李連倉(cāng)

摘 ?要：表征可以分為外在表征和內(nèi)在表征。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，表征在學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、理解知識(shí)中發(fā)揮著重要的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多元表征。通過多元表征，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展操作技能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能真正發(fā)生。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);多元表征;自然生長(zhǎng)

“表征”就是“代表”“表示”和“象征”等意思，就是用某種形式將實(shí)物的特征表達(dá)出來。一般來說，表征可以分為外在表征（如文字、圖形、具體物、情境等）和內(nèi)在心理表征。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，表征在學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、理解知識(shí)中發(fā)揮著重要的作用。南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)地看待世界、解決問題”可被看成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的顯性表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表征，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)想得全面、清晰、深刻、合理等，能賦予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然生長(zhǎng)的力量。

■一、多元表征，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，首先就是知識(shí)的建構(gòu)。“多元表征”無疑會(huì)成為學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的腳手架，成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要路徑。常見的數(shù)學(xué)知識(shí)表征，一般可分為動(dòng)作表征、表象表征與符號(hào)表征等。借助于外在的實(shí)物、模型、圖像、符號(hào)等，促進(jìn)學(xué)生的內(nèi)在心理編碼。比如語言表達(dá)可以催生學(xué)生的言語碼，圖形、圖像等的數(shù)形結(jié)合教學(xué)可以生成學(xué)生的心像碼，而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性教學(xué)，可以生成學(xué)生的心理整合碼等。

教學(xué)《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種不同的表征來建構(gòu)知識(shí)。比如對(duì)于理解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)比較困難的學(xué)生，教師可以提供具有齊性特質(zhì)的小棒，引導(dǎo)學(xué)生擺出一個(gè)長(zhǎng)方形。在擺的過程中，學(xué)生自然能形成長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的表象，認(rèn)識(shí)到周長(zhǎng)的本質(zhì)。比如教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫長(zhǎng)方形，讓學(xué)生能直觀感知、直觀感受、體驗(yàn)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的過程中，教師也要循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象，從“長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬”再到“兩個(gè)長(zhǎng)+兩個(gè)寬”，再到“長(zhǎng)與寬的和的2倍”。在動(dòng)作表征、圖像表征、文字表征的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，從而發(fā)展學(xué)生的符號(hào)表征思維。不僅如此，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在不同的表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。如此，學(xué)生就能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)符號(hào)表征的簡(jiǎn)潔性、優(yōu)越性。

知識(shí)建構(gòu)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根基，多元表征，能優(yōu)化知識(shí)建構(gòu)的學(xué)習(xí)樣態(tài)，讓學(xué)生從多個(gè)視角、運(yùn)用多種方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。多元表征，一方面能彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，賦予數(shù)學(xué)知識(shí)意義;另一方面能調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同活動(dòng)，從而增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的感受、體驗(yàn)，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

■二、多元表征，促進(jìn)學(xué)生的技能完善

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅僅是“知識(shí)學(xué)習(xí)”，更是“技能學(xué)習(xí)”。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的技能是多樣的，既包括畫圖、操作等外顯的操作技能，也包括方法、策略等內(nèi)隱的思考技能等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要放手讓學(xué)生探究，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。

比如教學(xué)《因數(shù)和倍數(shù)》這部分內(nèi)容，過去，許多教師往往從乘法算式以及除法算式開始，引導(dǎo)學(xué)生建立“因數(shù)”“倍數(shù)”的概念。這樣的教學(xué)，學(xué)生感受、體驗(yàn)不充分、不到位。為了深化學(xué)生的認(rèn)知，筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象、提煉、概括因數(shù)、倍數(shù)的全過程。通過引導(dǎo)學(xué)生用小正方形搭建長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“因數(shù)和倍數(shù)是相輔相成的”“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，那另一個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)”。在擺的過程中學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，用同樣的12個(gè)小正方形還可以擺成不同形狀的長(zhǎng)方形。那么，12個(gè)小正方形一共可以擺成多少個(gè)不同規(guī)格的長(zhǎng)方形呢？學(xué)生一邊操作、一邊思考，從而不僅能找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)，而且能逐步有序地找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)。如此，在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)技能的完善。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不僅僅成為一種認(rèn)知的過程，更是一種生命實(shí)踐的活動(dòng)過程。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有學(xué)生擅長(zhǎng)畫圖，有學(xué)生擅長(zhǎng)操作，還有學(xué)生擅長(zhǎng)直觀想象。不同的學(xué)生，其認(rèn)知風(fēng)格是不同的，其所表現(xiàn)出的技能水平、技能操作傾向等也會(huì)有所不同。作為教師，應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的操作，引領(lǐng)學(xué)生的操作，讓學(xué)生的操作技能在探索數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中獲得多元生長(zhǎng)。

■三、多元表征：促進(jìn)學(xué)生的思維提升

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，歸根結(jié)底是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生的思維力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。有學(xué)者認(rèn)為，任何表征都能表達(dá)部分但不是全部信息，都能凸顯其中一部分信息而隱藏另一部分信息。因而單一的表征是不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解的，而多元表征則能反映事物的整體性面貌。多元表征，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升。一方面，多元表征能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向豐富，另一方面，多元表征能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深刻。

比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）》，有教師認(rèn)為，學(xué)生是第一次接觸分?jǐn)?shù)，因而對(duì)分?jǐn)?shù)的概念學(xué)習(xí)是零起點(diǎn)，其實(shí)不然。盡管分?jǐn)?shù)是一個(gè)抽象的、復(fù)雜的概念，但學(xué)生還是有著豐富的前概念背景的。有學(xué)生是聽到爸爸媽媽說的，如“半個(gè)”“一半”;有學(xué)生是閱讀的數(shù)學(xué)課外書上的……盡管學(xué)生只是模模糊糊地有一些認(rèn)知，但這些認(rèn)知卻是學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。值得注意的是，學(xué)生在日常生活、經(jīng)驗(yàn)中所生成的分?jǐn)?shù)概念不太科學(xué)，有的甚至存在著錯(cuò)誤。作為教師，要充分運(yùn)用學(xué)生前概念中有意義的部分，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知。筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行表征，用自己喜歡的方式表示“二分之一”，結(jié)果學(xué)生的表征多種多樣，如有學(xué)生將長(zhǎng)方形、圓形、平行四邊形、等腰三角形等平均分成2份，表示其中的一份。在學(xué)生表征的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概括。學(xué)生在消除形狀、位置、大小等非本質(zhì)屬性后，抽象出了“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”等關(guān)于分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，無論是什么樣的圖形、形體等，只要平均分成相同的份數(shù)，所表示的分?jǐn)?shù)就是相同的。在比較、抽象、概括各種表征之后，學(xué)生抓住了分?jǐn)?shù)的意義的本質(zhì)，逐步建構(gòu)起分?jǐn)?shù)的模型。

理性的數(shù)學(xué)化、形式化的思考，是建立在感性操作、觀察等外在表征層面上的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元表征有助于學(xué)生舉一反三、觸類旁通。在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)省、自悟，從而發(fā)展、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力自然生成，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷發(fā)展。通過多元表征，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展操作技能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能真正發(fā)生。