魏光明

摘 ?要：處于某個(gè)知識(shí)領(lǐng)域、知識(shí)板塊、知識(shí)序列起始位置的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果在知識(shí)邏輯上具有基礎(chǔ)性、生長(zhǎng)性和不可替代性，在思想方法上具有啟示性、拓展性和可設(shè)計(jì)性，在學(xué)習(xí)心理上具有趣味性、應(yīng)用性和可遷移性，就屬于起點(diǎn)型核心知識(shí)。我們應(yīng)該從意義與價(jià)值、背景與關(guān)聯(lián)、疑問(wèn)與困難、策略與案例等視角，對(duì)起點(diǎn)型核心知識(shí)展開分析和研究，打通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的建構(gòu)與完善、遷移與生長(zhǎng)、理解與應(yīng)用，提升以思考力為核心的學(xué)習(xí)力。

關(guān)鍵詞：核心知識(shí);起點(diǎn)位置;小學(xué)數(shù)學(xué)

從知識(shí)生長(zhǎng)的線索看，處于某個(gè)知識(shí)領(lǐng)域、知識(shí)板塊、知識(shí)序列起始位置的核心知識(shí)，可以稱之為起點(diǎn)型核心知識(shí)。它們是具有相對(duì)意義的原點(diǎn)性知識(shí)，是一些重要的“先行組織者”，一般指向數(shù)學(xué)基本思想、基本方法、基本原理、基本關(guān)系、基本概念、基本問(wèn)題的初次集中教學(xué) [1]。準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)、判斷、分析和研究起點(diǎn)型核心知識(shí)，有利于挖掘其獨(dú)特價(jià)值，發(fā)揮其在長(zhǎng)線教學(xué)中的重要作用，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效、積淀素養(yǎng)的目標(biāo)。

■一、怎樣理解起始位置的知識(shí)？

本文所說(shuō)的起始位置，是指數(shù)學(xué)知識(shí)開始發(fā)生的地方，一般處于某個(gè)知識(shí)領(lǐng)域、知識(shí)板塊、知識(shí)序列的起點(diǎn)?；谶@樣的理解，我們可以依據(jù)以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)是否處于起始位置。

1. 在某個(gè)知識(shí)板塊中處于起點(diǎn)位置

一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)如果處于某個(gè)知識(shí)板塊的起點(diǎn)位置，這個(gè)知識(shí)屬于起始位置的知識(shí)。比如，在“10以內(nèi)數(shù)的分與合”板塊，“5以內(nèi)數(shù)的分與合”就處于起點(diǎn)位置，這一知識(shí)首次引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、掌握自然數(shù)的分與合，感悟加法和減法的含義;在“表內(nèi)除法”板塊，“除法的含義”“口訣求商”的起始課就處于起點(diǎn)位置，這些內(nèi)容首次引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)除法，在除法和平均分之間建立起聯(lián)系，初步掌握根據(jù)乘法口訣求商的方法;在“簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)整理”板塊，二年級(jí)下學(xué)期“數(shù)據(jù)的收集和分類整理”就處于起點(diǎn)位置，這一知識(shí)首次引導(dǎo)學(xué)生從逐個(gè)記錄的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，感悟、體驗(yàn)初步學(xué)習(xí)分類記錄和分類整理的方法。

2. 在某個(gè)知識(shí)鏈條中處于起點(diǎn)位置

一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)如果處于某個(gè)知識(shí)序列、知識(shí)鏈條的起點(diǎn)位置，這個(gè)知識(shí)屬于起始位置的知識(shí)。比如，在“10以內(nèi)數(shù)的加減法”中，“帶括線的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”就處于起點(diǎn)位置，該知識(shí)讓學(xué)生感知、了解第一次提出問(wèn)題，第一次依據(jù)問(wèn)題選擇信息和方法;在“估算”中，“兩三位數(shù)乘一位數(shù)的估算”可以理解為起點(diǎn)位置，它第一次讓學(xué)生接觸、感悟估算的基本要素和方法，包括估算的單位、方法、上界和下界;在“平面圖形的面積”中，“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式”可以理解為起點(diǎn)位置，該知識(shí)第一次讓學(xué)生接觸、感悟從直接計(jì)量過(guò)渡到間接計(jì)量，同時(shí)，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算是其他平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)和前提（在我國(guó)古代文獻(xiàn)中，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是作為不需要證明的公理呈現(xiàn)的）;在“解決與分?jǐn)?shù)乘法、除法有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”中，“一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義”即“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”就處于起點(diǎn)位置，它是正確列式解決相關(guān)問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)模型。

3. 在知識(shí)板塊和知識(shí)鏈條中都處于起點(diǎn)位置

一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)如果既處于某個(gè)知識(shí)板塊的起點(diǎn)位置，又處于某個(gè)知識(shí)序列、知識(shí)鏈條的起點(diǎn)位置，這個(gè)知識(shí)屬于起始位置的知識(shí)。比如，“5以內(nèi)的加法和減法”在“10以內(nèi)的加法和減法”這一知識(shí)板塊中處于起點(diǎn)位置，在“整數(shù)加法和減法”這一知識(shí)序列中也處于起點(diǎn)位置;“從條件想起”起始課在“從條件想起”這一具體的解決問(wèn)題策略的知識(shí)板塊中處于起點(diǎn)位置，它讓學(xué)生初步感悟、初次了解從條件想起的基本要素，像為什么要從條件想起、怎樣從條件想起等，在“解決問(wèn)題的策略”這一知識(shí)序列中也處于起點(diǎn)位置，無(wú)論是從條件想起、從問(wèn)題想起、從兩頭想起，還是畫圖、列舉、轉(zhuǎn)化、假設(shè)，都是在已知條件和所求問(wèn)題之間尋求一種聯(lián)系。

■二、怎樣判斷處于起始位置的知識(shí)是不是核心知識(shí)？

本文所說(shuō)的核心知識(shí)，是指那些適用范圍廣，自我生長(zhǎng)和遷移能力強(qiáng)，明確的、結(jié)構(gòu)性的、不可或缺的、處于基礎(chǔ)和中心地位的知識(shí) [2];是最關(guān)鍵的，具有統(tǒng)率性和生發(fā)性的，包含符號(hào)概念、思維邏輯、情感態(tài)度、價(jià)值信念的完整性知識(shí)。從這個(gè)意義上說(shuō)，處于起點(diǎn)位置的知識(shí)不一定都是核心知識(shí)，核心知識(shí)也不一定都處于起點(diǎn)位置（后續(xù)會(huì)專門討論處于節(jié)點(diǎn)位置、拐點(diǎn)位置的核心知識(shí)）。我們可以依據(jù)以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)討論和判斷一個(gè)處于起始位置的數(shù)學(xué)知識(shí)是不是核心知識(shí)。

1. 從知識(shí)邏輯看，是否具有基礎(chǔ)性、生長(zhǎng)性和不可替代性

一個(gè)處于起始位置的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果具有基礎(chǔ)性、生長(zhǎng)性和不可替代性，它是核心知識(shí)。比如，“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”也是處于起點(diǎn)位置的核心知識(shí)。我們知道，分?jǐn)?shù)的含義具有多重背景，它可以表示部分和總體的關(guān)系，可以表示除法運(yùn)算的結(jié)果，可以表示兩個(gè)整數(shù)量的比。這其中，表示部分和總體關(guān)系的意義是分?jǐn)?shù)意義的核心和基礎(chǔ)，這種關(guān)系具有無(wú)量綱性，只表示關(guān)系，不表示結(jié)果。而事實(shí)上，學(xué)生在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)甚至是在五年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，常?；煜?jǐn)?shù)是作為一個(gè)“量”還是作為一個(gè)“關(guān)系”。在通常情況下，學(xué)生更多的是將分?jǐn)?shù)理解成一個(gè)量而不是關(guān)系，明顯的標(biāo)志就是或隱或顯地在分?jǐn)?shù)的后面帶上一個(gè)單位。在三年級(jí)上學(xué)期第一次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)幾分之一，也就是初步認(rèn)識(shí)將一個(gè)物體平均分成若干份，表示這樣的一份就是這個(gè)物體的幾分之一，但是實(shí)際上學(xué)生通常理解為幾分之一“個(gè)”。造成這個(gè)問(wèn)題的原因比較復(fù)雜，其中主要原因有兩點(diǎn)：第一，是學(xué)生第一次接觸用一個(gè)（小于1的）無(wú)量綱性的數(shù)來(lái)表示部分和總體之間的倍比關(guān)系，而以前學(xué)生接觸到的自然數(shù)通常都是帶有量綱的，經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移在所難免;第二，學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)幾分之一時(shí)，無(wú)論是作為計(jì)算結(jié)果的量，還是表示部分和整體的關(guān)系，這兩個(gè)數(shù)（這里都是分?jǐn)?shù)）的大小是一樣的，產(chǎn)生混淆就顯得正常不過(guò)。等到教學(xué)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)作為平均分計(jì)算結(jié)果的量的數(shù)與表示部分和整體的關(guān)系的數(shù)（后一個(gè)是分?jǐn)?shù)）的大小不一樣時(shí)，才能初步將分?jǐn)?shù)表示部分和總體之間的關(guān)系與表示計(jì)算結(jié)果的量分化開來(lái)，進(jìn)而加深對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和理解。

2. 從思想方法看，是否具有啟示性、拓展性和可設(shè)計(jì)性

一個(gè)處于起始位置的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果具有啟示性、拓展性和可設(shè)計(jì)性（所謂可設(shè)計(jì)性，是指可以通過(guò)設(shè)計(jì)，將核心知識(shí)的形成過(guò)程展示出來(lái)），它是核心知識(shí)。這里以“數(shù)據(jù)的收集與整理（二）”為例，談?wù)勅绾闻袛嘁粋€(gè)知識(shí)是否具有啟示性。教學(xué)中，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集過(guò)程，感受到收集對(duì)象、方法、過(guò)程不一樣，信息就可能不一樣，初步體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性：一是對(duì)象不同，收集的數(shù)據(jù)會(huì)存在差異;二是方法與過(guò)程不同，比如選擇抽樣（整體隨機(jī)抽樣、分類隨機(jī)抽樣）還是逐一收集的方法，收集數(shù)據(jù)時(shí)的心態(tài)不同，收集的數(shù)據(jù)會(huì)存在差異;三是基于上述收集到的數(shù)據(jù)做出推斷，會(huì)具有不確定性。其中，對(duì)于上述第三點(diǎn)再作一些說(shuō)明：先前，學(xué)生一般習(xí)慣于根據(jù)收集到的全部數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性分析，而數(shù)據(jù)隨機(jī)性決定了描述性分析的局限性，因而這里所采用的數(shù)據(jù)分析方法實(shí)質(zhì)上屬于推斷性分析，即從樣本數(shù)據(jù)推斷整體數(shù)據(jù)。教學(xué)時(shí)，教者可以引導(dǎo)學(xué)生由小組數(shù)據(jù)推斷全班數(shù)據(jù)，由班級(jí)數(shù)據(jù)推斷年級(jí)數(shù)據(jù)。與之相對(duì)應(yīng)的，在學(xué)生收集數(shù)據(jù)時(shí)，可以由小組向班級(jí)匯總，由班級(jí)向年級(jí)匯總，進(jìn)而讓學(xué)生獲得新的啟示，體會(huì)到描述性分析與推斷性分析既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

3. 從學(xué)習(xí)心理看，是否具有必要性、應(yīng)用性和可遷移性

一個(gè)處于起始位置的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果具有必要性、應(yīng)用性和可遷移性，它是核心知識(shí)。比如，在“平移和旋轉(zhuǎn)”單元學(xué)習(xí)“方格紙上的平移”一課時(shí)，學(xué)生根據(jù)指定要求（即平移方向和距離），首先描出平移前圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，接著對(duì)照平移前的圖形，用線段順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形。這樣的操作具有一定的趣味性，學(xué)生大多覺(jué)得比較好玩，也能體會(huì)到學(xué)習(xí)這種平移方法的必要性。再比如，在首次學(xué)習(xí)“一個(gè)數(shù)乘10、100、1000、10000……”時(shí)，應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算和比較，發(fā)現(xiàn)一個(gè)乘數(shù)是10、100、1000、10000……時(shí)，乘法運(yùn)算有規(guī)律，即積的變化規(guī)律，感受這個(gè)乘數(shù)變化引起乘積變化的因果關(guān)系。等到后續(xù)學(xué)習(xí)“小數(shù)乘10、100、1000、10000……”，在感受積的變化規(guī)律時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生尋找兩者之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的順向遷移，形成更高層次的抽象。

為了表述方便和統(tǒng)一，我們將處于起始位置的核心知識(shí)稱為起點(diǎn)型核心知識(shí)。作為知識(shí)框架的承重點(diǎn)，起點(diǎn)型核心知識(shí)在學(xué)生知識(shí)體系建構(gòu)中具有原點(diǎn)生發(fā)、立體樞紐和多元引領(lǐng)等價(jià)值。限于篇幅，不再贅述。

■三、怎樣開展相關(guān)研究？

在知識(shí)體系建構(gòu)的過(guò)程中，起點(diǎn)型核心知識(shí)通常發(fā)揮著重要的甚至是不可替代的作用。注重起點(diǎn)型核心知識(shí)的分析，著眼打通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的遷移與生長(zhǎng)、理解與應(yīng)用，具有重要的實(shí)踐意義。我們可以從以下四個(gè)視角對(duì)起點(diǎn)型核心知識(shí)展開研究。

1. 意義與價(jià)值分析

這里主要是對(duì)某一知識(shí)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)、對(duì)全方位學(xué)習(xí)的意義與價(jià)值進(jìn)行分析。比如，“觀察物體”可以從三個(gè)視角進(jìn)行分析：它是認(rèn)識(shí)圖形的全新視角;它是培養(yǎng)空間觀念的重要一環(huán)，即實(shí)現(xiàn)二維空間與三維空間的轉(zhuǎn)換;它是積累學(xué)習(xí)圖形與幾何內(nèi)容的有效方法。比如，“轉(zhuǎn)化的策略”中關(guān)于“分?jǐn)?shù)連加”，也可以從三個(gè)視角進(jìn)行分析：它讓學(xué)生初步感受等值轉(zhuǎn)化（算式的等值轉(zhuǎn)化）——就圖形轉(zhuǎn)化而言，一般包括等積轉(zhuǎn)化和等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化;它溝通了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化（數(shù)與形的轉(zhuǎn)化是轉(zhuǎn)化思想的核心;笛卡爾發(fā)明平面直角坐標(biāo)系，建立了代數(shù)與幾何之間的雙向轉(zhuǎn)化）;它是幾何直觀的生動(dòng)體現(xiàn)，表現(xiàn)為構(gòu)造圖形描述、表示數(shù)學(xué)問(wèn)題，依據(jù)圖形分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2. 背景與關(guān)聯(lián)分析

這里主要是對(duì)某一知識(shí)的形成背景、與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行分析。比如，“多邊形的認(rèn)識(shí)”，就分類標(biāo)準(zhǔn)而言，可以按邊的多少分成三邊形、四邊形、五邊形……也可以分成凸多邊形、凹多邊形;就概念形成的方法而言，可以用描述的方法，比如“三角形”的概念可以這樣描述：像這樣的圖形（相機(jī)呈現(xiàn)各種三角形）就是三角形，也可以用下定義的方法（包括發(fā)生式定義和屬加種差的性質(zhì)定義）。如果用發(fā)生式定義，“三角形”的概念就可以表述為“三條線段首尾相連形成的封閉圖形”。再比如“質(zhì)量單位的認(rèn)識(shí)”，我們可以從四個(gè)方面進(jìn)行分析：量與計(jì)量;離散量與連續(xù)量;質(zhì)量與重量;直接計(jì)量與間接計(jì)量。

3. 疑問(wèn)與困難分析

這里主要是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)可能出現(xiàn)的疑問(wèn)與困難進(jìn)行分析。比如，在“分類統(tǒng)計(jì)”中，可以分析“學(xué)習(xí)了逐個(gè)記錄（數(shù)一數(shù)）的方法，為什么還要學(xué)習(xí)分類記錄的方法？”我們知道，數(shù)一數(shù)是一種最直接的統(tǒng)計(jì)方法，但是容量大、數(shù)據(jù)多、動(dòng)態(tài)化的信息，用數(shù)一數(shù)的方法就難以解決。從這個(gè)意義上說(shuō)，分類記錄是最具生長(zhǎng)性的方法。當(dāng)然，在分類記錄的過(guò)程中，為了保證統(tǒng)計(jì)的信息不重復(fù)也不遺漏，需要采用逐個(gè)記錄的方法。教學(xué)中，既要弄清兩者的區(qū)別，又要溝通兩者的聯(lián)系。再比如，在“統(tǒng)計(jì)班級(jí)同學(xué)的生日月份”時(shí)，學(xué)生一般很容易想到通過(guò)分類數(shù)數(shù)，即讓生日在不同月份的同學(xué)分別站隊(duì)，再分別數(shù)出對(duì)應(yīng)的人數(shù)，而且這樣也很快。但是，在這里需要追問(wèn)一個(gè)問(wèn)題“為什么需要分組調(diào)查呢？”從這個(gè)角度看，我們可以將這個(gè)問(wèn)題放置于更大的背景中：“如果要統(tǒng)計(jì)全校同學(xué)生日在不同月份的人數(shù)，站隊(duì)數(shù)數(shù)還合適嗎？我們應(yīng)該怎么辦？”引導(dǎo)學(xué)生想到可以先分組、再匯總的方法，然后回到前面提出的問(wèn)題中，體驗(yàn)調(diào)查的必要性。

綜上所述，我們有必要科學(xué)界定起點(diǎn)型核心知識(shí)的概念，準(zhǔn)確把握起點(diǎn)型核心知識(shí)的遴選與判斷標(biāo)準(zhǔn)，深入分析其內(nèi)涵、外延與價(jià)值，優(yōu)化其探究、建構(gòu)、完善和應(yīng)用，從而讓學(xué)生深度卷入學(xué)習(xí)過(guò)程，在獲得核心知識(shí)的同時(shí)發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，完善學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備品格。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?魏光明，王俊亮. 小學(xué)數(shù)學(xué)“起點(diǎn)型核心知識(shí)”教學(xué)初探[J]. 江蘇教育研究，2018（4A）

[2] ?魏光明. 走近數(shù)學(xué)“核心知識(shí)”教學(xué)[J]. 江蘇教育，2011（01）.