例談如何在教學(xué)設(shè)計(jì)中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想

杜娟

[摘 要]數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中的指導(dǎo)性思想。經(jīng)過科學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師可以將無形的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)到有形的設(shè)計(jì)活動(dòng)中，由思維訓(xùn)練間接滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生通過深度思考感知數(shù)學(xué)思想的支配作用，通過新奇的發(fā)現(xiàn)感知數(shù)學(xué)思想的創(chuàng)造力，通過不斷地應(yīng)用逐漸形成數(shù)學(xué)思想的自我暗示。

[關(guān)鍵詞]教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)形結(jié)合；滲透

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0043-02

“數(shù)與形”是人教版教材六年級(jí)上冊(cè)作為新增內(nèi)容編入的，旨在讓學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系，嘗試運(yùn)用代數(shù)關(guān)系解決幾何問題，體驗(yàn)數(shù)字與幾何圖形的微妙關(guān)系，同時(shí)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想。然而，要想在教學(xué)中有效滲透數(shù)學(xué)思想，就必須開展科學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。那么，怎樣的活動(dòng)才有利于數(shù)學(xué)思想的滲透？活動(dòng)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和教育理念？這些都是值得深究的問題。

一、在深度思考中領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)學(xué)思想如果沒有思考的基礎(chǔ)，就是空中樓閣，只有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度思考，才能對(duì)知識(shí)表象背后的深層思想心領(lǐng)神會(huì)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的關(guān)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行深挖，并巧妙地誘導(dǎo)學(xué)生比較，讓學(xué)生在連續(xù)的思考中自發(fā)領(lǐng)悟。

【教學(xué)片段1】

1.觀察數(shù)字：觀察數(shù)字25的特征

師：認(rèn)真觀察并揣摩數(shù)字25，分析它具有哪些特征？

生1：除了1和本身，25只有因數(shù)5。

生2：25可以分解成5的平方，是一個(gè)平方數(shù)。

生3：25的前一個(gè)數(shù)是24，后一個(gè)數(shù)是26，這三個(gè)數(shù)都是合數(shù)。

……

2.化數(shù)為形：用圖形表示數(shù)字25

師：用25枚圍棋子擺圖形，猜測(cè)一下這個(gè)圖形可能是什么呢？

生：正方形。（讓學(xué)生用磁扣擺出正方形）

3.以形解數(shù)：借用圖形探究25的特征

讓學(xué)生依據(jù)課堂提供的正方形點(diǎn)陣（如圖1）探尋數(shù)字25的特征。

生1：25=1+2+3+4+5+4+3+2+1。（以對(duì)角線為視點(diǎn)疊加）

生2：25=（1+2+3+4）×2+5。

生3：25=1+3+5+7+9。

4.在比較中體會(huì)

師：擺出方陣，數(shù)字25的特點(diǎn)就一目了然了。 回顧以上過程，大家有什么感想？

生1：圖形的作用真大。

生2：圖形可以展現(xiàn)數(shù)字背后的奧秘。

生3：有了圖形，便可以更直觀地列出算式。

以上步驟是教學(xué)本課的重點(diǎn)和主軸。教學(xué)時(shí)摒棄教材提供的正方形素材，改用點(diǎn)陣圖，這樣改動(dòng)，一方面考慮到點(diǎn)陣可以呈現(xiàn)出不同的視角，而正方形圖無法斜著分；另一方面，點(diǎn)陣圖返璞歸真的研究方法，實(shí)際上完整再現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)現(xiàn)的過程，使整個(gè)學(xué)習(xí)過程變得連貫。如此設(shè)計(jì)教學(xué)有利于加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意義與作用的滲透。學(xué)生比較后認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性和重要意義，切實(shí)感受到數(shù)形結(jié)合的巧妙之處。

二、在發(fā)現(xiàn)中感知數(shù)形結(jié)合的作用

【教學(xué)片段2】介紹“神奇的圖形數(shù)”（三角形數(shù)、四面體數(shù)、金字塔數(shù)等）

多媒體演示：1，4，9，16。

師：現(xiàn)在我們穿越到古石器時(shí)代，用石頭擺出這些數(shù)字，它們可以擺成什么形狀呢？

生1：正方形。

師：這樣的數(shù)字叫什么？（課件出示圖2）

生2：正方形數(shù)。（平方數(shù)）

多媒體演示：1，3，6，10，15。

師：繼續(xù)用石子擺數(shù)字。

生3：這些數(shù)字可以擺成三角形石陣。

師：這次又該如何命名？（課件出示圖3）

生4：三角形數(shù)。

師：觀察相鄰數(shù)之和，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：1+3=4，3+6=9，6+10=16，10+15=25。

生6：相鄰兩數(shù)之和都是平方數(shù)，可以用正方形石陣表示。

師：為什么會(huì)這樣？這其中究竟有什么奧秘？

生7：道理很簡(jiǎn)單，從點(diǎn)陣圖（如圖4）可以看出，兩個(gè)三角形數(shù)對(duì)拼，剛好湊成正方形數(shù)。

接著，用同樣的方法研究金字塔數(shù)與四面體數(shù)。（如圖5，過程同上，略）

如果不借助點(diǎn)陣圖，光憑數(shù)字學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)數(shù)列“1，4，9，16”具有什么規(guī)律，而利用點(diǎn)陣圖將這些點(diǎn)數(shù)排布成正方形，其特征就顯而易見了：這些點(diǎn)數(shù)剛好可以排列成行數(shù)和列數(shù)相等的平面圖。幾何圖形可直觀地將數(shù)字內(nèi)部規(guī)律展現(xiàn)得淋漓盡致。同樣地，對(duì)于三角形數(shù)列“1，3，6，10，15”，學(xué)生很難理解相鄰兩個(gè)數(shù)字之和為什么等于平方數(shù)，但是，將數(shù)字轉(zhuǎn)換成點(diǎn)數(shù)并將其排列成三角形后，通過對(duì)拼，就可以直觀地發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)三角形點(diǎn)陣拼成了正方形點(diǎn)陣。

三、在應(yīng)用中感悟數(shù)形結(jié)合的價(jià)值

任何原理和思想的價(jià)值只有在應(yīng)用中才能得以體現(xiàn)。

【教學(xué)片段3】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題

師：你能仿照“25=1+3+5+7+9”模式列出其他算式嗎？

生1：36=1+3+5+7+9+11。

生2：49=1+3+5+7+9+11+13。

……

師：這就是觸類旁通。你能根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問題嗎？

多媒體演示：1+3+5+7+…+（100個(gè)連續(xù)的奇數(shù)）=。

生3：100×100=10000。

生4：分析原有算式我們發(fā)現(xiàn)， 5個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和為25，25=52；6個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和為36，36=62。以此類推，100個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和應(yīng)為1002。

要發(fā)掘出隱藏在算式內(nèi)部的規(guī)律，必須以上文提到的點(diǎn)陣法為基礎(chǔ)，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)陣圖來理解，再利用割補(bǔ)法，將倒數(shù)第一行右下角多余的4個(gè)點(diǎn)剪切到第一行的空缺處，將倒數(shù)第二行的2個(gè)點(diǎn)剪切到第二行的空缺處（如圖6），剛好形成5行5列的正方形點(diǎn)陣。學(xué)數(shù)學(xué)不能沒有想象，想象催生發(fā)現(xiàn)，在理解了數(shù)形結(jié)合的思想后，只要大膽想象，就可以創(chuàng)造出更多結(jié)合的方法。

對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和吸收，勢(shì)必要經(jīng)歷從抽象到具體，從朦朧到清晰的轉(zhuǎn)化過程。本課“數(shù)與形”的教學(xué)，以“數(shù)形結(jié)合”思想貫穿始終，精選教學(xué)素材，巧設(shè)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷思索、聯(lián)想、探究、運(yùn)用等有序活動(dòng)，在活動(dòng)中讓學(xué)生不斷提煉結(jié)晶，反復(fù)琢磨沉淀。顯然，學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的探究過程，才能深刻理解學(xué)習(xí)內(nèi)容中富含的數(shù)學(xué)思想。

（責(zé)編 羅 艷）