晏暢

摘 要：為了提高學(xué)生的模型意識(shí)和發(fā)散性思維，本文通過對(duì)2019年遼寧省沈陽市中考試卷的第16題的解法探究，以“一題多解”的方式，對(duì)問題進(jìn)行多角度、多層次分析，剖析如何“刻意訓(xùn)練”學(xué)生運(yùn)用模型思想去探究幾何問題的解題思路.

關(guān)鍵詞：模型思想;解題指導(dǎo);一題多解

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“當(dāng)遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要善于退，足夠的退，退到最簡(jiǎn)單而又不失關(guān)鍵的地方.”其實(shí)幾何沒有我們想象的那么難，核心點(diǎn)在于如何把復(fù)雜幾何圖形的關(guān)鍵信息抽離成幾個(gè)基礎(chǔ)幾何圖形，再通過輔助線轉(zhuǎn)化成我們熟悉的幾何模型，也就是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)的模型思想.本文以2019年遼寧省沈陽市中考試卷的第16題為例，通過“一題多解”對(duì)問題進(jìn)行多角度、多層次分析，談?wù)勅绾巍翱桃庥?xùn)練”學(xué)生運(yùn)用模型思想去探究幾何問題的解題思路.

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E，且CE=4AE，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，連接EF，過點(diǎn)E作EG⊥EF，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若AB=5，CF=2，則線段EP的長(zhǎng)是.

此題以正方形為背景，涵蓋了等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的知識(shí)，綜合性強(qiáng)，解題難度較大，如何快速切入，模型思想為我們插上異彩紛呈的思維翅膀，接下來我們?cè)诮夥ㄖ姓钩岚肯?

2 解法探究

本題的實(shí)質(zhì)是：45°特殊角，等腰直角三角形問題，比例線段問題.因此可以依托常見的模型，打開解題思維的閘門：即45°角+“母子型”相似、“一線三等角”模型、“手拉手”模型、建系法.

2.1 45°角+“母子型”相似

解法1 如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AB=5，

所以AC=5 2，∠ACD=∠FCH=45°.

易求EC=4 2，EH=5 2.

在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2=（5 2）2+（2）2=52.

因?yàn)椤螱EF=∠GCF=90°，

所以E，G，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓.

易證△CEF∽△FEP.

可得EF2=EC·EP.

所以EP=524 2=13 22.

2.2 “一線三等角”模型

解法2 如圖3，過點(diǎn)E作NM//GC交CD于點(diǎn)M， 過點(diǎn)E作GN⊥NM于點(diǎn)N.

由已知條件，易證四邊形CGNM為矩形，△CEM∽△CAD.可求EM=CM=4，EC=4 2.

所以△GNE≌△EMF.

則GC=NE+EM=MF+EM=10.

所以GE=EF.

所以△GEF是等腰直角三角形.

所以∠EFG=45°.

由解法1，易得E，G，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓.

所以∠CEF=∠CGF.

因?yàn)椤螮CF=∠GCP=135°，

所以△CEF∽△GCP.

所以GCEC=CPCF.即104 2=CP2.解得 CP=5 22.

所以EP=EC+CP=4 2+5 22=13 22.

解法3 如圖4，過點(diǎn)P作PQ⊥GC，交GC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

由FC//PQ，得△GCF∽△GQP.

所以GCGQ=CFPQ.即1010+PQ=2PQ.解得PQ=52.

所以CP=5 22.

所以EP=EC+CP=4 2+5 22=13 22.

解法4 可以向下作等腰直角三角形，構(gòu)造“8”字形相似，如圖5，其他步驟類似解法3.

解法5 如圖6，過點(diǎn)E作EQ⊥GP于點(diǎn)Q.

因?yàn)镋M=CM=4，CF=2，所以FM=6.

因?yàn)樵赗t△EFM中，∠EMF=90°，

所以EF=EM2+FM2=42+62=2 13.

所以EQ=22EF=22×2 13=26.

因?yàn)椤螮QP=∠EMF=90°，∠QEP=∠MEF，

所以△EQP∽△EMF.

所以EQEM=EPEF.即264=EP2 13.解得EP=13 22.

2.3 “手拉手”模型

解法6 如圖7，過點(diǎn)E作EH⊥EC于點(diǎn)E，交GC于點(diǎn)H.

根據(jù)“手拉手”模型，易證△EGH≌△EFC.

所以△GEF與△HEC是等腰直角三角形.

所以GH=CF=2.

又因?yàn)镠C=2EC=8，∠GCF=90°，

所以GF=GC2+CF2=102+22=2 26.

所以EF=22GF=2 13.

因?yàn)椤螮CF=∠GCP=135°，所以△CEF∽△FEP.

所以EF2=EC·EP.

所以EP=524 2=13 22.

2.4 建系法

解法7 如圖8，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，GC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.過點(diǎn)P作PQ⊥NM，交EM延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，4），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-10，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-2）.

所以直線EC的解析式為y=-x，直線GF的解析式為y=-15x-2.

聯(lián)立方程組可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（52，-52）.

所以EQ=QP=132.

因?yàn)樵赗t△EQP中，∠EQP=90°，

所以EP=EQ2+QP2=1322+1322=13 22.

3 解題感悟

很多同學(xué)解這道題時(shí)感覺很熟悉，這是由于我們?cè)谄綍r(shí)解題中涉及很多和它同類或者方法一樣的題目，但是考試時(shí)會(huì)出現(xiàn)見過或做過的題目仍然不會(huì).究其本質(zhì)，原因在于我們?cè)谄綍r(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中沒有很好地進(jìn)行歸納總結(jié)，沒有深入地了解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，每一個(gè)條件如何考察，如何使用，也沒有很好地建立起自己的一套幾何模型體系，所以見到不同的條件就找不到思考方向.所以在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何運(yùn)用化歸思想，退居本質(zhì)，觀察圖形特征，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)模型，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀位緢D，從條件出發(fā)推理得到新結(jié)論，把難題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題.這種意識(shí)和習(xí)慣要進(jìn)行系統(tǒng)化的科學(xué)指導(dǎo)和長(zhǎng)期練習(xí)才能形成，就是所謂的“刻意訓(xùn)練”.

絕大多數(shù)幾何題都可以從中找到相應(yīng)的幾何模型或策略方法.幾何模型是解決幾何問題的利刃，策略方法是教師指導(dǎo)學(xué)生如何通過“刻意訓(xùn)練”學(xué)會(huì)選擇“利刃”從而優(yōu)化解法，一旦熟練掌握，那么解決難題就是水到渠成自然而然的事了.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鋒，薛鶯，童偉偉.多元化的“微探究”：從機(jī)械記憶走向理解建構(gòu)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（18）：76—78.

[2]李郊.構(gòu)造法的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（03）：86.

（收稿日期：2019-07-24）