王冬晴　張榮延

摘 要：新一輪的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)占據(jù)了重要地位，因此數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)貫穿于教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié).文章在“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，以方程思想與函數(shù)思想相互轉(zhuǎn)化為指導(dǎo)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透到課堂教學(xué)中.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；方程的根；零點(diǎn)存在性定理；教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分為六個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間想象.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要教師精心設(shè)計(jì)每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者以“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”為例，淺析核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)方法.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版必修一第三章第一節(jié)——第一課時(shí)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系、零點(diǎn)存在性定理.函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈接點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程聯(lián)系在一起，本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)為零點(diǎn)的概念，體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系；教學(xué)難點(diǎn)為對(duì)零點(diǎn)存在性定理的理解與應(yīng)用.學(xué)習(xí)本節(jié)課為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是：1）從HPM的視角引入新課，引導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)與方程之間建立聯(lián)系.在這一過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力.2）從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生自己得出函數(shù)零點(diǎn)概念、方程的根和函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，在該環(huán)節(jié)中，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力.3）根據(jù)函數(shù)圖象探究滿足什么條件，函數(shù)存在零點(diǎn).此處應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).4）學(xué)生歸納出零點(diǎn)存在性定理后，教師引領(lǐng)學(xué)生實(shí)際操練，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理解決問題，使學(xué)生學(xué)以致用、鞏固新知，同時(shí)為下節(jié)“二分法”這一數(shù)學(xué)運(yùn)算奠定基礎(chǔ).

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

教學(xué)基本流程：問題導(dǎo)入 建構(gòu)零點(diǎn)概念 探究零點(diǎn)存在性定理 應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理 課后作業(yè).

1.問題導(dǎo)入

問題1 求下列方程的根

1）

2）

3）

第1）小題 ，后面兩個(gè)小題不會(huì).此時(shí)，老師引導(dǎo)學(xué)生，引用1824年挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾成功的證明了五次及以上的方程沒有根式解這一數(shù)學(xué)史，將此過程巧妙過渡到本節(jié)課課題.接下來闡述現(xiàn)如今，高次方程求解方法有很多，今天我們探討其中的一個(gè)方法，從函數(shù)圖象角度來研究方程的根.

設(shè)計(jì)意圖 從HPM的視角來設(shè)計(jì)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)，在教學(xué)過程中潛移默化的豐富學(xué)生數(shù)學(xué)文化知識(shí)，同時(shí)引出本節(jié)課的研究內(nèi)容，在方程無法求解的情形下，如何判斷根的情況.

2.建構(gòu)零點(diǎn)概念

問題2 寫出函數(shù) 的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖 通過數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究方程的根與函數(shù)圖象間的關(guān)系從數(shù)與形的角度方程的根在對(duì)應(yīng)的函數(shù)中所具有的多重意義.在這一環(huán)節(jié)中，該函數(shù)圖象不要求學(xué)生畫出，應(yīng)用學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)想象出函數(shù)圖象的具體形式，以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù) ，我們把使 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù) 的零點(diǎn).

練習(xí)1 判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)？

1）

2）

3）

問題3一般方程的根和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)之間有怎樣的關(guān)系？

方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系 方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù) 有零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù) 的圖象與x軸有交點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 由于函數(shù)的零點(diǎn)是新概念，所以為了避免學(xué)生與方程的根以及幾何概念中的點(diǎn)混淆，明晰三者之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.雖然它們有各自不同的特性，但反映的卻是共同的本質(zhì).在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

3.探究零點(diǎn)存在性定理

問題4 滿足什么條件，函數(shù)存在零點(diǎn)呢？

先解決這樣一個(gè)問題，已知函數(shù) 在區(qū)間[-2，1]、[2，4]內(nèi)有零點(diǎn)，計(jì)算 觀察乘積有什么特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 在此環(huán)節(jié)中需要觀察圖象，在區(qū)間[-2，1]內(nèi)，

和 一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，區(qū)間端點(diǎn)值異號(hào)，并且圖象連續(xù)不斷的穿過x軸，圖象就與x軸有交點(diǎn)，所以函數(shù)

在區(qū)間（-2，1）內(nèi)有零點(diǎn).同樣的，在區(qū)間[2，4]內(nèi) 和 一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，區(qū)間端點(diǎn)值異號(hào)，并且圖象連續(xù)不斷的穿過軸，圖象就與x軸有交點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間（2，4）內(nèi)有零點(diǎn).在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，抽象概括地歸納出函數(shù)存在零點(diǎn)的條件.

零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 ，使得 ，這個(gè)c就是方程

的 根.

練習(xí)2 判斷下列說法，若否定，則舉出反例.

1）如果函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)的，那么函數(shù)

在該區(qū)間上一定有零點(diǎn)嗎？

2）如果函數(shù) 在區(qū)間 上滿足條件 ，

那么函數(shù) 在該區(qū)間上一定有零點(diǎn)嗎？

3）如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，那么該函數(shù)一定滿足 的條件嗎？

設(shè)計(jì)意圖 這三個(gè)問題有助于學(xué)生理解零點(diǎn)存在性定理的本質(zhì)，明確定理中充分不必要的條件，有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

4.應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理

例1 1）判斷方程 根的個(gè)數(shù).

2）若該方程的一個(gè)跟在 區(qū)間內(nèi)，求出正整數(shù)

設(shè)計(jì)意圖 此例題解決了問題導(dǎo)入中遺留的問題，這一例題的解決進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)為下節(jié)課“二分法”做了鋪墊.

5.課后作業(yè)

練習(xí)3 判斷方程 有幾個(gè)根？每個(gè)根所在的區(qū)間 內(nèi)，求 的值.

設(shè)計(jì)意圖 本題讓學(xué)生應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理解決方程根的問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的邏輯推理能力.

三、教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有三個(gè)指導(dǎo)思想，分別是：方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想；作為下一節(jié)課的起始課；處理好數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的關(guān)系.正如史寧中教授所指出的“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”.只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實(shí)現(xiàn)從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)整體性和具體性，才能深入認(rèn)識(shí)新概念新思想.掌握數(shù)學(xué)發(fā)展的基本規(guī)律，讓學(xué)生親身體會(huì)思維過程，必然會(huì)深刻影響其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

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