張敏　廖畢文　劉俊

摘要：高等數(shù)學(xué)課程是士官學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課，采取發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式能極大地調(diào)動學(xué)生積極主動地思考問題，能實現(xiàn)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、分析、歸納與總結(jié)知識。本文以《拉格朗日中值定理》為例，展示了發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式的運用方法。

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式；高等數(shù)學(xué)；拉格朗日中值定理

中圖分類號：G424.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）37-0158-02

《高等數(shù)學(xué)》課程具有嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和抽象性等特征，為了體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性、條理性，教師在講授該課程時往往采用展現(xiàn)式教學(xué)模式，即教師把知識展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生認(rèn)識、理解知識和掌握知識。這種教學(xué)模式看似條理性強(qiáng)，學(xué)生聽得懂，也會做教師依據(jù)所講知識點布置的題目，但學(xué)生在課下獨立做題容易碰壁，原因是學(xué)生對知識的印象不深刻，沒有理解透徹，他們只是被動地接受知識。

與展現(xiàn)式教學(xué)模式相對應(yīng)的是發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式，該模式是指教師在教學(xué)過程中，處處引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、分析、歸納與總結(jié)知識，從而掌握知識的一種教學(xué)模式，其理論依據(jù)是認(rèn)知學(xué)派的理論和結(jié)構(gòu)主義理論。它是由美國認(rèn)知主義心理學(xué)家布魯納在《教育過程》一書中提出，他認(rèn)為：在發(fā)現(xiàn)教學(xué)中，教師的角色是學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者和引導(dǎo)者；結(jié)構(gòu)具有普遍性，學(xué)生如能發(fā)現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)，便能使所學(xué)習(xí)的知識概括化，并能導(dǎo)出新的概念，增加知識的可用性。著名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威荷蘭著名學(xué)者弗賴登塔爾也提倡類似的教學(xué)模式，即“再創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)法”的數(shù)學(xué)教學(xué)過程。他認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個被動的吸收過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實行再創(chuàng)造，由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，而教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行再創(chuàng)造。

發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式堅持主體教育觀，體現(xiàn)了學(xué)生的主體，是構(gòu)建主體性教學(xué)的有效教學(xué)模式。它能調(diào)動學(xué)生積極主動思考問題，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題的能力和創(chuàng)造性思維，符合當(dāng)前軍隊培養(yǎng)創(chuàng)新型士官人才的要求。下面以《拉格朗日中值定理》為例，展示發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式如何應(yīng)用于教學(xué)中。

一、教學(xué)基礎(chǔ)

《拉格朗日中值定理》是《高等數(shù)學(xué)》課程第四章的第一節(jié)，前期已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義以及求法，導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率對研究函數(shù)的性態(tài)有著重要意義，因而在自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會科學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，第四章講授導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，但是在這之前需要介紹微分學(xué)的拉格朗日中值定理，它是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容在課程中起著承前啟后的作用。

二、教學(xué)活動流程

教師：如果一輛汽車在2小時之內(nèi)行駛了160km，那么車速表上的指針至少有一次掃過90km，這個普通的生活現(xiàn)象蘊含著怎樣的數(shù)學(xué)道理呢？

學(xué)生通過觀察數(shù)據(jù)，迅速回答：車速雖然是連續(xù)變化的，但至少有一時刻車速達(dá)到平均速度。

教師啟發(fā)：某一時刻的瞬時速度等于平均速度這個結(jié)論如何用數(shù)學(xué)的語言來描述呢？假設(shè)路程函數(shù)為s=f（t），那么它在t=a到t=b這段時間內(nèi)的平均速度如何表示？

學(xué)生： = 。

教師：我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，那某一時刻的瞬時速度如何表示？

學(xué)生：v（t ）=f′（t ）。

教師：剛才的結(jié)論用數(shù)學(xué)的語言表述為：f′（t ）= ，這個結(jié)論是就速度問題得到的，如果把它引申到一般，假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點的導(dǎo)數(shù)是什么？

學(xué)生：至少有一點ξ∈a，b，使得f′（ξ）= 。

教師：對，大家剛才通過生活中的普通現(xiàn)象抽象出來的式子就是拉格朗日中值定理。

【拉格朗日中值定理】設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈a，b，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）。

教師：如果把定理變形可得 =f′（ξ），在幾何上，該結(jié)論又表示什么意義呢？下面請同學(xué)們自己在草稿紙上試一試。

學(xué)生：發(fā)現(xiàn)圖像上至少存在一點ξ∈a，b，使曲線在點（ξ，f（ξ））處的切線平行于弦AB。

教師： 是弦AB的斜率，而f′（ξ）為曲線y=f（x）在點（ξ，f（ξ））處的切線的斜率。因此，不管大家如何畫圖，都會發(fā)現(xiàn)，只要除端點外，連續(xù)曲線y=f（x），x∈[a，b]，處處都有不垂直于x軸的切線，那么，至少存在一點ξ∈a，b，使曲線在點（ξ，f（ξ））處的切線平行于弦AB。作為特殊情況，如果f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)恒有f′（x）=0，則函數(shù)有什么特征？

學(xué)生：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是一個常數(shù)。

教師：那幾何意義是什么？能畫出圖嗎？（此問很簡單，但有的學(xué)生一時會愣住。）

學(xué)生：切線躺在直線AB上，則函數(shù)圖像就是一條直線。

教師：大家通過觀察發(fā)現(xiàn)了，如果在區(qū)間（a，b）內(nèi)曲線上任一點處切線的斜率恒為零，則此曲線一定是一條平行于x軸的直線。

教師：如果對于函數(shù)f（x）和g（x），在區(qū)間（a，b）內(nèi)恒有f′（x）=g′（x），則f（x）-g（x）′=？

學(xué)生：f（x）-g（x）′=0。

教師：由剛才的第一種特殊情況，f（x）-g（x）=？

學(xué)生：f（x）-g（x）=C。

教師：這個結(jié)論說明f（x）與g（x）有什么關(guān)系？

學(xué)生：說明導(dǎo)數(shù)相等的兩個函數(shù)之間相差一個常數(shù)。

教師：大家通過自己的發(fā)現(xiàn)，得到兩個重要的結(jié)論，這兩個結(jié)論非常重要，在今后的學(xué)習(xí)中會很有用。

三、教學(xué)效果

《拉格朗日中值定理》不是憑空出現(xiàn)的定理，與現(xiàn)實生活中很多現(xiàn)象有密切聯(lián)系，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。利用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式有助于學(xué)生自己找到定理與生活實際中的聯(lián)系，自己理解定理的結(jié)構(gòu)而不是機(jī)械記憶。發(fā)現(xiàn)一種能力，它是分析解決問題的必備條件，只有讓學(xué)生獨立思考，發(fā)現(xiàn)知識，才能理解知識，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力。

發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式，可能比展現(xiàn)式教學(xué)模式要多花一些時間做課程設(shè)計，因此，需要教師具備扎實的專業(yè)基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展史很了解，對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活中的實際聯(lián)系有所積累。另外，教師在運用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式時需要做好引導(dǎo)，幫助學(xué)生理清分析問題的思路，控制好課堂。最后，不是所有教學(xué)內(nèi)容都可以采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式。因此，教師在具體應(yīng)用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式時可以靈活采用，可以在整體上用也可在局部上用，但發(fā)現(xiàn)式教學(xué)模式在培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力與態(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、大膽假設(shè)的過程中具有重要意義，并且使學(xué)生對知識的記憶、理解和保持具有積極的作用，教師應(yīng)該積極采用。

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