孫冬梅

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀首先表現(xiàn)為一種意識(shí)，即面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能想到用畫(huà)圖來(lái)幫助思考;其次表現(xiàn)為一種能力，即掌握一定的幾何直觀的畫(huà)圖技巧，能畫(huà)出圖來(lái)。幾何直觀一般有實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀四種形式。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，需要依托數(shù)學(xué)課程的每個(gè)領(lǐng)域，依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實(shí)在課程內(nèi)容之中、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中。

關(guān)鍵詞：幾何直觀教學(xué);核心素養(yǎng);小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2019）04B-0061-03

曹培英認(rèn)為，將幾何直觀列為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心追求之一，有積極意義，至少有利于加深對(duì)直觀的認(rèn)識(shí)，有利于指導(dǎo)直觀教學(xué)的改進(jìn)與提升。史寧中認(rèn)為，無(wú)論進(jìn)行怎樣的課程改革，如果用一句話描述數(shù)學(xué)教育的根本，那就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀與“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容關(guān)系密切是毋庸置疑的。將幾何直觀用于描述和分析“非圖形與幾何”領(lǐng)域的問(wèn)題，卻最能彰顯其價(jià)值，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)與能力。下面，筆者結(jié)合幾何直觀的不同表現(xiàn)形式，以蘇教版數(shù)學(xué)教材為例，談?wù)勗鯓釉诘谝粚W(xué)段的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、實(shí)物直觀，幫助學(xué)生加深數(shù)的認(rèn)識(shí)

實(shí)物直觀，即實(shí)物層面的幾何直觀，是指借助與研究對(duì)象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際存在物，以此作為參照物，借助其與研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡(jiǎn)捷形象的思考，獲得針對(duì)研究對(duì)象的深刻判斷的一種能力[1]。第一學(xué)段，學(xué)生的思維處于具體形象思維階段，而數(shù)的認(rèn)識(shí)內(nèi)容相對(duì)比較抽象，教材大多借助小棒、計(jì)數(shù)器等實(shí)物幫助學(xué)生理解數(shù)的組成及意義，形成數(shù)的概念。教學(xué)時(shí)，教師要充分利用實(shí)物直觀，幫助學(xué)生經(jīng)歷形象到抽象的過(guò)程，讓數(shù)的認(rèn)識(shí)逐步深入。

例如，“認(rèn)識(shí)千以?xún)?nèi)的數(shù)”一課，教材設(shè)置了兩道例題。例1利用實(shí)例，創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)三位數(shù)的情境。教學(xué)時(shí)，教師要發(fā)揮小方塊的作用，先讓學(xué)生從擺小棒表示數(shù)的經(jīng)驗(yàn)遷移到用小方塊表示數(shù)，再由小方塊過(guò)渡到計(jì)數(shù)器，讓學(xué)生直觀感受到這兩個(gè)數(shù)的意義[2]。例2及其后面的“想想做做”教學(xué)，學(xué)生在計(jì)數(shù)器上一邊撥珠一邊數(shù)數(shù)，直觀認(rèn)識(shí)幾百幾十和幾百零幾的數(shù)。在計(jì)數(shù)器上表示數(shù)很方便，教師可以直接讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上邊撥邊數(shù)。而認(rèn)識(shí)一千的教學(xué)，除了計(jì)數(shù)器，還要再次借助小方塊，一百一百地?cái)?shù)，10片小方塊正好拼成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體就表示一千，由此突出計(jì)數(shù)單位以及相鄰單位之間的進(jìn)率，使“千”的教學(xué)更加豐滿[3]。

二、圖形直觀，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)的運(yùn)算

圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。與實(shí)物直觀相比，圖形直觀的抽象程度更高一些，其綜合程度更強(qiáng)一些[4]。第一學(xué)段，數(shù)的運(yùn)算教學(xué)分以下幾種類(lèi)型：一是借助小棒或計(jì)數(shù)器理解算理，如20以?xún)?nèi)的加減法、表內(nèi)乘除法、兩位數(shù)和三位數(shù)的加減法;二是由口算過(guò)渡到筆算，借助計(jì)算法則理解算理，如一位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法等;三是聯(lián)系數(shù)的意義理解算理，如一位小數(shù)的加減運(yùn)算。其中第三種類(lèi)型的教學(xué)過(guò)程，可以充分利用圖形直觀，溝通數(shù)與形之間的聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)算理的理解更加深入。

例如，“一位小數(shù)的加、減法”一課，教材提供的是購(gòu)買(mǎi)早餐的問(wèn)題情境，解決“買(mǎi)1個(gè)饅頭和1杯豆?jié){一共要多少元”的問(wèn)題，列出算式0.5+0.7，讓學(xué)生從“5角加7角是1元2角，也就是1.2元”的思考中，體會(huì)“5角”和“7角”應(yīng)該直接相加，得數(shù)滿十向“元”進(jìn)一，再按這樣的計(jì)算思路寫(xiě)出筆算豎式。教學(xué)時(shí)，除了完成教材的意圖，教師還可以增加一個(gè)環(huán)節(jié)：讓學(xué)生根據(jù)0.5和0.7的意義，在長(zhǎng)方形中表示出來(lái)，并結(jié)合圖思考這樣算的道理，明確“5個(gè)0.1加7個(gè)0.1是12個(gè)0.1，也就是1.2”。學(xué)生在學(xué)習(xí)一位小數(shù)的概念以及比較小數(shù)大小時(shí)，已經(jīng)有了比較充分的數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)，這里解釋起來(lái)很輕松，也能溝通小數(shù)加法與整數(shù)加法的聯(lián)系，對(duì)理解算理、掌握算法無(wú)疑是大有裨益的。

三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀， 利于學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系

簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，即簡(jiǎn)約符號(hào)層面的幾何直觀，是在實(shí)物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，所形成的半符號(hào)化的直觀[5]。第一學(xué)段，教材除了結(jié)合計(jì)算教學(xué)，編排了許多一步計(jì)算或兩步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，還從三年級(jí)開(kāi)始，每?jī)?cè)都安排了“解決問(wèn)題的策略”的教學(xué)內(nèi)容。其中，三年級(jí)安排的內(nèi)容是把解決問(wèn)題的一般步驟作為最基本的策略，突出數(shù)量關(guān)系的分析，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)低年級(jí)學(xué)生而言數(shù)量關(guān)系是很抽象的，加強(qiáng)簡(jiǎn)約符號(hào)直觀的教學(xué)就顯得尤為重要了。

例如，“解決問(wèn)題的策略——從條件想起”的第二課時(shí)，學(xué)生已經(jīng)初步感受了從條件出發(fā)向問(wèn)題的推理是解決問(wèn)題的一種策略。這節(jié)課是加強(qiáng)對(duì)這種策略的體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生自覺(jué)地利用這種策略探索問(wèn)題的解法。例題在找出所有已知條件以后，要求學(xué)生在線段圖的直觀幫助下，理解數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)已知條件設(shè)計(jì)解題步驟。教學(xué)時(shí)，教師可以先讓學(xué)生充分經(jīng)歷線段圖的形成過(guò)程，明確先畫(huà)哪種數(shù)量，另外兩種數(shù)量用線段怎樣表示，為什么這樣表示，畫(huà)好線段圖后，隱去文字題目，讓學(xué)生結(jié)合線段圖說(shuō)說(shuō)數(shù)量關(guān)系，溝通圖與策略的聯(lián)系?！跋胂胱鲎觥钡牡?題，學(xué)生在線段圖上進(jìn)行條件的組合，提出不同的問(wèn)題，體會(huì)條件和問(wèn)題的聯(lián)系，從而放大線段圖的功能，初步感悟到幾何直觀的價(jià)值。

又如，“解決問(wèn)題的策略——從問(wèn)題想起”的第二課時(shí)，教材畫(huà)出一條線段表示褲子的價(jià)格是48元，要求學(xué)生畫(huà)出表示上衣價(jià)格的線段，并在線段圖上表示所求問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，教師可以先讓學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖，再直接看圖說(shuō)數(shù)量關(guān)系，思考先算什么。學(xué)生經(jīng)過(guò)畫(huà)圖和思考，能夠完全進(jìn)入問(wèn)題情境，形成有利于解題的氛圍。接著教師讓學(xué)生繼續(xù)思考是否有不同的解法，教師引導(dǎo)學(xué)生看線段圖想到：褲子價(jià)格看成1份，上衣價(jià)格是這樣的3份，一套衣服的價(jià)格就是這樣的4份。教學(xué)“想一想”時(shí)，教師依然先讓學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖，再比較異同點(diǎn)，思考類(lèi)似的問(wèn)題并嘗試解決。經(jīng)過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生從線段圖上直觀感受到了只有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算問(wèn)題的特點(diǎn)，畫(huà)線段圖的能力也得以培養(yǎng)。

四、替代物直觀，推動(dòng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律

替代物直觀是一種復(fù)合的幾何直觀，既可以依托簡(jiǎn)捷的直觀圖形，也可以依托用語(yǔ)言或?qū)W科表征物所代表的直觀形式，還可以是實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀的復(fù)合物[6]。探索規(guī)律的內(nèi)容，一、二年級(jí)教材編排在練習(xí)中，三年級(jí)教材每?jī)?cè)都編排了一次專(zhuān)題活動(dòng)。教學(xué)時(shí)教師要重在“探索”，讓學(xué)生充分經(jīng)歷尋找規(guī)律的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程有時(shí)是比較復(fù)雜的，隱含的規(guī)律可能是比較抽象的，需要教師借助直觀的實(shí)物、圖形或符號(hào)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、理解規(guī)律、表達(dá)規(guī)律。

例如，“有趣的乘法計(jì)算”一課，教材安排探索兩位數(shù)乘11的規(guī)律并探索兩個(gè)“頭同尾補(bǔ)”的兩位數(shù)相乘的規(guī)律。其中，第一種規(guī)律乘法算式的特點(diǎn)十分明顯。教學(xué)時(shí)，教師可以直接提出問(wèn)題“一個(gè)兩位數(shù)與11相乘的得數(shù)有什么共同特點(diǎn)？”讓學(xué)生先用豎式計(jì)算，再分別比較積的每一位上的數(shù)和原來(lái)的兩位數(shù)。發(fā)現(xiàn)、表達(dá)、驗(yàn)證規(guī)律后，教師追問(wèn)：“一個(gè)兩位數(shù)乘11，為什么會(huì)存在著這樣的規(guī)律？”學(xué)生從一個(gè)兩位數(shù)乘11的計(jì)算過(guò)程找原因，并借助如圖1這樣的直觀模型理解這類(lèi)現(xiàn)象的一般規(guī)律。通過(guò)這樣的教學(xué)，抽象的規(guī)律借助相對(duì)形象的模型積淀在學(xué)生探索的過(guò)程中，既加深了學(xué)生對(duì)規(guī)律的理解，又利于對(duì)規(guī)律的表達(dá)。

需要說(shuō)明的是，以上幾何直觀的四種表現(xiàn)形式與第一學(xué)段“數(shù)學(xué)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容不是一一對(duì)應(yīng)的，更多情況下是多種表現(xiàn)形式的綜合運(yùn)用。教師要具有培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的自覺(jué)意識(shí)，在日常教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)付諸實(shí)踐，促使學(xué)生形成敏銳洞察力和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1][4][5][6]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程·教材·教法， 2012（7）：93.94.94.94.

[2][3]沈重予，王林.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社， 2015：264.265.

責(zé)任編輯：石萍