泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究

胡馨月

摘 要：在現(xiàn)代教育研究領(lǐng)域的不斷拓展，泰勒公式成了高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，且對(duì)高等數(shù)學(xué)的發(fā)展有很大的作用。泰勒公式可以將一些復(fù)雜函數(shù)近似地轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，能用高次多項(xiàng)式進(jìn)行精確度要求較高的運(yùn)算。也是人們分析和研究數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要的工具，目前在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛。

關(guān)鍵詞：泰勒公式 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用

泰勒公式是求解高等數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具。其在微積分的各個(gè)方面都有廣泛應(yīng)用。尤其是在近似計(jì)算，誤差估計(jì)以及判斷函數(shù)增減性、凹凸性等方面也有很好的應(yīng)用。泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。 在函數(shù)的圖像足夠光滑，并且已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值，而且還能計(jì)算出多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。泰勒公式不僅能解決特殊類型的有理函數(shù)不定積分，而且還能求解出函數(shù)的極限。

一、泰勒公式

泰勒公式是根據(jù)該函數(shù)的特性對(duì)其進(jìn)行求解，我們可以使用泰勒公式將一些非初等函數(shù)轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，從而在一定程度上省略了很多換算的步驟。這也是在高等數(shù)學(xué)它能廣泛應(yīng)用的一個(gè)重點(diǎn)。泰勒公式：f（x）=f（x0）+f（x0）/1！*（x-x0）+f（x0）/2！*（x-x0）^2+…+f^（n）（x0）/n?。▁-x0）^n+o（（x-x0）^n）。我們把其中的o（（x-x0）^n）稱之為拉格朗日型余項(xiàng)。特別應(yīng)該注意的是在對(duì)泰勒公式的使用有一些具體的條件就是必須保證函數(shù)f（x）的n階可導(dǎo)，然后才能轉(zhuǎn)化和計(jì)算。

二、泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.利用泰勒公式求函數(shù)極限

高等數(shù)學(xué)中求解未定式極限是極限運(yùn)算中的典型問題，用等價(jià)無窮小量替換求極限是一種有效的方法。運(yùn)用泰勒公式法需要注意的一個(gè)問題是將函數(shù)展開至化簡(jiǎn)后n+1階導(dǎo)存在即可。利用泰勒展開式的余項(xiàng)可以近似的表示近似這個(gè)函數(shù)后所產(chǎn)生的誤差，使誤差不超過預(yù)期。有時(shí)在想要證明不等式中含有一階以上的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般在于根據(jù)題設(shè)的條件來選擇要展開的函數(shù)、在哪一點(diǎn)的鄰域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階次及余項(xiàng)的形式。

舉個(gè)例子，如何利用泰勒公式求未定式的極限。未定式一般是用洛比達(dá)法則求解，在分子分母的階數(shù)都是無窮小時(shí)必須進(jìn)行多次洛比達(dá)法則，越微分會(huì)越復(fù)雜，此時(shí)若使用泰勒公式會(huì)更簡(jiǎn)單。有些求無窮型極限可以用洛比達(dá)法則求解，不過此時(shí)利用泰勒公式可以將問題大大簡(jiǎn)化。利用泰勒公式求極限是一種利用等價(jià)無窮小的替代來計(jì)算極限的方法，其實(shí)質(zhì)是將函數(shù)用泰勒公式展開，再利用了泰勒公式的分式作用化簡(jiǎn)再利用無窮小階的估計(jì)，從而得到極限。

2.判斷級(jí)數(shù)的斂散性

當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是一種比較繁難形式時(shí)，往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化或統(tǒng)一形式。此時(shí)一般需要考慮兩個(gè)問題。

一是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷，當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的復(fù)雜形式時(shí)，如何要利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化？此時(shí)我們需要直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷級(jí)數(shù)無法恰當(dāng)選擇判斂方法。使用放縮等技巧是比較判別法常用的技巧。

二是如何判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性？我們一般常用的是魏爾斯特拉斯判別法，通過與正項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)進(jìn)行比較來判斷是否一致收斂。在此過程中，我們可以利用泰勒公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行展開，從而與正項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，然后進(jìn)行進(jìn)一步的判斷。

3.證明不等式

泰勒公式不僅在理論上占有重要的地位，也數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中利用泰勒公式建立了函數(shù)的增量和自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，能把一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為較為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，由此泰勒公式成為了把復(fù)雜變簡(jiǎn)單的有力工具。所以我們可以使用泰勒公式來確定無窮小的階，極限，以及不等式與等式的證明等。在高等數(shù)學(xué)中，證明不等式的方法很多。有時(shí)在欲證不等式中含有一階以上的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般在于根據(jù)題設(shè)的條件來選擇要展開的函數(shù)、在那一點(diǎn)的鄰域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階次及余項(xiàng)的形式。在證明已知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，用泰勒公式先直接寫出的泰勒展開式，然后在具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的前提下，一般先作輔助函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，然后對(duì)泰勒余項(xiàng)作適當(dāng)處理。舉個(gè)例子，在利用泰勒公式證明代數(shù)不等式時(shí)，我們將不等式化簡(jiǎn)，我們要構(gòu)造函數(shù)，利用泰勒公式將不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，再利用泰勒公式展開求解。

4.證明中值公式

若欲證的結(jié)論是至少存在一點(diǎn)代數(shù)式，則可以考慮使用輔助函數(shù)法，輔助函數(shù)由定理的結(jié)論即得命題的證明。即通過恒等變形將結(jié)論化為以消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式，用積分法求出原函數(shù)，通過移項(xiàng)使等式一邊為零，則另一邊將結(jié)論中的c換成x就可以直接將被積函數(shù)設(shè)為輔助函數(shù)，即可以解出此題。

總之，泰勒公式不僅在理論上占有重要的地位，而且在函數(shù)斂散性的判斷、近似計(jì)算、極限計(jì)算、等式與不等式的證明、等方面有重要 的應(yīng)用。在解題訓(xùn)練中要把握處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。

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