陀螺力矩教學(xué)心得

劉海平　杜中華　李鵬　吳大林

摘 要：高速自轉(zhuǎn)的陀螺其軸線不翻倒的物理原因是教學(xué)過程中的難點(diǎn)，同時(shí)也是理解章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)原理的理論基礎(chǔ)，如果不能深刻理解陀螺力矩產(chǎn)生原因和特點(diǎn)，將嚴(yán)重影響后續(xù)陀螺穩(wěn)定和追隨穩(wěn)定等課程的教學(xué)效果。本文結(jié)合作者多年教學(xué)實(shí)踐，按照逐層遞進(jìn)的方法，針對(duì)如何講好陀螺力矩進(jìn)行探討分析。

關(guān)鍵詞：陀螺力矩 慣性力 教學(xué)心得

一、翻轉(zhuǎn)力矩的產(chǎn)生及特點(diǎn)

為使問題簡(jiǎn)化，假設(shè)陀螺是理想的回轉(zhuǎn)體，回轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心。由于眾多客觀原因，陀螺回轉(zhuǎn)軸ζ與通過陀螺頂點(diǎn)的鉛垂線OY并不重合，其所夾角度用α表示。以旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖1。

由于夾角α的存在，陀螺質(zhì)心所受重力將對(duì)頂點(diǎn)O產(chǎn)生力矩。根據(jù)右手定則，該力矩方向?yàn)镺Z的反方向，用Mg表示。力矩Mg使得陀螺回轉(zhuǎn)軸ζ沿圖1所示擺動(dòng)方向1，繞O點(diǎn)在平面XOY內(nèi)擺動(dòng)，α逐漸增大，從而使回轉(zhuǎn)軸發(fā)生翻倒。因此，力矩Mg稱為翻轉(zhuǎn)力矩。該力矩具有如下特點(diǎn)：

1.翻轉(zhuǎn)力矩Mg的方向始終垂直于由鉛垂線OY和回轉(zhuǎn)軸ζ所構(gòu)成的平面XOY。

2.翻轉(zhuǎn)力矩Mg使回轉(zhuǎn)軸ζ在平面XOY內(nèi)加速擺動(dòng)，并最終使回轉(zhuǎn)軸ζ在平面XOY內(nèi)翻倒。

3.翻轉(zhuǎn)力矩Mg與夾角α的大小有關(guān)，當(dāng)陀螺高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，α變化范圍極小，翻轉(zhuǎn)力矩Mg可近似認(rèn)為是常數(shù)。

二、陀螺力矩的產(chǎn)生及特點(diǎn)

當(dāng)陀螺不自轉(zhuǎn)時(shí)，在翻轉(zhuǎn)力矩Mg作用下，α逐漸增大，回轉(zhuǎn)軸§將在平面XOY內(nèi)翻倒。若陀螺高速自轉(zhuǎn)，情況將完全不同?？杉僭O(shè)陀螺高速順時(shí)針自轉(zhuǎn)（右旋），此時(shí)陀螺上的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都圍繞回轉(zhuǎn)軸ζ作圓周運(yùn)動(dòng)。為使分析具有普遍意義，任取陀螺垂直于回轉(zhuǎn)軸ζ的一個(gè)切面進(jìn)行分析，如圖2所示。

由于陀螺高速自轉(zhuǎn)，回轉(zhuǎn)軸§在平面XOY內(nèi)擺動(dòng)過程中，切面上質(zhì)點(diǎn)的速度必將發(fā)生變化。如圖2所示，當(dāng)僅考慮由于自轉(zhuǎn)帶來(lái)的速度變化時(shí)，可將切面上任一質(zhì)點(diǎn)速度分解為兩個(gè)分速度：平行于平面XOY且垂直于回轉(zhuǎn)軸ζ的分速度V⊥ζ（B、D兩點(diǎn)僅有該方向分速度）和垂直于平面XOY的分速度Vz（A、C兩點(diǎn)僅有該方向分速度）。在翻轉(zhuǎn)力矩Mg作用下，α逐漸增大，在回轉(zhuǎn)軸ζ擺動(dòng)過程中，切面上任一質(zhì)點(diǎn)的分速度Vz大小和方向都不發(fā)生變化，而分速度V⊥§的大小不變，方向發(fā)生變化，產(chǎn)生了速度增量。由圖2可知，在切面內(nèi)半圓任一質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生平行于回轉(zhuǎn)軸ζ指向下方的速度增量，在外半圓相反，產(chǎn)生平行于回轉(zhuǎn)軸ζ指向上方的速度增量。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，若讓質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生速度增量，則需提供相應(yīng)的外力，即在內(nèi)半圓任一質(zhì)點(diǎn)需提供平行于回轉(zhuǎn)軸ζ指向下方的外力，其合力用F內(nèi)表示，同理，在外半圓任一質(zhì)點(diǎn)需提供平行于回轉(zhuǎn)軸ζ指向上方的外力，其合力用F外表示，F(xiàn)內(nèi)與F外大小相等，方向相反，構(gòu)成一對(duì)力偶，方向與回轉(zhuǎn)軸ζ在平面XOY內(nèi)擺動(dòng)的方向相反。因此，若使高速旋轉(zhuǎn)的陀螺與不旋轉(zhuǎn)陀螺一樣，仍然保持在平面XOY內(nèi)擺動(dòng)，需提供與擺動(dòng)方向相反的外力矩。然而，陀螺高速自轉(zhuǎn)時(shí)并沒有此外力矩，陀螺就“好像”受到了與此外力矩方向相反的力矩M1（如圖1所示）作用，顯然，M1是由于自轉(zhuǎn)慣性產(chǎn)生的力矩，是一種慣性力矩，也稱為陀螺力矩，在陀螺力矩M1作用下，回轉(zhuǎn)軸ζ將向垂直于平面XOY的方向（Z軸正方向）擺動(dòng)。

由于陀螺的高速自轉(zhuǎn)，在陀螺回轉(zhuǎn)軸ζ擺動(dòng)過程中，陀螺上的任一質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了速度增量，這些速度增量所產(chǎn)生的慣性力合力形成了陀螺力矩M1。在陀螺力矩M1的作用下，回轉(zhuǎn)軸在垂直于XOY平面方向（Z軸正方向）亦產(chǎn)生擺動(dòng)，在Z方向上又產(chǎn)生新的陀螺力矩M2，陀螺力矩M2與翻轉(zhuǎn)力矩Mg反向，使回轉(zhuǎn)軸ζ在XOY平面內(nèi)的擺動(dòng)速度減小。在M2與Mg共同作用下，回轉(zhuǎn)軸在XOY平面內(nèi)的擺動(dòng)角不再無(wú)限增大，而是周期性往復(fù)擺動(dòng)，最終使得陀螺回轉(zhuǎn)軸ζ不發(fā)生翻倒現(xiàn)象。

三、慣性力和慣性力矩對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響對(duì)比

陀螺力矩本質(zhì)是慣性力矩，其在產(chǎn)生原理和特點(diǎn)上與慣性力有相似之處。慣性力和慣性力矩與參考坐標(biāo)系速度變化有關(guān)，為便于對(duì)照理解，下表1對(duì)兩種典型情況慣性力和慣性力矩的產(chǎn)生進(jìn)行比較。

當(dāng)參考坐標(biāo)系加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)（速度大小發(fā)生改變，線加速度），在參考坐標(biāo)系中物體會(huì)產(chǎn)生慣性力，使參考坐標(biāo)系中的物體加速直線運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)參考坐標(biāo)系勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（速度方向發(fā)生變化，角加速度），在參考坐標(biāo)系中的物體產(chǎn)生了慣性力矩，使參考坐標(biāo)系中的物體產(chǎn)生加速轉(zhuǎn)動(dòng)。

結(jié)語(yǔ)

陀螺自轉(zhuǎn)產(chǎn)生慣性力矩使得回轉(zhuǎn)軸在兩個(gè)方向上擺動(dòng)，在陀螺力矩M1、M2和翻轉(zhuǎn)力矩Mg的共同作用下，回轉(zhuǎn)軸在高速自轉(zhuǎn)的同時(shí)，還要作章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)。掌握了陀螺力矩產(chǎn)生的原因及其特點(diǎn)，將為章動(dòng)和運(yùn)動(dòng)的后續(xù)講解打好基礎(chǔ)。