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      試論高中數(shù)學(xué)中的分類討論思想

      2018-01-18 21:38:11劉志軍
      考試周刊 2018年5期
      關(guān)鍵詞:分類討論高中數(shù)學(xué)

      摘要:本文根據(jù)分類討論最常用到的點(diǎn)做了一些分析:如分段函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的運(yùn)用、分類思想在分析絕對(duì)值方面的應(yīng)用、分類思想在函數(shù)圖形中的應(yīng)用、分類討論在概率問題中也經(jīng)常用到。另外,在一些數(shù)學(xué)比較綜合類的大題中,也經(jīng)常會(huì)涉及分類討論,所以高中數(shù)學(xué)中對(duì)于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

      關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);分類討論;思想運(yùn)用

      高中數(shù)學(xué)中很多板塊、題目等都運(yùn)用到了分類討論思想,本文根據(jù)分類討論最常用到的點(diǎn)做了以下分析:

      一、 分類思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用

      分段函數(shù)一般需要將函數(shù)在不同取值范圍內(nèi)的情況進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì),而且分段函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中也是常常會(huì)用到的,本文就以一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中用到的例子進(jìn)行分析。

      例1某公司準(zhǔn)備給參加公司活動(dòng)的顧客發(fā)放愛心回饋大禮包,預(yù)計(jì)能來參加公司活動(dòng)的有15~25人左右,該公司準(zhǔn)備在A和B兩家公司進(jìn)行選擇采購(gòu)大禮包,其產(chǎn)品都是一致的,A公司和B公司給出的單價(jià)都是1500元/份,同時(shí),A公司表示可以給打八五折的折扣,而B公司則表示,可以在打九折的基礎(chǔ)上,多贈(zèng)送公司一份同樣的大禮包,那么,該公司選擇在A公司還是B公司進(jìn)行選購(gòu)產(chǎn)品更加實(shí)惠呢?

      解答:針對(duì)這個(gè)問題,我們可以先設(shè)出變量,將實(shí)際能參加活動(dòng)的人數(shù)設(shè)為未知數(shù)x,而將在變量x下,實(shí)際需要支付A公司的禮品費(fèi)用為y1,實(shí)際需要支付B公司的禮品費(fèi)用為y2;

      那么y1=1500x×0.85=1275x;y2=1500(x-1)×0.9

      ①當(dāng)y1= y2時(shí),即1275x=1500(x-1)×0.9,x=18,即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)為18人時(shí),在A公司或者B公司采購(gòu)產(chǎn)品的費(fèi)用是一樣的;②當(dāng)y1>y2時(shí),即1275x>1500(x-1)×0.9,x<18,即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)1518,即當(dāng)實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)18

      二、 分類思想在分析絕對(duì)值方面的應(yīng)用

      含有絕對(duì)值的等式或者不等式,由于要討論絕對(duì)值符號(hào)里面的內(nèi)容什么時(shí)候?yàn)檎龜?shù)什么時(shí)候?yàn)樨?fù)數(shù),以方便去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算,所以往往這類問題一般都要用到分類討論。下面舉例加以說明:

      例2一個(gè)很簡(jiǎn)單的運(yùn)算,|x-3|<3x中x的取值范圍?解答的時(shí)候就要用到分類討論:

      ①當(dāng)x>3時(shí),那么│x-3│>0,可以直接去掉絕對(duì)值符合,即原公式變?yōu)閤-3<3x的解,公式變形為-2x-3<0的解,為x>-3/2,但是由于這個(gè)等式是在x>3的前提下討論的,所以當(dāng)x>3時(shí),│x-3│<3x公式的取值范圍就是x>3;②當(dāng)x=0時(shí),0<0,無解;③當(dāng)x<3時(shí),│x-3│絕對(duì)值里面原本是負(fù)數(shù),就應(yīng)該加負(fù)號(hào)去絕對(duì)值,即變?yōu)?x+3,就是當(dāng)x<3時(shí),求-x+3<3x中x的取值范圍,可得到解3/4

      三、 分類思想在函數(shù)圖形中的應(yīng)用

      很多函數(shù)問題的解答中都要用到分類討論的思想,引入分類討論可以將函數(shù)問題解答起來更加簡(jiǎn)單,思路更加清晰。舉一個(gè)常見的例子:

      例3圓形x2+y2=4與直線y=kx+4有幾個(gè)交點(diǎn)?解答:首先明確 x2+y2=4是原點(diǎn)在定點(diǎn),半徑為2的圓形,y=kx+4很明顯直線經(jīng)過(0,4)這個(gè)點(diǎn)。

      ①當(dāng)k=0,那么直線就是y= 4,與圓沒有任何交點(diǎn);②當(dāng)k<0,那么函數(shù)y=kx+4是遞減函數(shù),先討論當(dāng)圓與直線相切時(shí)候,此時(shí)圓和直線只有一個(gè)交點(diǎn),那么通過畫圖計(jì)算,圓半徑是2,經(jīng)過(0,4)點(diǎn),而且圓和直線相切為直角,那么直線與圓的切點(diǎn)處為半徑,以及y軸構(gòu)成的直角三角形頂角是30度,那么假設(shè)直線與x軸的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為z,根據(jù)直角三角形兩邊平方和等于第三邊平方和,z2+42=(2z)2,得出此時(shí)直線與x軸交點(diǎn)為(43,0)那么根據(jù)函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)(43,0)和(0,4),可以得出直線方程k=-3/3,由此可以得出:(1)當(dāng)k<3/3時(shí),直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn);(2)當(dāng)k=-3/3,直線與圓有一個(gè)交點(diǎn);(3)當(dāng)-3/3

      ②當(dāng)k>0,通過對(duì)②的分析可知,當(dāng)k>0時(shí),是與k<0時(shí),關(guān)于y軸對(duì)稱的,所以通過相同的解題方法可以得出:(1)當(dāng)k>3/3時(shí),直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn);(2)當(dāng)k=3/3,直線與圓有一個(gè)交點(diǎn);(3)當(dāng)0

      所以綜上所述:k=-3/3或者k=3/3時(shí),圓與直線有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k>3/3或k<-3/3時(shí),直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)-3/3

      四、 分類討論在概率問題中也經(jīng)常用到

      概率問題中有一些需要求的問題也是有多個(gè)組成部分構(gòu)成的,需要用到分類討論的原理。

      例4一個(gè)盒子里放著寫有編號(hào)的1、2、3、4、5、6、7、8、9,九個(gè)小球,從中任意挑選2個(gè),那么選出來的兩個(gè)小球上的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率是多少?

      解答:從題目可以分析,如果取出來兩個(gè)奇數(shù),那么奇數(shù)和奇數(shù)的成績(jī)還是奇數(shù),如果取出來兩個(gè)偶數(shù),偶數(shù)與偶數(shù)的成績(jī)是偶數(shù),如果取出來的是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù),兩者相乘的結(jié)果是偶數(shù)。所以此處要知道兩數(shù)之積是偶數(shù)的概率,就要分類將取出來的是兩個(gè)偶數(shù)以及取出來的是一奇一偶的概率相加。在9個(gè)小球之中隨意抽取兩個(gè)球的話,概率是C29,而抽出兩個(gè)偶數(shù)的概率是C24,取出一奇一偶的概率C14×C15,所以最后求出的概率是(C24+C14×C15)/C29=13/18。

      五、 其他應(yīng)用

      在一些數(shù)學(xué)比較綜合類的大題中,也經(jīng)常會(huì)涉及分類討論,這往往是由于公式的限制、參數(shù)值在變化、條件不唯一、需要某些數(shù)學(xué)運(yùn)算以確定函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性討論等引起的需要分類進(jìn)行討論,所以高中數(shù)學(xué)中對(duì)于分類討論這一板塊必須要引起我們足夠的重視。

      參考文獻(xiàn):

      [1] 李劍評(píng).淺析高中數(shù)學(xué)思想在高考考查中的滲透[J].海峽科學(xué),2010(09).

      作者簡(jiǎn)介:

      劉志軍,寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市,寧夏中衛(wèi)中學(xué)。

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