李申華
【摘 要】數(shù)學(xué)解決問題教學(xué),不應(yīng)該忽視數(shù)量關(guān)系,而應(yīng)該更加重視數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)。具體而言,可以從“注重積累,建構(gòu)數(shù)量關(guān)系;注重策略,活用數(shù)量關(guān)系”兩個方面展開教學(xué),從而有效促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升。
【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系;問題解決;能力培養(yǎng);途徑策略
新課改實(shí)施以來,一線教師對于解決問題教學(xué),存在最大的困惑就是能否提數(shù)量關(guān)系,怎樣提數(shù)量關(guān)系,提到什么程度。許多教師在教學(xué)中不敢提數(shù)量關(guān)系,只停留在具體的情境上,趨向以題論題,日積月累下來,學(xué)生對問題的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量關(guān)系模糊不清,解決問題能力薄弱。到了高段,學(xué)習(xí)復(fù)雜的解決問題以及列方程解應(yīng)用題,就會更加困難,也會致使兩極分化加劇。數(shù)量關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵,是解決問題的引擎,是動力所在。解決問題,學(xué)生首先要理解題意,明確題中的條件和問題,明確條件與條件之間存在什么樣關(guān)系,才能有效清晰地解決問題,這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的“數(shù)學(xué)建?!薄?shù)學(xué)從某種角度說,就是研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué),數(shù)量關(guān)系不清楚,數(shù)學(xué)也很難學(xué)好。新課改倡導(dǎo),不但不能削弱數(shù)量關(guān)系教學(xué),而且應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?!蹦芰?。當(dāng)然,不能從數(shù)量關(guān)系的模式出發(fā),機(jī)械照搬使用,而應(yīng)該從實(shí)例出發(fā),積累、感悟、歸納和運(yùn)用,使“數(shù)量關(guān)系”自然生成、靈活使用。下面筆者談?wù)勛约旱囊恍?shí)踐經(jīng)驗(yàn)。
一、注重積累,建構(gòu)數(shù)量關(guān)系
解決問題教學(xué),要求學(xué)生能厘清情境中的信息與所求問題之間的數(shù)量關(guān)系,能用語言有條理地表述思維過程,明確解決問題的結(jié)構(gòu),能在整合溝通中梳理數(shù)量關(guān)系。這些數(shù)量關(guān)系的得出,都必須經(jīng)過一個長期不斷積累的過程。因此,對中低年級學(xué)生的解題思路進(jìn)行訓(xùn)練,在學(xué)生闡述的過程中不斷積累數(shù)量關(guān)系,鞏固數(shù)量關(guān)系,使這些基本的數(shù)量關(guān)系在學(xué)生的知識體系中網(wǎng)絡(luò)化,有利于學(xué)生形成數(shù)量關(guān)系體系。
(一)表述思維——建構(gòu)數(shù)量關(guān)系
引導(dǎo)學(xué)生對思考過程進(jìn)行闡述,學(xué)生表述的過程就是其在頭腦中抽象數(shù)量關(guān)系的過程。其實(shí)也就是讓學(xué)生說解題思路,這個語言化的過程可以是口頭的闡述,也可以是畫圖、列表,或者是文字表述,運(yùn)用這些數(shù)學(xué)化的手段,分析、梳理信息之間的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而達(dá)到真正建構(gòu)數(shù)量關(guān)系的目的。
1.畫解題思路。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會畫直觀圖,直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。這種圖可以是線段圖或者是學(xué)生自己喜歡的圖形與文字等的結(jié)合。教師一定要經(jīng)常在幫助學(xué)生梳理、篩選信息的過程中,示范畫線段圖,教會學(xué)生看線段圖和梳理、挖掘已知條件,并體會線段圖對于解決問題的好處。經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后,就要讓學(xué)生嘗試借助畫線段圖來整合條件,把解決問題中的本質(zhì)直觀形象地呈現(xiàn)出來。教師及時點(diǎn)撥學(xué)生理清根據(jù)哪兩個數(shù)量畫出來的,可以求出什么數(shù)量?這樣數(shù)形結(jié)合的過程,也是畫解題思路的過程,并且為明晰數(shù)量關(guān)系掃清了障礙。
如在教學(xué)三年級上冊“用乘除法解決問題”一課時,教師出示問題:媽媽買3個茶杯用去27元,買8個這樣的茶杯需要多少元?讓學(xué)生在獨(dú)立審題的基礎(chǔ)上要求學(xué)生采用畫圖或文字表述的方式來表示題目的意思。
學(xué)生通過自主表示題目的意思,多元表征,在合作討論交流中很好地梳理了題目的數(shù)量關(guān)系,逐步從具體實(shí)物圖過渡到線段圖以及文字表征等,豐富了表征的形式,發(fā)展了學(xué)生的概括能力,為理解數(shù)量關(guān)系、獨(dú)立列式解答奠定了良好的基礎(chǔ)。
2.寫解題思路。有了畫線段圖為基礎(chǔ),接下來學(xué)生才有可能理清數(shù)量關(guān)系。讓學(xué)生在圖示基礎(chǔ)上,把數(shù)量關(guān)系式寫出來。開始階段,為了幫助部分有困難的學(xué)生準(zhǔn)確有效地找到數(shù)量關(guān)系,就要教會他們找到涉及基本數(shù)量關(guān)系的關(guān)系句。告訴學(xué)生這些關(guān)系句中通常都會提及兩個量,只要把這個關(guān)系句進(jìn)行劃分,搞清楚這兩個量之間的關(guān)系后,再寫成數(shù)量關(guān)系式,就可以為建構(gòu)數(shù)量關(guān)系打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。寫解題思路的方法在高段尤其是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時顯得尤為重要,通過學(xué)生寫解題思路,引發(fā)頭腦的聯(lián)想風(fēng)暴,將學(xué)過的知識進(jìn)行融會貫通,為解決問題掃平思維的障礙。如低年級學(xué)習(xí)“男生比女生多4人”,要求學(xué)生在會畫圖的基礎(chǔ)上寫出“女+4=男,男-女=4”等關(guān)系式,再到六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時出示“男生比女生多[14]”,就能根據(jù)圖示寫出關(guān)系式“女×(1+[14])=男”,再針對這個信息進(jìn)行聯(lián)想,學(xué)生會由此想到:男生是女生的[54],女生是男生的[45],男生與女生的比是5∶4,女生與男生的比是4∶5,男生是女生的125%……根據(jù)這些信息也能寫出相對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式和解題思路,學(xué)生解決問題時就能觸類旁通、游刃有余。
3.說解題思路。在教學(xué)中,教師可以先讓學(xué)生說一說已知的條件和問題,檢查學(xué)生是否已經(jīng)讀懂相關(guān)的條件和問題。這個過程也是辨別信息、梳理?xiàng)l件和問題之間匹配性的重要過程。接著,讓學(xué)生說一說,根據(jù)哪兩個量,可以求出什么量,再根據(jù)求出的結(jié)果和第3個量,又可以求出什么結(jié)果。學(xué)生說的解題思路,可以是從條件到問題,也可以是從問題到條件。學(xué)生一開始在教師的提問和自己的回答中說解題思路,經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后,就能流暢地用分析法或者綜合法說解題思路。這就是學(xué)生能有效把握數(shù)量關(guān)系的證明。
如在教學(xué)歸總問題時,教師充分運(yùn)用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸一問題的知識基礎(chǔ),出示了幫助學(xué)生說理的思維“腳手架”,即根據(jù)( )和( )可以求出( ),再根據(jù)( )和( )又可以求出( ),利用這個思維的腳手架充分搭起了學(xué)生有序思考問題的橋梁,為學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系,順利地解決問題打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。
(二)明確結(jié)構(gòu)——積累數(shù)量關(guān)系
兩步計算解決問題是解決問題體系中的關(guān)鍵和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。明確兩步計算解決問題的結(jié)構(gòu),使學(xué)生在此過程中弄清和積累數(shù)量關(guān)系,為解決問題策略的多樣化以及解決更復(fù)雜的復(fù)合問題打好基礎(chǔ)。兩步計算雖然和一步計算僅僅一步之差,但是就是這一小步,卻是關(guān)鍵的一步。這對幫助學(xué)生在條件和問題之間找到中間的踏板,加強(qiáng)兩步問題的結(jié)構(gòu)訓(xùn)練就顯得尤其重要。使學(xué)生通過把握兩步計算問題的結(jié)構(gòu),學(xué)會解決兩步問題,進(jìn)而解決更復(fù)雜的問題。endprint
1.“過渡”改編。讓學(xué)生進(jìn)行“過渡”改編,不直接出示兩步計算問題,而是出示兩道有聯(lián)系的一步問題,學(xué)生解題后要求他們合并成一道題。再讓學(xué)生觀察兩組題之間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣的過渡訓(xùn)練既把隱藏的條件揭示出來,又使學(xué)生無形中了解到兩步計算問題的結(jié)構(gòu),有了這個過程,學(xué)生說起解題思路來也就輕松了。在教學(xué)兩步計算問題時,教師化解難度,讓學(xué)生更好地理解題意,掌握方法,對問題進(jìn)行過渡,一分為二,尋找方法再解決問題。如:王叔叔帶領(lǐng)工程隊(duì)修一段路長600米,已經(jīng)修了320米,余下的每天修70米,還要幾天才能完成?由于三年級學(xué)生初學(xué)兩步問題,教師采用出示兩題的方式:王叔叔修一段長600米的路,已經(jīng)修了320米,還剩下多少米?再出示:一段路剩下280米,每天修70米,還需要多少天才能完成任務(wù)?將這個問題一分為二,降低難度,幫助學(xué)生掌握分析問題的方法。在此基礎(chǔ)上再重新出示原題讓學(xué)生體會解決問題的方法,同化新知,使學(xué)生順利掌握解題思路。
2.擴(kuò)展改編。在學(xué)生對兩步問題有了一定認(rèn)識的基礎(chǔ)上,訓(xùn)練學(xué)生把一步問題中的一個信息擴(kuò)展為兩個信息,引導(dǎo)學(xué)生把直接條件轉(zhuǎn)化為間接條件。這樣做不僅能使學(xué)生進(jìn)一步明確兩步問題是由一步問題的直接條件轉(zhuǎn)化成間接條件而來的,而且為分析以后更復(fù)雜的問題結(jié)構(gòu)打好了基礎(chǔ)。如 一、二年級學(xué)習(xí)的加法問題“男生20人,女生80人,一共多少人?”將題目中的“女生80人”這個直接條件改編成“女生是男生的4倍”,讓學(xué)生求總?cè)藬?shù),通過改編實(shí)現(xiàn)一步問題向兩步問題的跨越,在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題,幫助學(xué)生理解,促使學(xué)生的思維能力得到發(fā)展。
3.縮題改編。讓學(xué)生進(jìn)行縮題改編,就是讓他們先找到中間問題,先算一算變成直接條件,然后把兩步問題轉(zhuǎn)化成一步問題。教師可以提出要求:條件不變,變問題,把兩步問題改為一步問題;條件變,問題不變,把兩步問題縮成一步問題。然后讓學(xué)生比較這組題有什么相同和不同之處。通過這樣的練習(xí),學(xué)生會懂得:把間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件,兩步計算的問題可變成一步計算的問題,這就為學(xué)生正確認(rèn)識中間問題作了鋪墊。
(三)整合溝通——網(wǎng)絡(luò)數(shù)量關(guān)系
學(xué)生在切實(shí)理清兩步問題結(jié)構(gòu)的同時,也間接落實(shí)并積累了常見的基本數(shù)量關(guān)系,以這個基本數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ),發(fā)展到一組數(shù)量關(guān)系,再由此及彼,拓展那些結(jié)構(gòu)類似的基本數(shù)量關(guān)系,形成數(shù)量關(guān)系群,就是由點(diǎn)到線、由線到面、由面到體逐步發(fā)散的過程。這樣呈放射狀的數(shù)量關(guān)系群,必須進(jìn)行針對性訓(xùn)練和綜合性訓(xùn)練,然后引導(dǎo)學(xué)生通過比較、辨析、溝通、整合,逐步抽象出它們的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生不僅了解到這群數(shù)量關(guān)系的本質(zhì),而且了解到它們的來龍去脈,知道了它們在具體生活情境中的變式,也意味著抓住了數(shù)量關(guān)系的靈魂。
如學(xué)習(xí)了“速度、時間和路程”后,可以拓展單價、數(shù)量、總價的數(shù)量關(guān)系和工作效率、工作時間與工作總量的數(shù)量關(guān)系。出示這兩組類型的問題,讓學(xué)生解決。因?yàn)橛辛嘶A(chǔ),所以學(xué)生能比較順利地歸納出這兩組數(shù)量關(guān)系。最后,引導(dǎo)學(xué)生比較這三組數(shù)量關(guān)系,有何異同,在溝通和比較中概括出速度、單價、工作效率相當(dāng)于每份數(shù),時間、數(shù)量、工作時間相當(dāng)于份數(shù),路程、總價、工作總量相當(dāng)于總數(shù),這三組數(shù)量關(guān)系就相當(dāng)于份總關(guān)系,在拓展和延伸中學(xué)生也建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。
學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下,從一個數(shù)量關(guān)系到一組數(shù)量關(guān)系再到一群數(shù)量關(guān)系,其實(shí)就是把個別特殊的數(shù)量關(guān)系拓展為一群數(shù)量關(guān)系,再從中找出和它們本質(zhì)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,在此過程中,學(xué)生也在比較、辨析中建構(gòu)了數(shù)量關(guān)系。
二、注重策略,活用數(shù)量關(guān)系
高年級的解決問題教學(xué),要把重心放在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用策略解決實(shí)際情境中的數(shù)學(xué)問題,激發(fā)他們主動自覺運(yùn)用策略解決問題的意識,幫助學(xué)生更好地梳理數(shù)量關(guān)系,直觀地分析數(shù)量關(guān)系,從而進(jìn)一步概括出精練且內(nèi)化的數(shù)量關(guān)系,最終達(dá)到靈活運(yùn)用的目的。
(一)對比——體驗(yàn)活用
讓學(xué)生在對比中溝通解法的聯(lián)系,異中求同,防止學(xué)生在解決問題中形成思維定勢,幫助他們從根本上理解數(shù)量關(guān)系,學(xué)會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,發(fā)散多樣化的解決策略。
⑴甲書架有書60本,乙書架的書比甲書架的2倍少20本。乙書架有書多少本?
⑵甲書架有書60本,比乙書架的書的2倍少20本。乙書架有書多少本?
學(xué)生容易產(chǎn)生思維定勢,看到少就減,看到多就加,教師為了打破學(xué)生的思維定勢,使他們真正理解數(shù)量關(guān)系,就要求學(xué)生畫線段圖整理信息,再結(jié)合線段圖進(jìn)行解讀,對關(guān)鍵詞句進(jìn)行逐一分析,從文字表述和線段圖兩方面對比異同,在數(shù)形結(jié)合中洞察數(shù)量關(guān)系。最后,對兩題的結(jié)構(gòu)和解法進(jìn)行比較,學(xué)生體會到像這樣的1倍數(shù)未知的題目,還是用列方程來解更好一些。
教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合,抓比較,抓關(guān)鍵詞句分析,使學(xué)生意識到不能見少就減,見多就加。引領(lǐng)學(xué)生感受并自主選擇求1倍數(shù)的時候用列方程解決問題更恰當(dāng)。學(xué)生也從根本上理解和內(nèi)化了數(shù)量關(guān)系,形成了解決問題的策略。
(二)跟蹤——鞏固活用
學(xué)生在積累了一定的數(shù)量關(guān)系后,教師可以針對某個專題、某種策略進(jìn)行跟蹤研究,讓學(xué)生學(xué)會列方程解決問題的方法。在專題研究中,學(xué)生更能靈活選擇策略,運(yùn)用數(shù)量關(guān)系,解決問題。如在初步學(xué)習(xí)購票問題的解決方案后,教師出示了旅行社推出“××風(fēng)景區(qū)一日游”兩種價格方案。
[方案一
成人每人150元,
兒童每人60元。] [方案二
團(tuán)體5人以上
(含5人)
每人100元。]
(1)成人6人,兒童4人,怎樣購票最省錢?
(2)成人4人,兒童6人,怎樣購票最省錢?
學(xué)生在思考問題時充分考慮人數(shù)的變化選擇相應(yīng)的方案,鞏固學(xué)習(xí)的方法。
(三)反思——自主活用
教師及時引導(dǎo)學(xué)生回顧與展望解題過程,加強(qiáng)反思訓(xùn)練,有利于舉一反三、觸類旁通,培養(yǎng)思維的深度和廣度。
如教學(xué)“梯形的面積”后,教師出示這樣的問題:有一堆鋼管,它的橫截面是梯形,最上層有3根,每層多一根,最下層有7根,這堆鋼管一共有幾根?讓學(xué)生思考解決這個問題可以運(yùn)用學(xué)過的什么數(shù)量關(guān)系。你還想到什么類似的問題也可以運(yùn)用這個數(shù)量關(guān)系來解決?有學(xué)生舉例排隊(duì)問題。教師繼續(xù)拓展:學(xué)校合唱隊(duì)表演,排成四排,第一排有8個人,每排多兩人,這個合唱隊(duì)一共有幾人?學(xué)生獨(dú)立解決后,思考、比較這個隊(duì)形和算式,有什么發(fā)現(xiàn)?學(xué)生通過對梯形面積的及時反思,發(fā)現(xiàn)這些問題最終都能化歸到求梯形的面積計算公式上來,鞏固、深化了梯形面積計算公式的數(shù)量關(guān)系。
解決問題策略應(yīng)該是和數(shù)量分析密不可分的,不能切割開來,我們要多著力于策略的有機(jī)滲透。教師站在策略的高度俯視,再來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的建構(gòu),才能教活數(shù)量關(guān)系。
總之,教師教學(xué)解決問題時首先應(yīng)該著重于鋪墊,活用主題圖,善用提問,巧用自編題,讓學(xué)生感悟數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上,讓學(xué)生在表達(dá)思維、明確結(jié)構(gòu)和形成數(shù)量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的過程中逐步理解掌握數(shù)量關(guān)系。最后,要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)量關(guān)系,教師通過對比策略、專題跟蹤策略、反思策略,引導(dǎo)學(xué)生瞻前顧后,提升思考力,形成解決問題策略。當(dāng)然,有效地落實(shí)數(shù)量關(guān)系的建構(gòu),不是落實(shí)套路和模式,而是教師在課堂教學(xué)中要重視學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)過程,關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展。
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(浙江省臨海市桃渚鎮(zhèn)連盤小學(xué) 317013)endprint