鄭敏

摘 要：高等數(shù)學(xué)是大學(xué)期間許多專業(yè)所必修的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程。文章主要結(jié)合自身針對(duì)經(jīng)管類學(xué)生的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，從注重?cái)?shù)學(xué)定義、傳授通用學(xué)習(xí)法、領(lǐng)悟?qū)嵱眯院徒梃b翻轉(zhuǎn)式課堂教學(xué)模式這四個(gè)方面淺談如何講授能提高學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；經(jīng)管類；翻轉(zhuǎn)課堂；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）01-0062-03

Abstract： Advanced mathematics is an important basic course for many majors in college. Mainly combined with the author's teaching practice of this course for students majored in economics and management， this paper shallowly discusses how to improve students' learning efficiency and application ability of advanced mathematics from four aspects， including emphasizing on mathematical definitions， imparting general learning methods， apprehending the practicability and drawing lessons from the teaching mode of flipped classroom.

Keywords： advanced mathematics； economics and management； flipped classroom； mathematical thought；mathematical modeling

高等數(shù)學(xué)作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，歷來(lái)深受重視。不單是理科專業(yè)的必修課程，更為許多文科專業(yè)所必修，甚至于某些如經(jīng)濟(jì)類和管理類本科對(duì)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)要求頗高。學(xué)好這門(mén)課不僅是專業(yè)需求，而且其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想能讓學(xué)生獲益匪淺。然而，在大學(xué)生中，普遍存在“聞數(shù)色變”這一現(xiàn)象。因此，如何講授能提高學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率和應(yīng)用能力？是值得深究的。

一、注重?cái)?shù)學(xué)定義，方能使應(yīng)用瀟灑自如

有別于中學(xué)數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)更注重要求學(xué)生掌握定義的本質(zhì)，以便于后續(xù)在其他相關(guān)學(xué)科和相關(guān)課程的實(shí)際應(yīng)用。在該學(xué)科的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)的理解，是使學(xué)生能迅速掌握其相關(guān)知識(shí)和靈活應(yīng)用的重要前提。也只有真正掌握數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)，才能靈活地運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題。 因此，如何做好定義的講授至關(guān)重要。

例如定積分定義[1]P187-190講授。在具體介紹該定義之前，可舉幾個(gè)不同領(lǐng)域的問(wèn)題，比如物理中變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求解，經(jīng)濟(jì)學(xué)中收益問(wèn)題和數(shù)學(xué)中曲邊梯形的面積求解等。對(duì)這三個(gè)引例，引導(dǎo)學(xué)生思考“如直線運(yùn)動(dòng)若是勻速直線運(yùn)動(dòng)那路程便是速度乘以時(shí)間，那變速怎么做？經(jīng)濟(jì)學(xué)中若商品價(jià)格不變，那么收益便是價(jià)格乘以數(shù)量了，那若是價(jià)格改變?nèi)绾斡?jì)算收益？數(shù)學(xué)中直線邊的圖形面積已能解決，那么曲線邊的圖形面積如何解決？”尋找規(guī)則問(wèn)題與不規(guī)則問(wèn)題的差異，獲得之間的聯(lián)系，從而得到解題思路，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖其所涉及的領(lǐng)域不同，但解題思路均可歸納為四個(gè)步驟“分割——近似——求和——取極限”，進(jìn)而引入定積分的定義。如此，學(xué)生對(duì)此定義便有了深刻的了解，既掌握了定義的本質(zhì)，也學(xué)會(huì)了以規(guī)則問(wèn)題的解決方法求解不規(guī)則問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生掌握定積分的應(yīng)用有很大的幫助，就比如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收益問(wèn)題。事實(shí)上，定積分涉及極限概念的應(yīng)用。因此，若是之前極限的概念教學(xué)效果好[2]，學(xué)生理解得好，那么在定積分的概念學(xué)習(xí)上就有幫助。

在經(jīng)管類等其他相關(guān)學(xué)科學(xué)生的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握好數(shù)學(xué)定義也能讓后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)事半功倍。

比如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際函數(shù)[1]P145概念。其定義為已知經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)f'（x）為y=f（x）的邊際函數(shù)。該定義很容易記住，但對(duì)于大一學(xué)生來(lái)說(shuō)，總有個(gè)疑惑，為什么是導(dǎo)數(shù)？有什么用？因此，在講授該概念時(shí)可提醒學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的定義思想為函數(shù)因變量增量與自變量增量之比的極限。從而，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)相關(guān)經(jīng)濟(jì)量之間變化的相互影響情況。

由此可見(jiàn)，若能對(duì)數(shù)學(xué)概念理解透徹，那么相關(guān)學(xué)科的概念理解也能事半功倍。尤其對(duì)經(jīng)管類等其他相關(guān)學(xué)科學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解好高等數(shù)學(xué)定義，能讓后續(xù)應(yīng)用更加靈活。

二、循循善誘，激發(fā)興趣，傳授通用的學(xué)習(xí)法

很多學(xué)生可說(shuō)是聞“數(shù)”色變。但數(shù)學(xué)真的難嗎？很多學(xué)生其實(shí)是望而生畏。

因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心是至關(guān)重要的。學(xué)生怕數(shù)學(xué)，主要是覺(jué)得它難，如果在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中將難化易，信心自然就有了。

（一）“概念見(jiàn)面”輕松化，強(qiáng)調(diào)如何應(yīng)用已有知識(shí)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)概念抽象嚴(yán)謹(jǐn)，在教授新概念時(shí)，學(xué)生很常有抵觸情緒。要是照本宣科，學(xué)生的第一反應(yīng)可能就是不想聽(tīng)。但如果這個(gè)“概念見(jiàn)面會(huì)”變得輕松自然，學(xué)生就有興趣了。比如在介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)這個(gè)概念時(shí)，可設(shè)置提問(wèn)引入，先問(wèn)學(xué)生“1+2+3=？”，顯然這個(gè)大家都會(huì)，還是“小兒科”，如此一來(lái)，學(xué)生情緒就有點(diǎn)放松了。再問(wèn)學(xué)生“1+2+3+4=？”，這個(gè)肯定也會(huì)，學(xué)生這會(huì)就有點(diǎn)被吸引了，會(huì)好奇老師到底想說(shuō)什么了。接著問(wèn)學(xué)生“1+22+31+45+56+62+……+100000=？”要很快得到答案就難了，提醒學(xué)生雖然難算，但是結(jié)果肯定是某個(gè)數(shù)，只是時(shí)間的問(wèn)題。最后再問(wèn)“1+2+3+4+5+6+……100000+……=？”啟發(fā)學(xué)生發(fā)覺(jué)這個(gè)求和與之前幾個(gè)例子的不同之處在于這個(gè)是可數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)的求和問(wèn)題，這個(gè)結(jié)果到底存在不存在還未知？從而引入無(wú)窮級(jí)數(shù)這個(gè)概念，簡(jiǎn)單說(shuō)就是可數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)的求和問(wèn)題。這樣一來(lái)，學(xué)生對(duì)于這個(gè)新概念就不會(huì)感到突然。而且在逐層遞進(jìn)提問(wèn)中，學(xué)生也一路被吸引著進(jìn)入了主題。

而如何給出級(jí)數(shù)求和的定義，那么可引導(dǎo)學(xué)生回顧已掌握的數(shù)列前n項(xiàng)求和，再啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)前n項(xiàng)和，當(dāng)n→∞即為級(jí)數(shù)，從而引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出級(jí)數(shù)求和的方法。這種回顧已掌握知識(shí)，尋求其與未解決問(wèn)題二者聯(lián)系，進(jìn)而求解未知問(wèn)題的思考方式適合很多知識(shí)的學(xué)習(xí)，且行之有效，容易讓學(xué)生增加信心。

又比如在介紹定積分定義時(shí)，可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧常見(jiàn)規(guī)則問(wèn)題的解法，如“直線段長(zhǎng)度怎么計(jì)算？正方形面積怎么計(jì)算？勻速直線運(yùn)動(dòng)路程怎么計(jì)算？”從而引導(dǎo)思考不規(guī)則問(wèn)題的解法，如“曲線長(zhǎng)度怎么計(jì)算？曲線邊圖形面積怎么算？”如此便能引起學(xué)生興趣。

當(dāng)然，在介紹新概念時(shí)，若以相應(yīng)的數(shù)學(xué)史作為引入背景[3]，學(xué)生聽(tīng)得有滋有味，數(shù)學(xué)課也可講得精彩生動(dòng)，不那么枯燥呆板。而現(xiàn)今多媒體的技術(shù)的輔助[3]，也能讓許多抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象生動(dòng)，超脫黑板的束縛，讓學(xué)生更有興趣聽(tīng)講。

由此可見(jiàn)，在課堂教學(xué)中，采用以學(xué)生已熟練掌握的知識(shí)作為情境等多種手段教學(xué)，可以啟發(fā)大多數(shù)學(xué)生進(jìn)行積極思考，調(diào)動(dòng)同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性。

（二）“新舊”見(jiàn)面會(huì)，比較引入

在高等數(shù)學(xué)中，很多概念具有相似性。在教學(xué)中，若能善用此相似性，在傳授新知識(shí)時(shí)， 以舊知識(shí)為例，比較引入，也是個(gè)常用有效的方法。比如在二元函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）→（x0， y0）時(shí)的極限的講授過(guò)程中，可先讓學(xué)生回顧一元函數(shù)f（x）當(dāng)x →x0時(shí)的極限定義。一元函數(shù)的極限，通俗地說(shuō)就是討論當(dāng)自變量x無(wú)限趨近某個(gè)固定值x0時(shí)，因變量f（x）是否無(wú)限趨近于某個(gè)數(shù)。討論一個(gè)實(shí)數(shù)x的取值情況，可以利用其幾何表示（即每一個(gè)實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)軸上的每一點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)），那么從直線上便可看出，自變量x要趨近某個(gè)固定值x0，只能從x0點(diǎn)的左右兩邊沿直線趨近，和定義所述的|x-x0|<？啄對(duì)應(yīng)。引導(dǎo)學(xué)生注意二元函數(shù)的極限思想與一元函數(shù)是一致的。只是此時(shí)一對(duì)自變量 （x，y）的取值在幾何上對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)，點(diǎn)（x，y）要趨近點(diǎn)（x0，y0），就不再像一維時(shí)的左右直線趨近那么簡(jiǎn)單，而是點(diǎn)（x，y）可以以任何方向沿任何曲線趨近（x0，y0），故而用點(diǎn)（x，y）屬于以點(diǎn)（x0，y0）為圓心？啄為半徑的去心鄰域■（（x0，y0），？啄）來(lái)描述。如此讓新知識(shí)看起來(lái)頗為“面熟”，使新概念在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上更容易理解，從而使學(xué)生的思維很自然地步入新知識(shí)體系軌道中，同時(shí)為概念后續(xù)相關(guān)學(xué)習(xí)研究奠定基礎(chǔ)。

上述兩種講授方法在學(xué)習(xí)其他相關(guān)學(xué)科也是常用的有效方法，更是教給學(xué)生一種不論任何科目都可通用的學(xué)習(xí)方法。

三、引導(dǎo)學(xué)生感受高等數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)管類專業(yè)的重要性，激發(fā)自主學(xué)習(xí)

對(duì)經(jīng)管類學(xué)生而言，數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性不言而喻。其很多課程都與之有關(guān)，比如數(shù)學(xué)建模類課程等。

相信大多老師在教授大一新生高數(shù)時(shí)都會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生經(jīng)常試圖用高中方法替代新授方法來(lái)求解問(wèn)題，有些學(xué)生過(guò)于注重“應(yīng)試”，從而對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生“無(wú)用論”的想法。如何激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的自主學(xué)習(xí)？關(guān)鍵在于消除高數(shù)的“無(wú)用論”想法，讓學(xué)生意識(shí)到高等數(shù)學(xué)的重要性。因此，強(qiáng)調(diào)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性，讓學(xué)生深刻意識(shí)到其在相關(guān)專業(yè)中的數(shù)學(xué)建模作用[4]，尤為重要。

鑒于此，在講授過(guò)程中可結(jié)合相關(guān)經(jīng)濟(jì)知識(shí)，適當(dāng)引入經(jīng)濟(jì)應(yīng)用型題目，介紹學(xué)習(xí)高數(shù)知識(shí)的必要性，讓學(xué)生體會(huì)到高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于后續(xù)課程學(xué)習(xí)奠基性的作用。

比如經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)值的經(jīng)濟(jì)意義如何理解？對(duì)于這一點(diǎn)，若熟知導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系以及微分的近似應(yīng)用，便可輕松掌握其經(jīng)濟(jì)意義。具體以關(guān)于產(chǎn)量Q的成本函數(shù)C（Q）為例，根據(jù)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，產(chǎn)量Q一般是一個(gè)比較大的量，則其增量△Q=1可看作一個(gè)相對(duì)較小的量，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與微分間的關(guān)系，邊際成本C'（Q）的經(jīng)濟(jì)意義便是如果已經(jīng)生產(chǎn)了 個(gè)Q單位產(chǎn)品，在此基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品近似需增加成本C'（Q）個(gè)單位成本。而這個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)商的生產(chǎn)計(jì)劃擬定是有幫助。若再結(jié)合其他函數(shù)極限等相關(guān)知識(shí)，小小的成本函數(shù)導(dǎo)數(shù)值C'（Q）可見(jiàn)生產(chǎn)函數(shù)的諸多端倪。

又比如為何要學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分？在介紹這一章內(nèi)容之前，可引發(fā)學(xué)生思考，在現(xiàn)實(shí)生活中，某個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)往往受產(chǎn)品價(jià)格、同類產(chǎn)品價(jià)格、人的收入等多個(gè)因素的影響。因此，若是想要更精確分析產(chǎn)品利潤(rùn)變化情況，比起以價(jià)格為自變量利潤(rùn)為因變量的一元函數(shù)，建立多元函數(shù)，其分析可更全面，更貼近實(shí)際。從而使學(xué)生重視該章內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

由此可見(jiàn)，唯有擺正學(xué)習(xí)目標(biāo)性，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解透徹，方可靈活借用相關(guān)的數(shù)學(xué)工具，建立合適的數(shù)學(xué)模型，做出合理的決策分析，在茫茫數(shù)據(jù)世界中，尋找出其規(guī)律性。

若能讓學(xué)生意識(shí)到這些，便可大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

四、借鑒“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率

近來(lái)，“翻轉(zhuǎn)課堂”這一顛覆傳統(tǒng)的教學(xué)模式，在教育行業(yè)引起不小的震動(dòng)。何謂“翻轉(zhuǎn)課堂”[5]？傳統(tǒng)的教學(xué)模式是老師在課堂上講課，布置家庭作業(yè)，讓學(xué)生回家練習(xí)。而“翻轉(zhuǎn)課堂”式教學(xué)模式則是學(xué)生在家完成知識(shí)的學(xué)習(xí)，而課堂變成了師生之間和學(xué)生與學(xué)生之間互動(dòng)的場(chǎng)所，包括答疑解惑、知識(shí)的運(yùn)用等，真正做到“授之以漁”，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。

對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，由于種種原因，多采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，而學(xué)生大多沒(méi)有課前預(yù)習(xí)習(xí)慣，往往承受不住兩節(jié)課滿滿的信息量，效果欠佳。我們需考慮多模式的教學(xué)方式?！胺D(zhuǎn)課堂”就是個(gè)不錯(cuò)的啟發(fā)。然而“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式雖然很好，但考慮到學(xué)生專業(yè)特色和課程特點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)授課若完全照搬“翻轉(zhuǎn)課堂”，較難執(zhí)行。注意到“翻轉(zhuǎn)課堂”突出的是“先學(xué)后教”的教育理念。因此，我們可以借鑒其理念，采取傳統(tǒng)教學(xué)和“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)。具體執(zhí)行如下：第一、上課時(shí)在教授新知識(shí)之前，可先預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生瀏覽課本內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生記錄下疑問(wèn)點(diǎn)，在稍后講授過(guò)程中得以解惑。在此時(shí)間段內(nèi)，老師巡視教室，分個(gè)體予以適當(dāng)指導(dǎo)解惑，從中初步了解學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況，便于后續(xù)課堂講授。該方法也給予學(xué)生上課的緩沖時(shí)間。若是上課鈴一響，馬上開(kāi)始講授，很多學(xué)生都沒(méi)有進(jìn)入狀態(tài)，而通常一時(shí)沒(méi)跟上則步步落。當(dāng)然學(xué)生若能主動(dòng)課前預(yù)習(xí)，針對(duì)疑問(wèn)處可向老師尋求指導(dǎo)，后續(xù)聽(tīng)講效果則更好。第二、例題講授部分，可補(bǔ)充些與課本例題相似題型的例題。如此，在新知識(shí)講授結(jié)束后，則可讓學(xué)生先自習(xí)課本例題，然后嘗試練習(xí)所補(bǔ)充的例題。與此同時(shí)，老師巡視教室，答疑解惑，后續(xù)再由老師統(tǒng)一講解，引導(dǎo)學(xué)生整理解題思路，糾正常見(jiàn)解題誤區(qū)。

上述兩個(gè)步驟，經(jīng)實(shí)踐，既可全面提升課堂上的師生互動(dòng)，方便老師在巡視過(guò)程中予以分層次答疑解惑，也可讓學(xué)生在“先學(xué)”的基礎(chǔ)上有針對(duì)性聽(tīng)講老師的“后教”，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和效率。

五、結(jié)束語(yǔ)

在多年的經(jīng)管類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，作者深深感受到在授課過(guò)程中數(shù)學(xué)思想傳遞的重要性。在上述所列的四點(diǎn)感想中，本質(zhì)上也是體現(xiàn)如何更好地在講授知識(shí)的基礎(chǔ)上讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)不能流于知識(shí)表面，而應(yīng)該懂得其內(nèi)在隱含的數(shù)學(xué)思想。唯有此，才能做到“一通”而“百通”，才能靈活應(yīng)用，進(jìn)而感受到數(shù)學(xué)的美。

參考文獻(xiàn)

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