季茜

摘 ?要：“數(shù)的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)中值得持續(xù)研究的主題，其中有一些可以遵循的規(guī)律。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)概念”的抽象過程、充分發(fā)揮“數(shù)表象”的過渡作用、充分辨析“數(shù)本質(zhì)”的屬性思想。建立“數(shù)概念”，不僅要理解“數(shù)概念”的內(nèi)涵與外延，還要引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”進(jìn)行表達(dá)、交流。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)的認(rèn)識;知識解讀;操作要義

小學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容有四大板塊：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“綜合與實(shí)踐”。雖然每一板塊的內(nèi)容在不同版本的教材中有著不同的結(jié)構(gòu)安排，但卻有著共通的知識結(jié)構(gòu)及其操作要義。解讀相關(guān)模塊知識結(jié)構(gòu)，明晰相關(guān)知識模塊的操作要義，能夠提升教師的教學(xué)效能。本文以“數(shù)與代數(shù)”板塊中的“數(shù)的認(rèn)識”模塊教學(xué)為例，試探其知識結(jié)構(gòu)及其操作要義。

■一、充分經(jīng)歷“數(shù)概念”的抽象過程

從“數(shù)”的產(chǎn)生的本源看，“數(shù)概念”是人類在長期生活中對自身實(shí)踐進(jìn)行的抽象總結(jié)。最為基本的“自然數(shù)”源于“數(shù)”。有學(xué)者深刻地指出，“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法乃是源于人類生理上的一種湊巧”。明晰了這一點(diǎn)，在“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，教師就要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“數(shù)概念”的形成過程。

首先是整數(shù)概念的形成過程。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生像古人一樣，用石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)，滲透“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生經(jīng)歷了從“具體直觀”到“半抽象半直觀”再到“抽象”的過程，自然就能對“數(shù)”的抽象性質(zhì)有所感悟。當(dāng)一位學(xué)生在學(xué)習(xí)中認(rèn)識到“1”既可以表示一只羊、一個(gè)書包、一本本子的時(shí)候，就會(huì)發(fā)出“數(shù)的本領(lǐng)可真大啊”的感嘆。這種感嘆正是凝聚著學(xué)生對“數(shù)”的具體事物表征與“數(shù)”自身的抽象映射的感悟。當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生需要表示更大的數(shù)的心理需求時(shí)，教師可以充分發(fā)揮學(xué)生建構(gòu)的主動(dòng)性。如此，學(xué)生就會(huì)將10個(gè)物體作為一組，或者用線捆起來、扎起來，這就是“滿十進(jìn)一”。

其次是小數(shù)概念的建構(gòu)過程。教學(xué)中，將小數(shù)概念嵌入情境，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)背景入手，然后通過“去情境化”，形成抽象化概念?！傲吭从诹俊?，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“一位小數(shù)”“兩位小數(shù)”“三位小數(shù)”概念時(shí)，可充分展開學(xué)生思維過程，在學(xué)生獲得豐富認(rèn)知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生壓縮推理過程，形成“一位小數(shù)表示十分之幾”“兩位小數(shù)表示百分之幾”“三位小數(shù)表示千分之幾”的抽象認(rèn)知，從而最終抽象概括出小數(shù)的意義，即“將整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……表示這樣的十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數(shù)”。

再次是分?jǐn)?shù)意義的感悟過程。在不同版本的教材中，盡管“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”內(nèi)容的具體安排不同，但卻都遵循著“循序漸進(jìn)”的原則，從將“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)圖形”平均分，建構(gòu)“幾分之一”的分?jǐn)?shù)概念，到將“許多物體組成的整體”平均分，建構(gòu)“幾分之幾”的分?jǐn)?shù)概念，再到最后概括、抽象成“將單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”的分?jǐn)?shù)意義的揭示，這一整個(gè)過程都要始終引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“平均分”。分?jǐn)?shù)就是“幾份之幾”（華應(yīng)龍語）。通過這樣的一個(gè)過程建構(gòu)，學(xué)生就能感悟到分?jǐn)?shù)概念的關(guān)鍵是“平均分”“平均分的份數(shù)”以及“表示的份數(shù)”。

■二、充分發(fā)揮“數(shù)表象”的過渡作用

如上所述，“數(shù)概念”是抽象的，而小學(xué)生的思維以具體形象為主。在學(xué)生抽象、概括建立“數(shù)概念”的過程中，教師要充分發(fā)揮“數(shù)表象”的過渡作用。所謂“表象”，是指“客觀對象不在主體面前呈現(xiàn)時(shí)，主體在觀念中所保持的形象”。相比較于觀念，表象更為生動(dòng)、形象、實(shí)在、強(qiáng)烈，它是架設(shè)學(xué)生主觀認(rèn)知、思維與客觀的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的橋梁。作為教師，要善于對學(xué)習(xí)素材進(jìn)行加工，使之更“結(jié)構(gòu)化”“意義化”。

在認(rèn)識“自然數(shù)”時(shí)，可選用“小棒”“方塊”“算珠”等具有“齊性”特質(zhì)的學(xué)具，因?yàn)檫@些學(xué)具沒有過多的附加屬性，從而能讓學(xué)生建立“數(shù)概念”表象，將學(xué)習(xí)目光聚焦到“齊性”素材的數(shù)學(xué)化特質(zhì)上來。不僅在“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中如此，在“數(shù)的運(yùn)算”中更是如此。再比如，從“一位數(shù)的認(rèn)識”到“兩位數(shù)的認(rèn)識”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，作為教師，引導(dǎo)學(xué)生將10根小棒“捆”起來的過程，也能幫助學(xué)生建立“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)原則。換言之，“數(shù)的認(rèn)識”的表象不僅可以是靜態(tài)、直觀表象，而且可以是動(dòng)態(tài)、動(dòng)作表象。那么，從“整十?dāng)?shù)”如何過渡到“整百數(shù)”呢？教學(xué)中，教師可以借助小方塊來幫助學(xué)生建立表象，逐步讓學(xué)生建立“位值”思想。

在學(xué)習(xí)《認(rèn)識小數(shù)》時(shí)，可借助正方形、正方體，將之平均分成10份、100份、1000份，從而幫助學(xué)生建立“一位小數(shù)”“兩位小數(shù)”“三位小數(shù)”的概念。在這里，學(xué)生對于正方形、正方體表象印象深刻的是：“一位小數(shù)就是平均分成10份，表示十分之幾”“兩位小數(shù)就是平均分成100份，表示百分之幾”等。在教學(xué)中，教師可以運(yùn)用多種模型，在抽象的數(shù)與現(xiàn)實(shí)的量之間建立關(guān)系，助推學(xué)生理解“數(shù)的意義”，建立“數(shù)的概念”，如“數(shù)位桶”“方格圖”“計(jì)數(shù)器”“數(shù)軸”“數(shù)位順序表”等。

在《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》過程中，教師可借助紙，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀操作，借助操作性表象，深化學(xué)生對分?jǐn)?shù)的本質(zhì)認(rèn)知。此外，從“自然數(shù)”到“小數(shù)”，從“小數(shù)”到“分?jǐn)?shù)”，在數(shù)的發(fā)展過程（數(shù)系擴(kuò)充）中，要突出數(shù)不能表達(dá)實(shí)際生活、實(shí)際運(yùn)用的數(shù)的產(chǎn)生思想。再比如，“負(fù)數(shù)的誕生”，就是因?yàn)樵趯?shí)際的生產(chǎn)生活中，“正數(shù)”已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)，因而“負(fù)數(shù)”才應(yīng)需而生。不僅如此，教師還要有意識地溝通“數(shù)”“數(shù)”關(guān)聯(lián)，如“小數(shù)是一種不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù)”“正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量”等。

■三、充分辨析“數(shù)本質(zhì)”的屬性思想

“數(shù)與代數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)的主體部分，而其中“數(shù)的認(rèn)識”板塊又是“數(shù)與代數(shù)”知識的基礎(chǔ)。在“數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨析“數(shù)本質(zhì)”，也就是數(shù)的相關(guān)的屬性，尤其是本質(zhì)屬性。學(xué)生掌握數(shù)概念，不應(yīng)死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)。為此，教師可以運(yùn)用“變式”的方法，變換“數(shù)”的非本質(zhì)屬性，從而凸顯“數(shù)”的本質(zhì)屬性，如引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)”的比較，將“數(shù)”納入“數(shù)的認(rèn)識”的整體知識結(jié)構(gòu)之中等。

一是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)概念”比較。比如“整數(shù)”與“自然數(shù)”、“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”、“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”、“奇數(shù)”與“偶數(shù)”、“質(zhì)數(shù)”與“合數(shù)”、“公因數(shù)”與“公倍數(shù)”，等。在比較中，學(xué)生不僅能認(rèn)識數(shù)的本質(zhì)，而且能明晰數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，是反對關(guān)系、交叉關(guān)系還是從屬關(guān)系等。

二是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“數(shù)概念”辨析。對于“數(shù)概念”，教師要引導(dǎo)學(xué)生品味、咀嚼，比如“倒數(shù)”的概念，其中“乘積”是“1”的“兩個(gè)數(shù)”叫作“互為倒數(shù)”，就值得揣摩、品味。尤其是“兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”揭示了“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)之間的相輔相成、相互依存的辯證統(tǒng)一關(guān)系?！耙驍?shù)與倍數(shù)”的概念同樣如此。

三是運(yùn)用“變式”策略。通過展示“變與不變”，在“變化”的非本質(zhì)屬性中揭示“不變”的本質(zhì)屬性。比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》，教師就可以提供形狀、大小、顏色等都不同的紙張，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作?！盀槭裁疵糠莸男螤?、大小不同，但卻能表示同一個(gè)分?jǐn)?shù)呢？”“因?yàn)樗鼈兤骄值姆輸?shù)相同，表示的份數(shù)也相同。”

四是運(yùn)用“結(jié)構(gòu)化”策略。一個(gè)“數(shù)概念”只有在“數(shù)結(jié)構(gòu)”之中才能獲得完全的理解。比如從“因數(shù)與倍數(shù)”出發(fā)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“是否是2的倍數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“奇數(shù)與偶數(shù)”，根據(jù)“因數(shù)的個(gè)數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”，根據(jù)“因數(shù)與倍數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“公因數(shù)與公倍數(shù)”“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”等。這里，諸多“數(shù)概念”被集結(jié)成一個(gè)“知識結(jié)構(gòu)”，每一個(gè)“數(shù)概念”在這個(gè)結(jié)構(gòu)中都能獲得深刻理解。

“數(shù)的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)中值得持續(xù)研究的主題，其中有一些可以遵循的規(guī)律，但許多問題還需要持續(xù)探索。認(rèn)識“數(shù)”的概念本質(zhì)的過程，也是學(xué)生逐步建立“數(shù)感”的過程。建立“數(shù)概念”，不僅要理解“數(shù)概念”的內(nèi)涵與外延，還要引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”進(jìn)行表達(dá)、交流。筆者希望更多的有識之士能投入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域的操作要義研究中，以期提升數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的品位。