周陽金　康彪

[摘 要]

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的體現(xiàn)，同時(shí)，也是落實(shí)“核心素養(yǎng)”的基礎(chǔ)性條件。本研究基于核心素養(yǎng)的大背景，通過對(duì)數(shù)學(xué)推理能力本質(zhì)及影響因素的分析，結(jié)合心理學(xué)等領(lǐng)域的研究成果，從教學(xué)角度出發(fā)，提出幾點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的策略，以期為數(shù)學(xué)教學(xué)提供新的思路。

[關(guān)鍵詞]

核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)推理能力；初中生；培養(yǎng)策略

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革正值關(guān)鍵時(shí)期，2012年，教育部頒布《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2011》）指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿與整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。”類似地，在2014年3月，教育部頒布了《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中首次提出了“核心素養(yǎng)”這一概念之后，2018年1月，國(guó)家教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2017》）明確提出“邏輯推理”為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，因此，學(xué)生推理能力的培養(yǎng)的重要性不言而喻。此外，培養(yǎng)學(xué)生推理能力也為實(shí)現(xiàn)更高層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了基要條件。長(zhǎng)期以來，數(shù)學(xué)學(xué)科一直是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的主力軍，因此，基于教學(xué)的學(xué)生推理能力的培養(yǎng)途徑研究重要性凸顯。本研究基于核心素養(yǎng)的大背景，結(jié)合心理學(xué)等領(lǐng)域的研究成果，從教育者角度探討初中生推理能力的培養(yǎng)路徑。

一、核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

《課標(biāo)（2017年版）》指出：“核心素養(yǎng)主要指學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力?！迸囵B(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的一項(xiàng)重要舉措。學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。因此，學(xué)生“核心素養(yǎng)”的養(yǎng)成需要各個(gè)學(xué)科之間密切配合，共同努力。數(shù)學(xué)學(xué)科作為培養(yǎng)學(xué)生理性思維品質(zhì)的核心學(xué)科在培養(yǎng)學(xué)生“核心素養(yǎng)”中承擔(dān)了重要角色。同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)以及通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)生所形成的知識(shí)、能力價(jià)值觀等，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想和育人價(jià)值，我國(guó)專家學(xué)者在吸收和借鑒國(guó)內(nèi)外有關(guān)核心素養(yǎng)的研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合當(dāng)前我國(guó)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)課程的現(xiàn)實(shí)需求，修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)歸納為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。基于“邏輯推理”這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)背景，結(jié)合《課標(biāo)2011》第三學(xué)段（7-9年級(jí)）對(duì)學(xué)生推理能力的要求和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，探尋通過教學(xué)提高初中生的數(shù)學(xué)推理能力策略。

二、基于教學(xué)的初中生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)策略探究

要想探尋出學(xué)生推理能力的培養(yǎng)途徑，首先要厘清數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)；數(shù)學(xué)推理能力的形成與發(fā)展所受影響因素；學(xué)生的推理能力發(fā)展所需的基礎(chǔ)；學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)等。

（一）數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)

關(guān)于什么是數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)的爭(zhēng)論早在19世紀(jì)時(shí)就已初見苗頭。數(shù)學(xué)家彭加勒率先在其“數(shù)學(xué)推理的本性”中對(duì)沿襲了兩千多年之久的數(shù)學(xué)“三段論”推理說提出質(zhì)疑后，人們對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解逐漸深刻。之后，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》這一著作中將數(shù)學(xué)推理概括為證明推理與合情推理。而后，隨著數(shù)學(xué)推理相關(guān)理論研究與實(shí)踐的豐富，心理學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家斯滕伯格根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、實(shí)踐調(diào)查和對(duì)學(xué)生認(rèn)知過程的分析，認(rèn)為數(shù)學(xué)推理的3個(gè)方面——分析性推理、創(chuàng)造性推理和實(shí)踐性推理同時(shí)起著重要作用。多年以來，有關(guān)數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)的話題只增不減，但是在各種聲音之中我們不難看出除了推理的成分有逐漸擴(kuò)充的趨勢(shì)之外，認(rèn)為數(shù)學(xué)推理在本質(zhì)上仍然是一致的，就是數(shù)學(xué)推理本質(zhì)上是一種純粹的邏輯推理。

（二）數(shù)學(xué)推理能力的形成、發(fā)展、影響因素

厘清數(shù)學(xué)推理能力的本質(zhì)，接下來我們?cè)撎接憯?shù)學(xué)推理能力是如何形成和發(fā)展起來的，又受到哪些因素的制約。

任何能力的形成不可能是“萬丈高樓平地起”，都需要一定量的知識(shí)和能力儲(chǔ)備。因而，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)推理能力的形成首先要有一定量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力，這是數(shù)學(xué)推理能力形成的先決條件。其次，通過后天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，將獲得的新知識(shí)與原有的數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，并將其不斷內(nèi)化。最終，在歷經(jīng)抽象化、組織化的過程后形成。

影響數(shù)學(xué)推理能力的形成和發(fā)展的因素很多，由于不同的人生活、成長(zhǎng)所處的環(huán)境存在差異，因而形成、發(fā)展起來的數(shù)學(xué)推理能力水平等各方面不可避免會(huì)存在這樣或那樣的差異，甚至從生物學(xué)角度講，遺傳生理?xiàng)l件在某些程度上也會(huì)制約推理能力的形成和發(fā)展。從這個(gè)意義講，影響數(shù)學(xué)推理能力形成、發(fā)展的條件也不容忽視。在本文中，筆者將著重從教學(xué)入手，探討通過教學(xué)提升學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的策略。

（三）皮亞杰（J·Piaget）兒童邏輯或推理能力發(fā)展階段及特點(diǎn)理論

表1 兒童邏輯或推理的發(fā)展階段

[ 名 稱 年 齡 特 點(diǎn) 第一階段 前運(yùn)算階段 2-7、8歲 兒童沒有概括能力，思維并不超越單純地“模仿”現(xiàn)實(shí)，沒有獲得任何必要的蘊(yùn)涵。 第二階段 具體運(yùn)算階段 7-12歲 思維開始對(duì)現(xiàn)實(shí)實(shí)施“運(yùn)算”創(chuàng)造了局部可逆的實(shí)驗(yàn)，并因而對(duì)某些斷言和結(jié)果的蘊(yùn)涵有了意識(shí)。此時(shí)概括能力仍然是部分的依靠直覺。 第三階段 形式運(yùn)算階段 11、12歲至以后 逐漸可以脫離現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界，此時(shí)兒童終于獲得了各種運(yùn)算間的必要的蘊(yùn)涵和思維的完全可逆性。 ]

如表1所示，皮亞杰（J·Piaget）將兒童邏輯或推理的發(fā)展過程分為三個(gè)階段：前運(yùn)算階段（2-7、8歲）、具體運(yùn)演階段（7-12歲）、形式運(yùn)演階段（11、12歲以后）。義務(wù)教育第三學(xué)段（7-9年級(jí)）的學(xué)生年齡多處于12-15歲，按皮亞杰對(duì)兒童邏輯或推理發(fā)展的階段研究分類，初中生的推理發(fā)展水平應(yīng)處于由具體運(yùn)演階段逐漸過渡到形式運(yùn)演階段并趨于完善。

三、基于教學(xué)的初中生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)策略

對(duì)于教師教學(xué)而言，學(xué)生的推理能力的形成、發(fā)展直至不斷完善是個(gè)漫長(zhǎng)又復(fù)雜的過程，不是短時(shí)間內(nèi)就能形成的，但是只要策略應(yīng)用得當(dāng)就會(huì)使這個(gè)周期逐漸縮短。再吸收和借鑒教育界前輩和學(xué)者的理論及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，筆者提出了幾點(diǎn)策略，以期起到拋磚引玉的作用。

（一）重視有關(guān)知識(shí)與能力的儲(chǔ)備是數(shù)學(xué)推理能力形成和發(fā)展的基要條件

上文中已經(jīng)提到，任何能力的形成不可能是“萬丈高樓平地起”，因而，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)推理能力的形成首先要有一定量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力，這是數(shù)學(xué)推理能力形成的先決條件。

（二）重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力階段性和順序性

從著名心理學(xué)家皮亞杰（J·Piaget）對(duì)兒童邏輯或推理的發(fā)展階段的分類中，不難看出，初中生的年齡特征除正處于推理能力形成和發(fā)展的關(guān)鍵期之外，同時(shí)也處于身體各方面發(fā)展和成熟的關(guān)鍵期，因此，作為教育者來講絕不可忽視這一時(shí)期。既然關(guān)鍵就要想關(guān)鍵的辦法。筆者以為，推理本質(zhì)是一種邏輯思維，所謂邏輯就是層次分明、有條理，故而，教師的教學(xué)策略也應(yīng)該層次分明，循序漸進(jìn)、有條不紊。

（三）剖析教材，內(nèi)化知識(shí)，創(chuàng)設(shè)推理情景

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的載體，是對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的再創(chuàng)造，是具體化了的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是教師實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要抓手以及教學(xué)過程的重要參考。教學(xué)過程的最優(yōu)化是實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化教學(xué)的重要保障，而基于課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)背景分析是實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程最優(yōu)化的重要方法和途徑。因此教師應(yīng)該在充分尊重教材基礎(chǔ)上，科學(xué)分析教材內(nèi)容體系、剖析知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展歷程，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格及認(rèn)知特點(diǎn)，力求在對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教育對(duì)象充分分析的基礎(chǔ)上將知識(shí)再豐富、再創(chuàng)造，在教學(xué)過程中抓住重要環(huán)節(jié)，恰合時(shí)宜地創(chuàng)設(shè)推理情景，給予學(xué)生印象深刻的推理體驗(yàn)。

（四）強(qiáng)化推理能力訓(xùn)練

任何能力的形成和發(fā)展都離不開日后的勤加鞏固。數(shù)學(xué)推理能力作為“數(shù)學(xué)能力”的一項(xiàng)重要分支自然也不例外。教師應(yīng)該在學(xué)生所學(xué)的知識(shí)層次內(nèi)結(jié)合最近發(fā)展區(qū)理論為學(xué)生編制訓(xùn)練習(xí)題，注重習(xí)題背景的創(chuàng)設(shè)，盡量做到將有“數(shù)”有“形”有機(jī)結(jié)合。但也要切記題目多但型單一的缺點(diǎn)。

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)，這一點(diǎn)在國(guó)際上已得到普遍認(rèn)同。形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)高層次體現(xiàn)就是形成數(shù)學(xué)思維，而數(shù)學(xué)思維的核心正是數(shù)學(xué)推理。因此，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的體現(xiàn)，同時(shí)，也是落實(shí)“核心素養(yǎng)”的基礎(chǔ)性條件。因此，基于核心素養(yǎng)大背景下對(duì)教師的教學(xué)提出了高標(biāo)準(zhǔn)。筆者以為，教師首先要弄清教學(xué)的“需求側(cè)”即教學(xué)目標(biāo)等；而后，還要弄清學(xué)生的“供給側(cè)”需求即學(xué)生的起點(diǎn)能力、認(rèn)知水平等；在“供給側(cè)”和“需求側(cè)”之間搭建橋梁，促進(jìn)雙側(cè)目標(biāo)的達(dá)成。當(dāng)然，數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)并不僅局限于教學(xué)一個(gè)方面，生活中還有很多途徑利于學(xué)生推理能力的發(fā)展，例如智力游戲等，在此，筆者也期待同除教學(xué)外的其他領(lǐng)域共同促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力形成、發(fā)展、完善。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》2014.

[3]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4]Robert J Sternberg. The Nature of Mathematical Reasoning [J].National Council of Teachers of Mathematics， 1999（1）.

[5]徐潔綺，數(shù)學(xué)探究教學(xué)中全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的構(gòu)想[D].上海師范大學(xué)，2006.

[6]寧連華，數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)和功能及其能力培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，8第12卷第3期.

[7]R.W.柯普蘭著；李其維，康清鑣譯.左任俠校.兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1985.

（責(zé)任編輯：張華偉）