史松平

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部聯(lián)系的基本途徑?！弊鳛閿?shù)學(xué)的基本思想之一，模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的一個(gè)核心概念。數(shù)學(xué)作為一種基本應(yīng)用技能，可以幫助人們?cè)谒阉鳌⒄?、描述和?chuàng)造過程中建立模型，進(jìn)而研究模型，作出判斷，最終解決問題。因此，建立數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上是非常有必要的。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);植樹問題;教學(xué)難點(diǎn)

《植樹問題》這一學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說比較抽象，如果要分類學(xué)習(xí)，就會(huì)呈現(xiàn)3種情況下的9種基本類型，再加上各種變式，會(huì)讓班級(jí)中一半的學(xué)生望而生畏;而部分優(yōu)秀學(xué)生在興趣班等課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中對(duì)“植樹問題”有不同程度的學(xué)習(xí)，從而導(dǎo)致學(xué)生之間的個(gè)體差異進(jìn)一步擴(kuò)大。在教學(xué)中，從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，通過課程的學(xué)習(xí)，讓不同層次的學(xué)生都有豐富的體驗(yàn)，能自主構(gòu)建植樹問題“段數(shù)與棵數(shù)”的基本模型，是筆者教學(xué)所追求的基礎(chǔ)目標(biāo)。在學(xué)習(xí)過程中，筆者力求讓學(xué)生真正體會(huì)植樹問題的思想方法，經(jīng)歷從問題困惑到探究規(guī)律、建立模型、解決問題的全過程，從而實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展目標(biāo)。

數(shù)學(xué)教材共安排了3個(gè)例題——兩端都種、兩端都不種、封閉圖形的植樹問題，用4課時(shí)分散出現(xiàn)，這樣的教學(xué)安排雖然分散了難點(diǎn)，但不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)與體驗(yàn)?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，筆者對(duì)教材進(jìn)行了重新處理，把3種情況安排在一節(jié)課進(jìn)行教學(xué)，意圖就在于讓學(xué)生從整體上加以比較，同時(shí)在比較中理解，獲得比較完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以，筆者嘗試將教材進(jìn)行整合：在這一課時(shí)讓3種簡(jiǎn)單的植樹問題同時(shí)呈現(xiàn)，并圍繞求“棵數(shù)”的3種現(xiàn)象不時(shí)地畫圖、分析、比較，通過分類、概括、抽象、尋找生活原型等各種方式，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)“合三為一”的數(shù)學(xué)模型。

在設(shè)計(jì)第一課時(shí)上，不宜求多、不宜求全，筆者把重點(diǎn)放在學(xué)生的體驗(yàn)過程上，旨在讓學(xué)生領(lǐng)悟植樹問題的本質(zhì)，在這一過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程。具體的教學(xué)流程，筆者設(shè)計(jì)如下。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，初步感知模型

1.出示實(shí)際問題情境

（1）出示問題。

師：在長(zhǎng)24米的小路一邊植樹，大家認(rèn)為要考慮哪些因素？

生：每隔幾米種一棵，兩端要不要種。

師：你考慮得挺周全的，的確需要考慮這些因素。

（2）補(bǔ)充條件。

師：每隔6米種一棵。想一想，要種多少棵樹？你們能解決這個(gè)問題嗎？你們打算怎樣解決這個(gè)問題？

生：列算式、畫線段圖。

師：畫圖這個(gè)方法好不好？

生：好。

師：在數(shù)學(xué)上我們經(jīng)常要用到畫圖來解決問題。

（3）請(qǐng)學(xué)生把想法畫出來。（學(xué)生活動(dòng)，教師巡視，找學(xué)生演示）

（4）展示學(xué)生不同圖示（3種畫法），如圖1所示。

2.在比較與辨析中初步感知模型

（1）你們能看懂這3幅圖嗎？這3幅圖都符合要求嗎？同樣在長(zhǎng)24米的小路一邊植樹，都是每隔6米種一棵，為什么會(huì)出現(xiàn)三種不同的結(jié)果呢？（根據(jù)學(xué)生的回答板書：兩端都種，只種一端，兩端都不種）

（2）在現(xiàn)實(shí)生活中，什么情況下會(huì)出現(xiàn)兩端都不種或只有一端種的情況呢？（有房子、墻、障礙物等）

（3）認(rèn)真觀察思考，通過畫一畫得出：在24米長(zhǎng)的小路上種樹，每隔6米種一棵，有3種方案。

師：那根據(jù)這3種方案分別種了幾棵樹，你們能列算式求出來嗎？（生答師板演）

師：種樹的方法不一樣，種的棵數(shù)也就不一樣。但3種方案又有什么相同的地方？（學(xué)生能比較全面地關(guān)注3個(gè)關(guān)鍵要素——總長(zhǎng)24米，每隔6米種一棵，分成了4段，并歸納出計(jì)算段數(shù)的基本方法。

師：這3種方案的第一步都是求什么？

生：段數(shù)。

師：那段數(shù)怎么求？

生：總長(zhǎng)÷每段的長(zhǎng)度=段數(shù)。

師：這里的段數(shù)用哪個(gè)算式來表示？（板書）

（4）在剛才畫圖解決植樹問題的過程中，你覺得該怎樣做比較有條理？也就是先做什么？再做什么？

生：先求出段數(shù)，再考慮3種植樹方案。

為了充分了解學(xué)生的原有認(rèn)識(shí)，筆者一開始就將一個(gè)開放的、包容性很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)問題拋給了學(xué)生，讓學(xué)生根據(jù)問題情境嘗試畫出植樹方案的直觀圖，在展現(xiàn)學(xué)生的3幅直觀圖示以后，筆者引領(lǐng)學(xué)生去追尋植樹問題3種情形產(chǎn)生的原因與內(nèi)在聯(lián)系，凸顯“總長(zhǎng)÷每段距離=段數(shù)”這一基本數(shù)量關(guān)系，正確處理了操作與思考的關(guān)系，為模型建構(gòu)做好了充分準(zhǔn)備。

二、整體嘗試，合作探究，構(gòu)建基本模型

1.現(xiàn)實(shí)問題情境的拓展

師：根據(jù)線段圖我們發(fā)現(xiàn)無論哪種植樹方案，棵數(shù)都與什么有關(guān)？（段數(shù)）

師：到底植樹的棵數(shù)與段數(shù)有怎樣的關(guān)系？通過一個(gè)例子并不能說明問題。請(qǐng)同學(xué)們來思考一下，在全長(zhǎng)24米的小路一邊種樹，除了可以每隔6米種一棵外，還可以每隔幾米種一棵？（學(xué)生紛紛說出自己的想法：每隔1米、2米、3米、4米、8米、12米）

師：你們想不想自己動(dòng)手來設(shè)計(jì)一下其他的種樹方法，請(qǐng)根據(jù)你們所想的相隔距離來畫一畫，但畫圖之前先看清楚要求。

2.學(xué)生整體嘗試，畫圖設(shè)計(jì)3種植樹方案

之后，筆者請(qǐng)學(xué)生選擇自己喜歡的相隔距離，獨(dú)立畫圖設(shè)計(jì)3種不同的植樹方案。

（1）我選取每隔（）米種一棵，我先把線段平均分成（）段。

（2）畫出3種設(shè)計(jì)方案。

①兩端都種;? ②只種一端;③兩端都不種。

（3）數(shù)據(jù)填入表格（見表1）。

全長(zhǎng)24米 每隔幾米種一棵 段數(shù)量 兩端都種的棵數(shù) 只種一端的棵數(shù) 兩端都不種的棵數(shù)

3.列表整理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)建基本模型

（1）選擇有代表性的學(xué)生作品進(jìn)行展示，交流想法與結(jié)果。

（2）列表整理（見表2）。

全長(zhǎng)2 4米 每隔幾米種一棵 段數(shù) 兩端都種的棵數(shù) 只種一端的棵數(shù) 兩端都不種的棵數(shù)

（3）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)建基本模型

①追問：如果每隔1米種一棵樹，需要分成幾段？3種情形分別需要種多少棵？（學(xué)生很快回答：24段，分別是25、24、23棵）為什么你們沒有畫圖也能這么快說出答案？（有規(guī)律）

②認(rèn)真觀察這些數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？把你的發(fā)現(xiàn)和同桌交流一下。

③根據(jù)學(xué)生回答板書：兩端都種：段數(shù)+1=棵數(shù);只種一端：段數(shù)=棵數(shù);兩端都不種：段數(shù)-1=棵數(shù)。

4.舉例驗(yàn)證模型和解釋理解模型

（1）舉例驗(yàn)證模型

①追問：你們也有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎？那這個(gè)規(guī)律一定正確嗎？

②舉例驗(yàn)證。剛才我們選取的是在長(zhǎng)24米的小路一邊植樹，方法有很多種。除了選取長(zhǎng)24米的小路，我們也可以選取長(zhǎng)是幾米的？以“在一條15米長(zhǎng)的小路一旁植樹，每隔5米種一棵，3種情況各需要幾棵樹苗”為例，讓學(xué)生再次畫草圖驗(yàn)證。學(xué)生驗(yàn)證的結(jié)果：棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系符合發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

③返回到表2中進(jìn)一步抽象概括：分成50段或a段時(shí)，3種情況植樹的棵數(shù)分別是多少？

師：無論是哪種情況，要求棵數(shù)，關(guān)鍵是找到什么？（段數(shù)）

（2）解釋理解模型

①追問：為什么兩端都種要段數(shù)加1而不是加2，只種一端的情況棵數(shù)和段數(shù)相等，兩端都不種要段數(shù)減1而不是減2呢？你能借助黑板上的線段圖來說明嗎？

②學(xué)生借助一一對(duì)應(yīng)思想解釋模型：先是學(xué)生代表說理解釋，然后同桌之間說理解釋。

本環(huán)節(jié)的教學(xué)主要包括問題拓展、整體嘗試、構(gòu)建模型、驗(yàn)證解釋幾個(gè)過程，在讓學(xué)生真正深度經(jīng)歷了建構(gòu)模型完整過程的基礎(chǔ)上，很好地凸顯了學(xué)生的學(xué)，并使學(xué)生真正成了課堂教學(xué)的主人，每個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)都體現(xiàn)了先學(xué)后教、先試后導(dǎo)的教學(xué)思想。學(xué)生的認(rèn)知與理解隨畫圖次數(shù)的積累從量化轉(zhuǎn)化為質(zhì)變，經(jīng)歷了部分嘗試、整體嘗試、模型的構(gòu)建、解釋模型的過程，展現(xiàn)了學(xué)生認(rèn)知水平提升的歷程。若教師僅僅以對(duì)知識(shí)的掌握為教學(xué)目標(biāo)，那么往往會(huì)把著眼點(diǎn)放在對(duì)規(guī)律發(fā)現(xiàn)后的棵數(shù)與段數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系的掌握上。本節(jié)課筆者在教學(xué)目標(biāo)的定位上凸顯過程性教學(xué)目標(biāo)，即根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，借助操作、觀察、比較、分析和概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)過程，感悟與利用“一一對(duì)應(yīng)”數(shù)學(xué)思想方法，從數(shù)學(xué)表象（操作模擬圖）、語言描述（如“棵數(shù)等于段數(shù)”“棵數(shù)比段數(shù)多1”“棵數(shù)比段數(shù)少1”）、數(shù)量關(guān)系式（棵數(shù)=段數(shù)、棵數(shù)=段數(shù)+1、棵數(shù)=段數(shù)-1）以及具體算法四個(gè)不同視角與層次實(shí)現(xiàn)對(duì)植樹問題的建模。

三、模型解釋、應(yīng)用與拓展

1.初次運(yùn)用模型

在全長(zhǎng)200米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，3種植樹方案分別要種幾棵樹？

2.深化理解模型結(jié)構(gòu)

下列現(xiàn)象能否看成“植樹問題”。如果“是”，屬于哪一類？

（1）隊(duì)伍長(zhǎng)9米，每?jī)扇酥g相距1米，一共有多少人排隊(duì)？

（2）一根10米長(zhǎng)的木頭，每2米鋸一段，需要鋸幾次？

（3）一條繩長(zhǎng)180厘米，每隔20厘米掛一只小燈籠，共有多少只小燈籠？

3.應(yīng)用模型，解決實(shí)際問題

（1）大象館和猴山相距60米（見圖2）。綠化隊(duì)要在兩館間的小路一旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽多少棵樹？

（2）在一條全長(zhǎng)2千米的街道一旁安裝路燈（一端不安裝），每隔50米裝一盞，一共要裝多少盞路燈？

（3）在一條長(zhǎng)360米的長(zhǎng)廊兩側(cè)擺花，每隔4米擺一盆（兩端都擺），一共需要多少盆花？

（4）某公路全長(zhǎng)10千米，相鄰兩站的距離都是2千米。這條公路上一共有幾個(gè)車站？

“植樹問題”包含的生活問題很多，如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、站隊(duì)中的方陣等。在模型建立后，教師應(yīng)適時(shí)打破學(xué)生的單一認(rèn)知，將此模型應(yīng)用于其他情境中，不僅要讓學(xué)生體會(huì)到植樹問題和生活的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，更重要的是讓學(xué)生對(duì)植樹問題的結(jié)構(gòu)模型有更深層次的理解。在練習(xí)題的設(shè)置與量的控制上，力求符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與需要，保證學(xué)生有效的當(dāng)堂練習(xí)時(shí)間，給予學(xué)生相對(duì)完整的獨(dú)立思考、做作業(yè)的時(shí)間，以便學(xué)生及時(shí)鞏固認(rèn)知。同時(shí)，這些題也是經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的，前兩道題是對(duì)植樹問題基本模型的應(yīng)用，第（1）題數(shù)字較小，而且有圖作支撐;第（2）題數(shù)字較大;第（3）題關(guān)注從“單側(cè)”向“雙側(cè)”變化，豐富了學(xué)生對(duì)植樹問題的認(rèn)知。第（4）題在鞏固當(dāng)天所學(xué)的同時(shí)，突破學(xué)生認(rèn)知，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)封閉圖形中的植樹問題埋下伏筆。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，使其經(jīng)歷從生活原型到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，從而能夠用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模的過程不僅能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，還能提升學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。

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劉麗秋.小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐研究——以“植樹問題”教學(xué)為例[J].考試周刊，2017（66）：115.