借力微專題，探索高三數(shù)學(xué)差異教學(xué)復(fù)習(xí)課型

黃寒凝 張海峰

摘 要：在長期的教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中差異始終存在，不僅學(xué)生的知識基礎(chǔ)、興趣愛好、學(xué)習(xí)能力等存在差異、教材本身知識難度要求也存在差異.在以提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，培育學(xué)生核心素養(yǎng)為目標的高三復(fù)習(xí)課中，關(guān)注教材知識難度差異，對部分符合學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的、層次分明的、比較系統(tǒng)的知識板塊進行微專題突破，能幫助學(xué)生構(gòu)建相對有效的解題思路與策略，在一定程度上減少差異，促進每個學(xué)生在原有基礎(chǔ)上得到更好的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：差異教學(xué)；微專題；導(dǎo)數(shù)；單調(diào)區(qū)間；分類標準

筆者多年任教高三一個平行班、一個實驗班，面對能力差異明顯的兩個教學(xué)班，想要完全消除差異是不可能的.但經(jīng)過長期的差異教學(xué)探索，筆者發(fā)現(xiàn)在關(guān)注學(xué)生的知識能力差異的基礎(chǔ)上，同時關(guān)注教材知識難度差異，對部分符合學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的、層次分明的、比較系統(tǒng)的知識板塊進行微專題突破，設(shè)置層級清晰的課堂教學(xué)目標，加強課堂教學(xué)素材選擇的遞進性，可以在很大程度上縮小差異，推動班級整體進步.下面以微專題《利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間》為例，呈現(xiàn)如何構(gòu)建一節(jié)高效的高三數(shù)學(xué)差異教學(xué)復(fù)習(xí)課型.

一、結(jié)合實測，確認實效性強的微專題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查的最核心部分是以凹凸函數(shù)為載體考查函數(shù)的單調(diào)性問題，從而進一步探究函數(shù)的零點、極值、最值等問題.因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間成為研究函數(shù)的“先行部隊”，是高考考查的一個熱點、難點問題，更是我們高三一輪復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容.學(xué)生已經(jīng)能初步應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性，并具備基本的分類討論思想，但是導(dǎo)數(shù)一般是壓軸題，由于對分類討論的標準模糊不清，加上時間不夠，導(dǎo)致學(xué)生解題信心不足，往往得分率偏低，實測下來得分差異性比較大.因此選擇此微專題，起承上啟下的作用，利于學(xué)生掌握對含參函數(shù)零點、極值、最值等圖象特征的分析，實效性較強.

二、詳析差異，設(shè)置層級清晰的課堂教學(xué)目標

此專題產(chǎn)生最大差異的地方就在于學(xué)生對含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論標準模糊不清，因此本節(jié)課核心在于如何揭示解題的本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生自然地產(chǎn)生討論的分類標準.結(jié)合教材分析與學(xué)生的學(xué)情分析，本節(jié)課設(shè)定以下三個教學(xué)目標：

（1）強化導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系（陳述性知識），掌握求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的解題步驟，形成解題的微策略（程序性知識）；

（2）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分類討論標準的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；

（3）揭示數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng).

其中（1）中的陳述性知識部分是屬于基本知識要求，而程序性知識又分四個梯度逐級遞進，此目標可通過課后練習(xí)評價反饋達成；（2）（3）中的能力目標與素養(yǎng)目標是滲透式要求，通過階段性評估反饋達成.

三、精選素材，注重以學(xué)生為主體的課堂生成

1.回顧知識，提出課題（從2018年全國1卷21題高考題的背景引入）

例題1.求函數(shù)f（x）=2x- -3lnx的單調(diào)區(qū)間.

【設(shè)計意圖】從低起點的高考問題出發(fā)，符合學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生課題起點一致，后進生有信心積極參與到教學(xué)中.同時引導(dǎo)學(xué)生共同回顧用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟：

（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；

（3）在定義域內(nèi)解不等式f ′（x）>0，所得解集為函數(shù)f（x）的增區(qū)間；

（4）在定義域內(nèi)解不等式f ′（x）<0，所得解集為函數(shù)f（x）的減區(qū)間.

揭示利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的本質(zhì)就是解不等式，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點就是f ′（x）=0的根，而不等式f ′（x）>0（或f ′（x）<0）的解集即f ′（x）圖象在x軸上方（或下方）對應(yīng)的x的取值范圍，用流程圖體現(xiàn)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的過程，直觀明了，邏輯清晰，消除陳述性基礎(chǔ)知識差異對教學(xué)效果的不利影響.

引出課題：那如果函數(shù)是一個含參函數(shù)呢？讓我們一起進入今天的微專題：《利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間》.

2.典例分析，形成解題策略

例題2.已知f（x）=ax2-bx+lnx（a，b∈R），

（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)b=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)b=2a+1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

【設(shè)計意圖】第（Ⅰ）問屬于第一梯度題目，從導(dǎo)函數(shù)為形如一次的帶參函數(shù)入手，具有基礎(chǔ)性、針對性、典型性，雖然簡單但滲透數(shù)形結(jié)合思想與初步滲透分類討論思想，討論標準易于發(fā)現(xiàn)，學(xué)生跳一跳即可摘得果子.

解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=-bx+lnx，定義域為（0，+∞），f ′（x）=-b+ = ，令g（x）=-bx+1，

引導(dǎo)性設(shè)問：是否有根？根g（x）=0？圯x= 是否在定義域內(nèi)？

（1）當(dāng)b≤0時，g（x）=-bx+1≥0，即f ′（x）>0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；

（2）當(dāng)b>0時，g（x）=0？圯x= ∈（0，+∞），如圖，由f ′（x）>0即g（x）>0得0 ，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ），單調(diào)減區(qū)間為（ ，+∞）.

綜上可得：當(dāng)b≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)b>0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ），單調(diào)減區(qū)間為（ ，+∞）.

【設(shè)計意圖】第（Ⅱ）問屬于第二梯度題目，從導(dǎo)函數(shù)為形如二次的帶參函數(shù)入手，仍然在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，題目設(shè)置小坡度，利于學(xué)生步步登高，類比第一問的引導(dǎo)性提問，讓學(xué)生自主探索參數(shù)的討論標準，滲透方法的遷移，在一定程度上消除學(xué)生對函數(shù)模型切換的畏難心理差異.

（Ⅱ）當(dāng)b=0時，f（x）=ax2+lnx，定義域為（0，+∞），f ′（x）=2ax+ = ，令g（x）=2ax2+1，（1）當(dāng)a≥0時，g（x）=2ax2+1>0，即f ′（x）>0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；（2）當(dāng)a<0時，g（x）=0？圯x=± （舍去- ），由f ′（x）>0得x> ，f ′（x）<0得0

綜上可得：當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)a<0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0， ），單調(diào)減區(qū)間為（ ，+∞）.

【設(shè)計意圖】第（Ⅲ）問屬于第三梯度題目，也是此類分類討論的最經(jīng)典問題，模型沒有改變，導(dǎo)函數(shù)仍然是形如二次的帶參函數(shù)，但是討論的情況一下子多起來了，難度也一下子就上去了，此處是學(xué)生能力差異性較為明顯的一個問題，究其原因其實是解含參的一元二次不等式不過關(guān).找到是程序性知識缺失引起的差異，那消除差異的手段只能是回歸復(fù)習(xí)相應(yīng)的程序性知識.因此，要引導(dǎo)學(xué)生理解影響一個一元二次不等式解集的三大因素：一是二次函數(shù)開口方向；二是為二次函數(shù)是否有根；三是根的大小，再結(jié)合函數(shù)的定義域，增加第四個討論標準：有幾個根在定義域內(nèi)，數(shù)學(xué)結(jié)合可得如下討論分級圖：

開口a<0a=0a>0，兩根大小a= a> a<

例題3.設(shè)函數(shù)f（x）=x2-1+aln（x+1）（a≠0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

【設(shè)計意圖】例題3屬于第三梯度題目，也是例題2的延續(xù)與強化，通過兩道同型題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生自主加工提煉成典型的數(shù)學(xué)模型，同時也讓中等生有機會對程序性知識再實踐應(yīng)用，也是減少差異的有效手段。

3.課題實踐，強化訓(xùn)練

例題4.討論f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a∈R）的單調(diào)性.

【設(shè)計意圖】變式訓(xùn)練屬于第四梯度題目，通過前面問題的鋪墊，學(xué)生整合了思想與方法，學(xué)以致用，借助信息手段在授課過程中錄制微課，讓學(xué)生有機會反復(fù)理解消化，縮小差異.

解：f（x）的定義域為（-∞，+∞），f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a），經(jīng)過探究，學(xué)生產(chǎn)生如下討論分級圖：

f ′（x）=0的根的個數(shù)a≥0a<0，兩根大小a=- a>- a<-

4.課后反饋，及時評價

練習(xí)1：求函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x（a∈R）的單調(diào)區(qū)間.

練習(xí)2：求f（x）= x2+alnx-（a+1）x（a∈R）的單調(diào)區(qū)間.

四、提煉解題本質(zhì)，點燃學(xué)生思想火花

求含參函數(shù)的單調(diào)性，核心是四個步驟，以問題為驅(qū)動引導(dǎo)我們產(chǎn)生分類討論：

f ′（x）是什么類型的函數(shù)？？圯f ′（x）=0是否有根？？圯f ′（x）=0的根是否在定義域內(nèi)？？圯定義域內(nèi)的根大小關(guān)系如何？

本微專題的核心在于：（1）理解“利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”的本質(zhì)就是解含參不等式，而解不等式通常是先研究對應(yīng)的方程的根，因此圍繞f ′（x）=0根的分布，結(jié)合函數(shù)圖象自然就產(chǎn)生了分類討論的標準，討論時要注意分類須不重不漏，對參數(shù)的所有可能取值都要討論到，對應(yīng)結(jié)論相同時參數(shù)范圍要合并，整個解題過程充分體現(xiàn)了分類與整合數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用；（2）整個解題過程把求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題轉(zhuǎn)化為解含參不等式問題，不斷借助函數(shù)圖象來研究方程的根、不等式的解集，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用.

新課程改革提出，課程滿足學(xué)生個性發(fā)展的需要，要能夠促進每個學(xué)生的最大限度發(fā)展.雖然我們無法完全消除差異，但是結(jié)合每個學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、年齡特征等挖掘教材、教法、教學(xué)環(huán)節(jié)中的教育因素，并加以細化、篩選、甄別，制訂出分類、分層、有序的教學(xué)目標并進行差異化、針對性的教學(xué)是每個老師必須努力做到的.在高三這樣追求復(fù)習(xí)效率的時間段，借力微專題形式打造差異教學(xué)的復(fù)習(xí)課模式，通過數(shù)學(xué)知識之間的有效整合，為學(xué)生認知發(fā)展設(shè)計合適的路徑，讓不同層次的學(xué)生實現(xiàn)不同思維層級的提升，讓“差異”成為高三高效復(fù)習(xí)的助推手.

參考文獻：

[1]孫楓.基于函數(shù)觀點的數(shù)列概念教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2018（4）.

[2]程元元.借力函數(shù)思想深入理解數(shù)列不等式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（21）.

[3]陳岳鵬.透過函數(shù)圖象看清數(shù)列背景：對一類數(shù)列問的解法探究[J].新課程，2018（1）.

注：本文系福建省教育科學(xué)規(guī)劃教育教學(xué)改革專項課題“高中數(shù)學(xué)差異化教學(xué)行動研究”（課題立項編號：Fjjgzx17-06）的研究成果之一。

編輯 高 瓊