張建梅

摘要：本文通過一節(jié)具體的高三復(fù)習(xí)課案例，談?wù)勅绾卧诟呷龜?shù)學(xué)課堂上做到求“真、善”致“美”。要想使教學(xué)課堂呈現(xiàn)“真、善、美”，必須采用“喚醒”藝術(shù)，因?yàn)椤皢拘选笔钦n堂教學(xué)的力量，是課堂的靈魂。

關(guān)鍵詞：喚醒;美學(xué);方程思想;數(shù)列通項(xiàng);高三復(fù)習(xí)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）19-125-2

筆者曾在全區(qū)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì)上了一堂高三復(fù)習(xí)課的公開課。課題是“運(yùn)用方程思想研究數(shù)列的通項(xiàng)”。本節(jié)課以一道簡單的問題開始，通過自主探究，小組合作等一系列的體驗(yàn)，喚醒學(xué)生的內(nèi)在潛力，領(lǐng)悟此種數(shù)學(xué)題型的感性認(rèn)識(shí)，最終獲得能力的形成.本節(jié)課獲得大家的一致好評(píng)。

一、教學(xué)實(shí)錄

1.引題探究

等差數(shù)列{an}中，a15=10，a60=40，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解析：由于an是關(guān)于n的一次函數(shù)，于是，

（15，a15），（60，a60）及（n，an）三點(diǎn)共線，斜率相等。

由a60-a1560-15=an-a15n-15。即40-1060-15=an-10n-15，解得an=23n。

設(shè)計(jì)意圖：這是一道比較簡單的問題，學(xué)生可以從基本量入手，也可以從等差數(shù)列的通項(xiàng)入手，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)獲得最終結(jié)果。在大家自由討論本題的做法并總結(jié)后，教師PPT展示上述做法，讓學(xué)生思考這種方法是運(yùn)用什么知識(shí)點(diǎn)來求解的，由此讓學(xué)生知曉數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)的性質(zhì)來解決此道題目。

函數(shù)思想和方程思想是中學(xué)階段兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)和方程互相作用，互相成就彼此。而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們能不能從方程角度來研究數(shù)列呢？教師通過邊敘述邊在黑板上畫出下面關(guān)系圖，從而引出這節(jié)課的課題：運(yùn)用方程的思想研究數(shù)列的通項(xiàng)。

2.初步探究

（1）已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，并且a3a7=-12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

（2）設(shè)數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)a1=1，an+（n+1）an+1=na2nan+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

（3）已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a1=5，a2=6，a3=8，且數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+m=12（S2n+S2m）-（n-m）2，其中m，n為任意正整數(shù)。求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

三道題設(shè)計(jì)的目的分別是：

（1）讓學(xué)生總結(jié)思路，可以通過基本量獲得方程組（a1+2d）（a1+6d）=-12（a1+3d）+（a1+5d）=-4，解方程組求{an}的通項(xiàng)公式，或者通過等差數(shù)列的性質(zhì)獲得a3、a7是方程x2+4x-12=0的兩個(gè)根，通過解一元二次方程求解{an}的通項(xiàng)公式。

（2）學(xué)生通過變形獲得（n+1）a2n+1+anan+1-na2n=0（n∈N*），觀察該式子，嘗試把該式子看成關(guān)于an+1的一元二次方程，亦可以把該式子變形為（n+1）（an+1an）2+（an+1an）-n=0（n∈N*），把該式子看成關(guān)于an+1an的一元二次方程，通過解方程即可以獲得{an}的通項(xiàng)公式。本題的難點(diǎn)在把條件或理解為一元二次方程或變形為一元二次方程，在方程中，分別視“an+1”和“an+1an”為主變?cè)?，通過解方程即可獲得結(jié)果。一元二次方程式是解開本道題的一把鑰匙。

（3）題與上述兩個(gè)問題不同于“m，n為任意正整數(shù)”，正是這一強(qiáng)大的條件賦予Sn+m=12（S2n+S2m）-（n-m）2無限可能。對(duì)m進(jìn)行賦值，由一個(gè)方程衍生多個(gè)方程，進(jìn)而得解。本題的難點(diǎn)在于為什么要賦值，對(duì)誰賦值，賦什么值。學(xué)生可以通過多次賦值嘗試，獲得經(jīng)驗(yàn)，最終達(dá)到解題的方向。

上述三道題是在學(xué)生們自主學(xué)習(xí)，相互討論，在老師的點(diǎn)撥提煉下，獲得求數(shù)列通項(xiàng)的一種方法，即用方程的思想求數(shù)列的通項(xiàng)。在方法獲得的過程中，教師并沒有急功近利，也沒有短平快的心態(tài)，而是通過提示，思考，再提示，再思考來喚醒學(xué)生對(duì)這一規(guī)律的知覺。

3.合作探究

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an+（-1）n，（n∈N*）。（2004年全國高考題）

（1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)a1，a2，a3;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

有了前面三道題的初步探究，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了用方程思想求數(shù)列通項(xiàng)的一般規(guī)律。雖然有學(xué)生在處理Sn=2an+（-1）n這個(gè)條件中的（-1）n顯得無從下手，或走歧路，但大部分學(xué)生通過對(duì)方程思想的感悟，很快打通了本道題求通項(xiàng)的基本思路和方法，最終獲得正確的結(jié)果。

二、反思

本節(jié)課所選取的題目解決方法和策略有很多，由于課時(shí)的限制，所以沒有一一羅列，只是在如何用方程思想解決數(shù)列通項(xiàng)問題進(jìn)行了歸納和總結(jié)：這樣做，一方面讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的強(qiáng)大，另一方面讓學(xué)生能知曉這類題型。本節(jié)課涉及的題目有思維力度大和運(yùn)算繁等特點(diǎn)，故基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可以在課前做些預(yù)習(xí)，提高課堂效率。如果但總體來講，本節(jié)課是一節(jié)成功的“喚醒”。

三、思考

1.求真

求真必須做到以下幾個(gè)方面：（1）與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系。學(xué)生小學(xué)就學(xué)過方程，初中學(xué)過函數(shù)，在高中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想，從小學(xué)到高中這一連續(xù)的過程積累，在高三復(fù)習(xí)階段學(xué)生完全有能力利用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題。高三教師在備課的時(shí)候一定要了解學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)和技能，在此基礎(chǔ)上，把握“最近發(fā)展區(qū)”，加速學(xué)生的發(fā)展。（2）用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“四基”做支撐。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“四基”指“基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。本節(jié)課中方程思想是數(shù)學(xué)基本思想，數(shù)列通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)知識(shí)，在高三階段，學(xué)生會(huì)經(jīng)常遇到求數(shù)列通項(xiàng)的問題，所以在求數(shù)列通項(xiàng)這一真實(shí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生有真體驗(yàn)，最終獲得真知識(shí)。（3）重視學(xué)生參與。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體[1]。在引題探究中，通過學(xué)生動(dòng)手操作，提出“數(shù)列”與“方程”具有怎樣的關(guān)系這一問題，組織學(xué)生“自主、合作、探究”，讓學(xué)生動(dòng)手，思考，再動(dòng)手，再思考最終思維得到提升。蒙臺(tái)梭利說過：“我看過了，我忘記了。我聽過了，我記住了。我做過了，我理解了。”這其實(shí)是學(xué)習(xí)的真實(shí)過程，在高三學(xué)習(xí)時(shí)間緊的情況下，舍得花時(shí)間做尤為重要，只有通過學(xué)生親力親為得到的思考才是真思考，收獲才是真收獲。

2.求善

教學(xué)中的“喚醒”是一門藝術(shù)。如果說“求真”是對(duì)學(xué)生提出的要求，那么“求善”即“喚醒”就是對(duì)教師提出的要求。如何喚醒學(xué)生沉睡的內(nèi)在潛力？（1）合理科學(xué)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)。要真正“喚醒”學(xué)生的內(nèi)在知覺，必須要精心安排教學(xué)步驟，巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，恰當(dāng)使用教學(xué)手段，靈活使用教學(xué)方法等。高三要復(fù)習(xí)的內(nèi)容很多，如何落實(shí)到每一節(jié)課上是非常關(guān)鍵的，所以課堂設(shè)計(jì)要精打細(xì)磨，每節(jié)課都要有明確的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)要符合考綱，要適合學(xué)生。（2）重視積極評(píng)價(jià)?！傲佳砸痪淙瑦赫Z傷人六月寒”，積極的評(píng)價(jià)能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和自信心。在課堂教學(xué)中，挖掘?qū)W生身上的優(yōu)點(diǎn)，并給予正確的激勵(lì)、評(píng)價(jià)，能喚醒學(xué)生積極認(rèn)識(shí)自我、建立信心、促進(jìn)發(fā)展。法國第斯多惠說過：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和激舞?！狈e極評(píng)價(jià)能夠促進(jìn)師生之間的情感交流，消除學(xué)生在學(xué)習(xí)上的膽怯，重新豎起勇往向前的決心，非智力因素能得到最佳的發(fā)揮。（3）設(shè)置恰當(dāng)而有效的提問?！澳闶窃趺聪氲降?？”“關(guān)鍵步驟是什么？”“你說說具體怎么做？”“有沒有其他方法？”教師通過認(rèn)知性提示語，讓學(xué)生思考由表及里，層層深入。除了上述設(shè)置讓學(xué)生主動(dòng)積極去思考的提問外，提問更要有針對(duì)性。在本節(jié)課中，不僅展示學(xué)生正確的做法，也展示學(xué)生的典型錯(cuò)誤，緊緊圍繞學(xué)生的做法展開有針對(duì)性的提問。對(duì)不同的學(xué)生個(gè)體設(shè)置不同的有針對(duì)性的提問，充分暴露學(xué)生思維障礙是提問的要求。問題從學(xué)生中來，回到學(xué)生中去，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤，自己解決自己的錯(cuò)誤。

3.至美

什么是美？美是能讓人身心產(chǎn)生愉悅的一種感覺，是一種無法言喻的一種感覺。教育教學(xué)中的美有很多，數(shù)學(xué)之美更注重理論與方法之美。

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。正因?yàn)閿?shù)學(xué)中，充斥著等式和不等式，所以在《數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法》這本書中談到：“在數(shù)學(xué)美學(xué)中，數(shù)學(xué)方程式的普適性，使類比方法的功能獲得極大的鞏固與提高，成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域中與其他方法并列的一種科學(xué)美學(xué)方法[2]”。

在整個(gè)課堂設(shè)計(jì)中，始終圍繞“方程思想”和“數(shù)列通項(xiàng)”這兩大主題，尋找它們的關(guān)系、創(chuàng)造它們的關(guān)系、追求它們的關(guān)系。“方程思想”和“數(shù)列通項(xiàng)”在這節(jié)課的統(tǒng)一性得到淋漓盡致的體現(xiàn)。統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要標(biāo)志，也是數(shù)學(xué)研究的主要方向。

數(shù)學(xué)的真、善、美往往被淹沒在形式的海洋里，需要大力的挖掘、用心觀察才能發(fā)現(xiàn)、感受和體驗(yàn)[3]。羅素也說過：“數(shù)學(xué)，如果能正確地看待它，不但擁有真理，也擁有至高無上的美?！薄罢妗?、“善”、“美”是人類的追求，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)追求的最高境界。

[參考文獻(xiàn)]

[1]羅增儒.基于核心素養(yǎng)的教學(xué)研修[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（09）.

[2]徐本順.殷啟正.數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M].江蘇：江蘇教育出版社，2008.

[3]張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012（1/2）.

（作者單位：南通市通州區(qū)金沙中學(xué)，江蘇 南通226300）