一類不定積分問題的一題多解

摘 要： 我們從一題多解的角度對有理函數(shù)和可化成有理函數(shù)的不定積分的解題方法做一定探討。

關(guān)鍵詞：不定積分 有理函數(shù) 一題多解

不定積分是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重要知識點，但由于其題目廣泛，無固定規(guī)律，計算方法又靈活多變，所以學(xué)生對此類問題的計算往往感覺困難，不知如何下手。為此本文試圖從一題多解的角度考慮一類不定積分問題的計算，開拓學(xué)生思路，使其更好地理解掌握不定積分的各種積分方法。

例1 計算 。

解法1 湊微分法（也叫第一類換元積分法）

原式

解法2第二類換元積分法

令

原式

解法3 倒代換

令 ， 則 ， 原式

解法4用待定系數(shù)法把有理函數(shù)化成部分分式之和，分項積分求出結(jié)果

利用待定系數(shù)法有理函數(shù)得，

例2 計算

解法1 湊微分法

解法2 第二類換元積分法

令 ， 則

當 時，

當 時，

綜上所述，

解法3 根式代換

令 ，則 ，

例3 計算

解法1 萬能代換

令

解法2 拆項積分和湊微分法相結(jié)合

注：比較上述兩種解法，利用萬能代換雖然適用于三角函數(shù)有理式積分的各種情況，但往往比較麻煩；要使方法簡單，必須掌握較高技巧.一般的，若求 ，可將分子化成

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上：第七版[M].北京：高等教育出版社，2007：194—208.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析[M]. 高等教育出版社，2001.

[3]陳紀修等編. 數(shù)學(xué)分析.2版. 高等教育出版社，2004.

作者簡介

賈文燕，碩士，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，助教