【摘 要】圖式化素養(yǎng)是指學(xué)生以圖像表征為支架，通過圖形、圖式、文字、符號等多種數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化的視覺學(xué)習(xí)過程，對形式的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容進行內(nèi)化理解的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)科視角下，核心素養(yǎng)培養(yǎng)的突破口在于學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。本研究以分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)為載體，以圖式化素養(yǎng)培養(yǎng)為切入點，從知識本源、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材研究、教學(xué)設(shè)計等維度展開實踐并進行總結(jié)，以期概括出基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)研究一般化操作策略。

【關(guān)鍵詞】圖式化素養(yǎng)；分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)；教學(xué)研究

數(shù)學(xué)是深奧的，學(xué)生期待的卻是生動的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那么如何用“生動”的方式來學(xué)“深奧”的數(shù)學(xué)呢？數(shù)學(xué)圖式可以在兒童天性和學(xué)科本質(zhì)之間架構(gòu)一座橋梁，讓學(xué)習(xí)情趣與學(xué)科理趣有機融合，促使意義融通。

圖式化是對形式的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容的內(nèi)化過程，是對數(shù)學(xué)概念、原理、模式的理解過程。圖式化素養(yǎng)是指學(xué)生以圖像表征為支架，通過圖形、圖式、文字、符號等多種數(shù)學(xué)語言相互轉(zhuǎn)化的視覺學(xué)習(xí)過程，對形式的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容進行內(nèi)化理解的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)科視角下，核心素養(yǎng)培養(yǎng)的突破口在于學(xué)習(xí)方式是否轉(zhuǎn)變，在于是否在每一節(jié)課的教學(xué)中落地。在這里，筆者將以分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)為載體，以圖式化素養(yǎng)為切入點，從知識本源、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材研究、教學(xué)設(shè)計等維度，談?wù)勛约旱囊恍嵺`體會，以期概括出基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)研究一般化操作策略。

一、追溯本源：建立知識“序”，確立素養(yǎng)目標(biāo)核心“點”

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)在分?jǐn)?shù)教學(xué)中占有重要的地位，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著承前啟后的作用（見圖1）。它是自然數(shù)情況下商不變性質(zhì)的延伸，從而引起分?jǐn)?shù)表示的不唯一性。如何讓學(xué)生去體驗分?jǐn)?shù)的無限“等價類”，理解與尋找等值分?jǐn)?shù)？這就需要明確素養(yǎng)目標(biāo)的核心“點”——讓學(xué)生經(jīng)歷圖式化過程應(yīng)是其核心環(huán)節(jié)，培養(yǎng)圖式化素養(yǎng)應(yīng)是其核心任務(wù)。

教學(xué)需要挖掘分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生主動加入到知識的理解與建構(gòu)的過程中，在這個過程中達成圖式化核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任務(wù)。

二、整體著眼：基于標(biāo)準(zhǔn)表現(xiàn)“序”，形成評價測量“度”

當(dāng)我們確立了學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)“點”后，如何在具體的教學(xué)中落實呢？這就需要我們基于課程標(biāo)準(zhǔn)，去科學(xué)細化，明確所要培養(yǎng)的學(xué)科核心素養(yǎng)外在表現(xiàn)，建立起“序列”，從而使教學(xué)了然于心。

（一）多維閱讀，尋求著力“點”

關(guān)于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，我國從1963年頒布的《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》開始，到《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，都把“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”列入教學(xué)內(nèi)容。在1963年的大綱中，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的要求是“掌握”，之后的要求是“理解”。

至于如何“理解”，課程標(biāo)準(zhǔn)并沒有給出答案，我們需要展開多維閱讀。比如分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，美國2010年版《同一州核心課程標(biāo)準(zhǔn)》中這樣呈現(xiàn)。

三年級：在“理解分?jǐn)?shù)是一種數(shù)”中指出“用具體的例子解釋分?jǐn)?shù)的相等，通過分?jǐn)?shù)大小的推理來比較分?jǐn)?shù)”，具體的要求是“理解如果兩個分?jǐn)?shù)的大小相同，或者在數(shù)軸上由同一個點表示，則這兩個分?jǐn)?shù)相等……”

四年級：在“對于等分?jǐn)?shù)和排序的進一步理解”中指出“利用直觀的分?jǐn)?shù)模型解釋分?jǐn)?shù)[ab]等值于[n·an·b]；利用這個原理來認(rèn)識和生成等分?jǐn)?shù)……”

從美國的課程標(biāo)準(zhǔn)中，我們發(fā)現(xiàn)“利用直觀的分?jǐn)?shù)模型建立等值分?jǐn)?shù)的表象”和“利用基于圖示的實踐活動解釋分?jǐn)?shù)等值的原因”這兩點很顯著，這就給我們教學(xué)指明了具體的方向。

（二）細化知識，分析匹配“度”

筆者認(rèn)為，圖式化素養(yǎng)包含讀圖、分析、畫圖、表達、解決問題等豐富多元的元素，其中讀圖、表征和互譯是三大核心元素。讀圖，經(jīng)歷從操作到表象的體驗過程。表征是對知識的精加工，體現(xiàn)從模仿到探究的創(chuàng)作過程。“互譯”是不同數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換、溝通、重組與整合的過程。

基于這樣的理解，我們基于圖式化素養(yǎng)處理現(xiàn)有課程標(biāo)準(zhǔn)做出如下分析（見表1），解讀內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，概括（或提取、抽象）出內(nèi)容所指向的素養(yǎng)。

（三）建立序列，把握評價“度”

在分析內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，明確表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，建立能力素養(yǎng)序列，嘗試進行相對有序的水平評價（見表2），著眼于整體，著手于細微。

三、立足教材：明晰教材呈現(xiàn)“序”，確立核心素養(yǎng)切入“口”

基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教材研究，我們需要思考兩個問題：第一，這節(jié)課要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是什么，教材設(shè)計中是如何體現(xiàn)的？知識學(xué)習(xí)與學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)系研究。找出兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，思考如何通過知識學(xué)習(xí)促進學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展。第二，該核心素養(yǎng)可以通過什么方式讓學(xué)生習(xí)得，教材中是如何體現(xiàn)這些學(xué)習(xí)方式的？

（一）比較教材，明晰呈現(xiàn)“序”

筆者以現(xiàn)行浙教、北師、蘇教、人教、西師、青島等版本教材為對象，研究了教材的引入部分，發(fā)現(xiàn)除北師大版教材以外，其他版本教材均以“[12=24=48]”為認(rèn)知特例，通過對折、對折、再對折進行操作強化。在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生開展運用直觀方式驗證與尋找相等分?jǐn)?shù)的探究活動。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)從“[12]”開始，切合學(xué)生的現(xiàn)有生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗。

同時，筆者也對圖示工具、學(xué)習(xí)方式等核心要素進行了比較，見表3。

我們發(fā)現(xiàn)，各版本教材都注重提供直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。其中，浙教版的設(shè)計更深刻一些，如結(jié)合圖示尋找與[23]相等的分?jǐn)?shù)（如圖2），再在排序中研究分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律的設(shè)計，頗具匠心。

（二）基于教材，確定切入“口”

通過教材的比較研究，筆者認(rèn)為“圖式化”素養(yǎng)在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)中可以從以下三個方面切入。

（1）凸顯圖式直觀。各版本教材設(shè)計均凸顯“圖式直觀”元素，教學(xué)中基于圖式可以引導(dǎo)學(xué)生運用多感官參與學(xué)習(xí)，從而形成關(guān)于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)這部分知識與策略的“圖式”。endprint

（2）聚焦分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)其核心在于“分?jǐn)?shù)單位”?；凇傲康氖睾恪保劢狗?jǐn)?shù)單位，充分運用線段模型，在“度量”中尋找等值分?jǐn)?shù)，從而理解等值內(nèi)涵。

（3）關(guān)注知識并聯(lián)。商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及比的基本性質(zhì)，其本質(zhì)相同，形式不同。我們應(yīng)關(guān)注新舊知識之間的來回互譯，加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解，完成知識體系的建構(gòu)。

四、優(yōu)化教學(xué)：摸清認(rèn)知障礙“點”，設(shè)計核心素養(yǎng)落地“維”

基于上位知識、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的研究，我們對如何在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)中培養(yǎng)圖式化素養(yǎng)已經(jīng)有了比較清楚的認(rèn)識與理解。接著，我們需要摸清認(rèn)知障礙點，讓圖式化素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地。

（一）教學(xué)前測，摸清障礙“點”

在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)中，學(xué)生的認(rèn)知障礙點是什么呢？以前測的一個班（共計46人）為例，學(xué)生在說明“[23]和[812]是否相等”時，具體的前測結(jié)果呈現(xiàn)如下：

——認(rèn)為不相等的有5人。（單位“1”不統(tǒng)一，導(dǎo)致出錯4人。份數(shù)數(shù)錯，導(dǎo)致錯誤1人）

——認(rèn)為相等的有41人，其中有1人用分?jǐn)?shù)的意義說明：把12平均分成3份，1份是4個，分子是8也可以說是12的[23]；

在認(rèn)為相等的學(xué)生中，有1人求分?jǐn)?shù)值；有18人用數(shù)形結(jié)合說明；有12人證明出錯，主要是單位“1”不統(tǒng)一；有9人直接用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)循環(huán)說明。

通過前測我們發(fā)現(xiàn)，有高達89%的學(xué)生對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)知曉，但僅有2個學(xué)生能把商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)對應(yīng)起來，對“單位1”“分?jǐn)?shù)單位”“為什么相等”等知識點有障礙。因此，聚焦分?jǐn)?shù)單位，體檢“等價類”分?jǐn)?shù)，等值分?jǐn)?shù)的理解與尋找，前后知識的融會貫通應(yīng)是教學(xué)的關(guān)鍵點。

（二）活動設(shè)計，確定體驗“維”

基于前面的多維研究，對于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)、內(nèi)涵、教學(xué)重難點都有了深刻的認(rèn)識，對于圖式化素養(yǎng)與知識之間的內(nèi)在聯(lián)系也有較為清晰的把握。這樣，我們可以對活動進行靈活設(shè)計，在完成知識目標(biāo)的同時，確保能力素養(yǎng)目標(biāo)有效達成。

在教學(xué)活動設(shè)計時，可以借助于立足圖式化思維，強調(diào)“讀圖”“表征”“互譯”等圖式化活動方式（如圖3），為學(xué)生創(chuàng)造一個主動理解的機會，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。

1.基于讀圖：直觀圖示，感知體悟

筆者認(rèn)為，對于分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)這部分內(nèi)容而言，數(shù)學(xué)圖示呈現(xiàn)過程應(yīng)該是面積模型（長方形、正方形平均分成幾份）→分?jǐn)?shù)墻→數(shù)線—半抽象線段模型→線段模型—數(shù)軸雛形等，其活動方式主要為“讀圖”。在各版本的教材比較中，我們發(fā)現(xiàn)青島版、北師大版及浙教版都出現(xiàn)半抽象或抽象的線段模型（如圖4）。

在新知探究環(huán)節(jié)，我們認(rèn)為需要以數(shù)線模型為主要圖示，而在溝通應(yīng)用環(huán)節(jié)，可以運用線段模型。

2.基于表征：多維推進，促進內(nèi)化

在圖式化思維中，學(xué)生可以在表征的過程中對問題進行深層次的思考，引發(fā)深度學(xué)習(xí)，提升思維品質(zhì)。圖式表征的推進過程可以如圖5所示。

走進情境：從現(xiàn)實情境進入，以“一半，[12=24=48]”為認(rèn)知特例，讓學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

動手操作：通過學(xué)生的動手操作引入，在涂一涂、折一折等活動中發(fā)現(xiàn)分子、分母的變化規(guī)律，展現(xiàn)學(xué)習(xí)過程，體驗具體到抽象的理解過程。

畫圖內(nèi)化：利用已有的經(jīng)驗，利用個性化的符號，自己尋求合適的圖示（如實物抽象圖、面積模型、數(shù)線模型、數(shù)軸模型等）來說明分?jǐn)?shù)是否等值。

舉例驗證：[35=3○（ ）5○（ ）=（ ）（ ）]圓圈里可以填什么符號？括號里呢？獨立思考用基本圖式演示，幫助學(xué)生形象理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，感悟變與不變的函數(shù)思想。

這樣，學(xué)生通過對分?jǐn)?shù)圖示的觀察、發(fā)現(xiàn)、思索，強調(diào)腦、眼、手、圖形之間的信息加工和重構(gòu)，完成知識自我內(nèi)化的過程，是圖式化素養(yǎng)培養(yǎng)的重要一環(huán)。

3.基于互譯：多維轉(zhuǎn)換，求聯(lián)求通

只有在求聯(lián)求通多維轉(zhuǎn)換的互譯溝通過程中，才能加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解，完成知識體系的建構(gòu)。課堂上，我們可以借助具體的等式變形（圖6），讓學(xué)生比較清晰地感受知識間的內(nèi)在聯(lián)系，然后再引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖表征、數(shù)學(xué)演算、語言表達、舉例說明等方式來與商不變性質(zhì)進行溝通。

只有將具象化的現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為可視化的圖示表述和數(shù)學(xué)運算表達，知識發(fā)展的邏輯順序與學(xué)生的認(rèn)知序列相契合，學(xué)生的圖式思維逐步走向深刻，素養(yǎng)才能慢慢形成。

綜上，筆者以分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的研究為載體，以圖式化素養(yǎng)為例，試圖概括基于學(xué)科核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)研究的一般化策略。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的獲得需要學(xué)生自己經(jīng)歷模仿、感悟、體驗的長過程，并在此過程中生成并積累，并非一蹴而就，教師則引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的過程。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)富春第二小學(xué) 311400）endprint