)學(xué)既是物理學(xué)的語言，又是物理學(xué)的工具。在高等數(shù)學(xué)涉及到的物理問題教學(xué)中，既要實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)物理內(nèi)容，如定理、定律等，又要指導(dǎo)學(xué)生善于從數(shù)學(xué)演算的結(jié)果中作出符合實際的解釋，即追問表示什么樣的物理意義。

高等數(shù)學(xué)與大學(xué)物理在概念、內(nèi)容上有著相當(dāng)程度的融合。下面以“對弧長的曲線積分”教學(xué)內(nèi)容為例，展示在教學(xué)中始終圍繞物理意義來完成數(shù)學(xué)教學(xué)過程。利用探尋物理意義的方式實現(xiàn)物理具體思維與數(shù)學(xué)抽象思維間的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而建立物理問題和數(shù)學(xué)概念間的柔性連接。

高等數(shù)學(xué)的“對弧長的曲線積分”教學(xué)引入中首先提出如下物理問題。設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置是在xoy面內(nèi)的一段曲線弧L上，已知曲線形構(gòu)件在曲線弧L上的點（x，y）處的線密度為μ（x，y），現(xiàn)計算該曲線形構(gòu)件的質(zhì)量m。在處理具有實際意義的物理問題過程中，通常需要將問題進(jìn)行合理的抽象和簡化，轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。我們將構(gòu)件質(zhì)量計算的數(shù)學(xué)形式定義為對弧長的曲線積分。反之，從物理學(xué)角度解讀對弧長的曲線積分，∫Lμ（x，y）ds就是線密度為μ（x，y）曲線形構(gòu)件的質(zhì)量。將問題延伸一下，當(dāng)μ（x，y）=1時，得對弧長曲線積分∫Lds=s。從物理學(xué)角度解釋，如果線密度為常數(shù)1，曲線質(zhì)量恰好為曲線長度與線密度的乘積，即曲線質(zhì)量恰好為曲線長度。

類似的，引導(dǎo)學(xué)生自主思考：若曲形構(gòu)件所占有空間區(qū)域為閉合曲線，計算當(dāng)它的密度為1時的質(zhì)量；設(shè)平面薄片占有由閉合曲線所圍成的平面區(qū)域R，計算當(dāng)它的密度為1時的質(zhì)量。

通過上述教學(xué)過程，可以清晰地發(fā)現(xiàn)教學(xué)的主題雖還是數(shù)學(xué)內(nèi)容，但教學(xué)的延展卻是數(shù)學(xué)的物理應(yīng)用，這樣的教學(xué)設(shè)計有助于開拓學(xué)生的視野，提高學(xué)生們的應(yīng)用能力。

三、突出高等數(shù)學(xué)中物理概念和原理的學(xué)習(xí)

高等數(shù)學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、空間想象、邏輯推理和計算等方面的能力，大學(xué)物理不僅要使學(xué)生獲得關(guān)于自然現(xiàn)象的更加嚴(yán)密、準(zhǔn)確和一般化的知識，而且要使學(xué)生掌握科學(xué)的思想方法和研究方法（包括運用數(shù)學(xué)工具和實驗）。因此，高等數(shù)學(xué)和物理雖然在許多內(nèi)容上有著高度的融合，但是由于自身各自的學(xué)科特點，仍要注意區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)概念和物理概念，突出物理概念、原理的學(xué)習(xí)。

下面以高數(shù)教材中的“曲線”教學(xué)內(nèi)容為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，強調(diào)在教學(xué)中始終把握曲線是運動的軌跡這一物理背景，讓學(xué)生們體會用曲線來描繪和分析運動是數(shù)學(xué)教學(xué)的功能之一。

對于任意一條空間曲線都可以認(rèn)為是某質(zhì)點的運動軌道，也都可以認(rèn)為是某一隨時間變化的位置矢量的端點軌跡。對于變化的位置矢量來說，總可以表達(dá)為三個直角坐標(biāo)分量的形式r=xi+yizk。該矢量表達(dá)和參數(shù)方程表達(dá)x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）是等價的。

1.向量值函數(shù)在運動學(xué)中的概念

若r是沿光滑平面曲線運動的質(zhì)點的位置向量，則在任何時刻t，

（1）v（t）=drdt是質(zhì)點的速度向量，并且與曲線相切（切向量）；

（2）‖v（t）‖代表v（t）的大小，是質(zhì)點的速率；

（3）a（t）=dvdt=d2vdt是速度的導(dǎo)數(shù)或位置向量的二階導(dǎo)數(shù)，是質(zhì)點的加速度向量；

（4）v（t）‖v（t）‖是一個單位向量，且為運動方向。

我們可以把運動的質(zhì)點的速度表示成它的速率與方向的乘積：

速度=‖v‖（v‖v‖=（速率）（方向）

2.曲線的曲率與物理學(xué)的銜接

在曲線曲率的教學(xué)過程中，可以更工程化地體現(xiàn)我們的教學(xué)內(nèi)容?，F(xiàn)在我們不妨拋開抽象的數(shù)學(xué)概念，以向量值函數(shù)在運動學(xué)中的相關(guān)概念為基礎(chǔ)，給出曲率的定義。設(shè)物體沿某光滑曲線運動，不妨用點離開某個“基點”的有向距離s確定物體位置，這與用離開原點的有向距離來確定該點在坐標(biāo)軸上的位置如出一轍。s可以作為研究曲線形狀的自然參數(shù)（稱為弧長參數(shù)）?；￠L參數(shù)對于研究空間或平面曲線的彎曲和扭轉(zhuǎn)特別有效。

由于s（t）=∫tt0‖v（τ）‖dτ，顯然有dsdt=‖v（t）‖。由速度向量v（t）=drdt相切于曲線，知向量T=v‖v‖是光滑曲線的單位切向量。現(xiàn)令弧長作為參數(shù)，因為我們考慮的曲線dsdt>0，是單值的且其反函數(shù)是s的可微函數(shù)t，故有反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為dtds=1ds/dt=1‖v‖。這就使得r是s的可微函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可通過鏈?zhǔn)椒▌t計算得drds=drdtdtds=v1‖v‖=T。這個等式說明dr/ds是在速度向量v方向上的單位切向量。

對于平面曲線，它即使彎曲也不能扭轉(zhuǎn)出平面。當(dāng)一個質(zhì)點沿平面光滑曲線運動時，T=drds隨著曲線的彎曲而轉(zhuǎn)動，因為T是單位向量，在質(zhì)點沿曲線運動時，它的長度保持常數(shù)值而僅僅方向在改變。由此我們定義單位長度上T的轉(zhuǎn)動率稱為曲率。若T是光滑曲線的單位切向量，則曲率函數(shù)是K=‖dTds‖。如果‖dTds‖大，T在質(zhì)點通過P時轉(zhuǎn)動得急劇，在點P的曲率就大，如果接近于零，在質(zhì)點通過時轉(zhuǎn)動得緩慢，在點的曲率就小。以直線與圓周的曲率為例，易知直線曲率為零，圓周曲率為其半徑的倒數(shù)，且半徑越小曲率越大，恰好可以檢驗這個定義。

雖然作為數(shù)學(xué)概念，可以很輕松地講解曲率，但通過這種教學(xué)設(shè)計結(jié)合物理概念和原理來講解曲率時，可以更好地實現(xiàn)物理思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，達(dá)到良好的教學(xué)效果。

由此可見，針對高等數(shù)學(xué)教材中涉及的物理模型章節(jié)，例如，質(zhì)點運動的描述，力的做功運算，多質(zhì)點系剛體，場的路徑積分及通量計算等進(jìn)行教學(xué)改革與實踐，可以提高學(xué)生的物理思維，并為使他們具備工程思維打下良好基礎(chǔ)。但同時在針對高數(shù)教材中涉及的物理問題調(diào)整教學(xué)內(nèi)容時，還要注意以下幾個問題：

（1）既要注意物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，又要特別注意物理現(xiàn)象自身的特點。

（2）既要明確物理規(guī)律所表示的物理意義，又不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義去理解物理問題，特別要防止單純從數(shù)學(xué)觀點出發(fā)將物理問題純數(shù)學(xué)化的傾向。

（3）由于物理規(guī)律受實際情況的制約，所以表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式時一定要明確物理公式成立的條件和適用的范圍。

因為在教學(xué)過程中適當(dāng)強調(diào)物理定律或公式是如何建立或?qū)С龅模⒃诖嘶A(chǔ)上弄清物理定律或公式的意義和應(yīng)用背景，因此可以幫助學(xué)生們避免機械地死記硬背物理公式的困難。

四、結(jié)論

大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，許多教育工作者就如何更好地建立兩學(xué)科的柔性連接進(jìn)行了廣泛深入的研究。本文基于數(shù)學(xué)及物理的廣泛聯(lián)系及應(yīng)用性，意識到數(shù)學(xué)融合物理的教學(xué)實踐具有廣闊的發(fā)展空間。文中強調(diào)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)建立物理問題和數(shù)學(xué)概念的柔性連接并突出高等數(shù)學(xué)中物理概念和原理的學(xué)習(xí)。通過對“弧長的曲線積分”和“用曲線來描繪和分析運動”的教學(xué)設(shè)計，具體呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中加強培養(yǎng)學(xué)生物理思維的必要性與可行性。這種教學(xué)設(shè)計為學(xué)生提供了一種真正的工程背景，使學(xué)生感受到科學(xué)和技術(shù)就發(fā)生在身邊，成果就在其中，從而引發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，擴展他們的視野，培養(yǎng)他們的工程素質(zhì)。

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責(zé)任編輯：孫瑤