龍鳳 高明

摘 要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，其培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，將數(shù)學(xué)建模思想引入小學(xué)教學(xué)有重要的意義和作用。本文以植樹(shù)問(wèn)題為例，闡述教師如何引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出具體的數(shù)學(xué)模型，以解決相關(guān)問(wèn)題，幫助學(xué)生從小培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想。

關(guān)鍵詞：建模思想；小學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型，以此來(lái)解決問(wèn)題的過(guò)程，其本質(zhì)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，它構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的“橋梁”，是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、方法解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。

小學(xué)數(shù)學(xué)建模需要考慮小學(xué)生的年齡特征及其心理發(fā)展水平，教師應(yīng)善于利用幾何直觀，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)以及數(shù)學(xué)圖形描述問(wèn)題。通常情況下，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模大致可以包括四個(gè)步驟：

模型應(yīng)用模型構(gòu)建驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蠼鈫?wèn)題抽象

下面以小學(xué)階段典型的植樹(shù)問(wèn)題為例進(jìn)行建模分析：

“植樹(shù)問(wèn)題”是現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題，主要涉及間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，意在培養(yǎng)學(xué)生從問(wèn)題中尋找規(guī)律的意識(shí)和能力，并在問(wèn)題解決的過(guò)程中，逐步滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

提出問(wèn)題：植樹(shù)節(jié)到了，學(xué)校組織同學(xué)們要在全長(zhǎng)100米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共需要多少棵樹(shù)苗？

分析和解答：

一、 形象展示，探索規(guī)律

教師先向?qū)W生展示現(xiàn)實(shí)生活中的一張綠化圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中（圖1）每?jī)煽脴?shù)之間，每三棵樹(shù)之間，……，樹(shù)的棵數(shù)與間隔數(shù)之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并且要求學(xué)生用線段圖的方式將樹(shù)與間隔的關(guān)系抽象出來(lái)：

觀察圖2，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每?jī)煽脴?shù)之間有1個(gè)間隔，三棵樹(shù)有2個(gè)間隔，四棵樹(shù)有3個(gè)間隔，五棵樹(shù)有4個(gè)間隔，……，棵數(shù)總比間隔數(shù)多1個(gè)（兩端都要栽）。

二、 歸納總結(jié)，構(gòu)建模型

進(jìn)一步觀察，歸納出棵數(shù)與間隔數(shù)之間存在的等式關(guān)系：

間隔數(shù)+1=棵數(shù)；棵數(shù)-1=間隔數(shù)

通過(guò)初步建立間隔數(shù)與棵數(shù)的模型，進(jìn)一步讓學(xué)生意識(shí)到可以通過(guò)求間隔數(shù)來(lái)間接求出棵數(shù)，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求間隔數(shù)。

問(wèn)題轉(zhuǎn)化：

①長(zhǎng)100米的線段，每5米一個(gè)間隔，問(wèn)有多少個(gè)間隔？

②在已知一段線段的長(zhǎng)度以及間隔長(zhǎng)的情況下，間隔數(shù)應(yīng)用怎樣的等式關(guān)系表示？

鼓勵(lì)學(xué)生自行解決問(wèn)題①：一共有100÷5=20（個(gè)）間隔

師生共同總結(jié)出問(wèn)題②等式關(guān)系：間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)

歸納總結(jié)，得到最終模型：

間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng) 間隔數(shù)+1=棵數(shù)；棵數(shù)-1=間隔數(shù)

三、 應(yīng)用模型，解決問(wèn)題

再次轉(zhuǎn)化，回歸初始問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生將“線段”替換成“小路”，每5米一個(gè)間隔看作是每隔5米種一棵樹(shù)，于是學(xué)生很容易得出長(zhǎng)100米的小路上一共有20個(gè)間隔。這是問(wèn)題解決的關(guān)鍵一步。

根據(jù)前面師生共同建構(gòu)的模型：

間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng) 間隔數(shù)+1=棵數(shù)；棵數(shù)-1=間隔數(shù)

學(xué)生可以自行求得一共栽種：20+1=21

四、 變式練習(xí)，鞏固提升

在問(wèn)題的整個(gè)解決過(guò)程中，學(xué)生對(duì)植樹(shù)問(wèn)題兩端都植樹(shù)的情況有了一定的建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，老師可進(jìn)一步對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形，鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)系兩端均要植樹(shù)的問(wèn)題解決步驟自主建立模型解決問(wèn)題。

變式1：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)為100米的路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（只植一端）。一共需要多少棵樹(shù)苗？

用線段圖的方式將樹(shù)與間隔的關(guān)系抽象出來(lái)：

通過(guò)圖3，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一棵樹(shù)1個(gè)間隔，兩棵樹(shù)2個(gè)間隔，三棵樹(shù)3個(gè)間隔，……，棵數(shù)總等于間隔數(shù)（只植一端）。

棵數(shù)與間隔數(shù)存在數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)=棵數(shù)

間隔數(shù)：間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)

總結(jié)歸納，得到僅一端植樹(shù)需要樹(shù)苗數(shù)的最終模型：

間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng) 間隔數(shù)=棵數(shù)

利用模型解決問(wèn)題：

①求間隔數(shù)：100÷5=20（個(gè)）

②求所需樹(shù)苗數(shù)：20（個(gè)）=20（棵）

變式2：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)為100米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（兩端均不植樹(shù)）。一共需要多少棵樹(shù)苗？

用線段圖的方式將樹(shù)與間隔的關(guān)系抽象出來(lái)：

通過(guò)圖4，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一棵樹(shù)2個(gè)間隔，兩棵樹(shù)3個(gè)間隔，三棵樹(shù)4個(gè)間隔，……，棵數(shù)總比間隔數(shù)少1個(gè)（兩端均不植）。

棵數(shù)與間隔數(shù)存在數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)-1=棵數(shù) 棵數(shù)+1=間隔數(shù)

間隔數(shù)：間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)

總結(jié)歸納，得到兩端均不植樹(shù)需要樹(shù)苗數(shù)的最終模型：

間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng) 間隔數(shù)-1=棵數(shù) 棵數(shù)+1=間隔數(shù)

利用模型解決問(wèn)題：

①求間隔數(shù)：100÷5=20（個(gè)）

②求所需樹(shù)苗數(shù)：20-1=19（棵）

變式3：同學(xué)們沿周長(zhǎng)為100米的圓形綠化地植樹(shù)，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵樹(shù)苗？

變式3的圓周植樹(shù)問(wèn)題是在前面兩個(gè)直線植樹(shù)問(wèn)題變式基礎(chǔ)上的加深加難，但老師已經(jīng)引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生成功建立了直線植樹(shù)的一系列模型，學(xué)生對(duì)建立模型有了一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，老師可以讓學(xué)生自行動(dòng)腦思考，動(dòng)手實(shí)踐，建立解決變式3的圓周植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

同樣利用點(diǎn)線圖抽象出圓周植樹(shù)中間隔與棵數(shù)的關(guān)系：

通過(guò)圖5，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一棵樹(shù)1個(gè)間隔，兩棵樹(shù)2個(gè)間隔，三棵樹(shù)3個(gè)間隔，……，棵數(shù)總等于間隔數(shù)（圓周植樹(shù)）。

棵數(shù)與間隔數(shù)存在數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)=棵數(shù) 間隔數(shù)：間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)

總結(jié)歸納，得到圓周植樹(shù)需要樹(shù)苗數(shù)的最終模型：

間隔數(shù)=線段長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng) 間隔數(shù)=棵數(shù)

利用模型解決問(wèn)題：

①求間隔數(shù)：100÷5=20（個(gè)）

②求所需樹(shù)苗數(shù)：20（個(gè)）=20（棵）

植樹(shù)模型的建立主要是需要學(xué)生觀察實(shí)際生活，在教師引導(dǎo)下學(xué)生利用點(diǎn)線圖抽象出樹(shù)與間隔的位置關(guān)系，得出植樹(shù)棵數(shù)與間隔之間存在的數(shù)量關(guān)系。這樣做不僅培養(yǎng)了小學(xué)生有意識(shí)的通過(guò)建模解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，熱愛(ài)生活，樹(shù)立健全人格！

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想是可行的，但在教學(xué)中應(yīng)做好：（1）加強(qiáng)幾何直觀，增強(qiáng)趣味性。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有特殊性，最主要的是它必須依據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平以及邏輯思維發(fā)展程度，需要更多地依靠生活經(jīng)驗(yàn)和幾何直觀。小學(xué)生活潑好動(dòng)，教師對(duì)建模的原問(wèn)題設(shè)計(jì)在依據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)以及結(jié)合幾何直觀的基礎(chǔ)上，要盡可能的使問(wèn)題具有一定的趣味性，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性，外部刺激與內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)相結(jié)合，讓學(xué)生體味數(shù)學(xué)建模的魅力所在。（2）注重應(yīng)用模型，注意變式拓展。數(shù)學(xué)是靈活多變的，但問(wèn)題與問(wèn)題之間又存在著一定的聯(lián)系。在利用模型解決問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)?shù)貞?yīng)用變式，將有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

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[2]代金鳳.構(gòu)建模型 提升能力 發(fā)散思維——例談小學(xué)數(shù)學(xué)中的“植樹(shù)問(wèn)題”[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（03）：110-112.

作者簡(jiǎn)介：

龍鳳，高明，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。