“解決問題的策略”的意義探尋與教學(xué)建構(gòu)

蔡霞

摘? 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，策略是一種介于思想和方法之間的概念。對于學(xué)生而言，“解決問題的策略”不僅具有工具性價值，而且具有心智性價值、效能性價值。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征、數(shù)學(xué)化建模和數(shù)學(xué)化反思。通過解決問題的策略的教學(xué)，提升學(xué)生解決問題的能力、提升學(xué)生解決問題的素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);問題解決;意義探尋;教學(xué)建構(gòu)

策略，從學(xué)習(xí)心理學(xué)視角看，是指有目標(biāo)指向的、解決問題的心理操作，是一種認(rèn)知技能，屬于一種較為高階的認(rèn)知方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，策略是一種介于思想和方法之間的概念。在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生表征問題、分析問題，對問題做出一定的假設(shè)，并通過深度思考、探究、驗(yàn)證等進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，我們需要重點(diǎn)思考、實(shí)踐兩個方面的問題：其一是“解決問題的策略”意義何在？其二是“怎樣進(jìn)行解決問題的策略”教學(xué)？

■一、對“解決問題的策略”的意義探尋

“解決問題的策略”作為一個專題，在目前更大版本教材中均有所體現(xiàn)。但對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，“解決問題的策略”教學(xué)應(yīng)當(dāng)貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終。從小學(xué)低段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開始，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中就必須有意識地滲透一些解決問題的策略方面的知識，比如畫圖的策略、假設(shè)的策略、轉(zhuǎn)化的策略等。對于學(xué)生來說，“解決問題的策略”學(xué)習(xí)至少有以下三點(diǎn)意義：

1. 工具性價值

解決問題的策略有助于學(xué)生有效地解決數(shù)學(xué)問題，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的有效的數(shù)學(xué)工具。比如“畫圖策略”“列表策略”等對學(xué)生解決問題的作用是非常大的。對于這些策略，不僅要讓學(xué)生形成策略意識，更要讓學(xué)生形成策略技能。比如，如何畫圖才能有效地表征題意？如何列表才能將題目中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行有效表征？在“解決問題的策略”教學(xué)之中，首當(dāng)其沖的就是讓學(xué)生掌握這些策略性的工具。通過讓學(xué)生掌握一些策略性工具，幫助學(xué)生形成一些策略性技能，讓學(xué)生掌握解決問題的策略，以便讓這些策略更好地、更適合地為學(xué)生解決問題而服務(wù)。

2. 心智性價值

學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的策略有助于發(fā)展學(xué)生的心智。過去，許多教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，企圖通過多練、多講等方法到達(dá)熟能生巧的解題境界。這樣的教學(xué)方式，不僅不能讓學(xué)生熟能生巧，更為重要的是往往讓學(xué)生“熟能生笨”。真正發(fā)展學(xué)生的心智、提升學(xué)生解決問題能力的方法、路徑是讓學(xué)生掌握解決問題的策略。在學(xué)習(xí)理論看來，策略是一種“以少勝多”“以簡馭繁”的解決一類問題的模型。通過讓學(xué)生掌握一定的“解決問題的策略”，就能讓學(xué)生在解決問題時左右逢源、游刃有余。在解決問題的過程中，學(xué)生的心智得到鍛煉、發(fā)展。

3. 效能性價值

如果說，“工具性價值”是解決問題的策略學(xué)習(xí)的外在性價值，那么，“心智性價值”就是解決問題的策略學(xué)習(xí)的內(nèi)在性價值。而無論是這種外在的工具性價值還是內(nèi)在的心智性價值，都必須通過學(xué)生的有效學(xué)習(xí)來體現(xiàn)。因而，“解決問題的策略”的教學(xué)還具有效能性價值。換言之，“解決問題的策略”的學(xué)習(xí)能有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率、效能。在《現(xiàn)代漢語詞典》中，“策略”的闡釋是“計(jì)謀”“謀略”，它是一個人面對一個具體的問題時所做出的基本判斷、基本解決問題的思路。顯然，學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的策略，不僅僅是掌握這些策略本身，更是通過這些策略的學(xué)習(xí)，去解決其他的一些數(shù)學(xué)問題。從這個意義上說，“解決問題的策略”教學(xué)具有普適性的意義和價值。

■二、對“解決問題的策略”的實(shí)踐建構(gòu)

“解決問題的策略”的學(xué)習(xí)，不能脫離學(xué)生解決問題的實(shí)踐。換言之，“解決問題的策略”的學(xué)習(xí)是基于“解決問題”、為了“解決問題”。學(xué)生“解決問題的策略”的智慧也一定是在解決問題的實(shí)踐中生成的。作為教師，要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的策略的過程，對解決問題的策略進(jìn)行反思、提煉，形成一定的具體的問題解決策略。教學(xué)中，教師不僅要重視解決問題的策略的建構(gòu)，更要重視解決問題的策略的遷移、應(yīng)用，重視對學(xué)生解決問題的策略的監(jiān)控。

1. 數(shù)學(xué)化表征：導(dǎo)引解決問題的策略

學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的策略，首先要學(xué)會對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行觀察、分析，提煉其中的數(shù)學(xué)信息，或者將非數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)信息。只有能對具體的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征，才能導(dǎo)引解決問題的策略。一般來說，影響學(xué)生對一個具體問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征的因素既有外在刺激，更有內(nèi)在心智的支持。

比如教學(xué)“解決問題的策略——列舉”（蘇教版五年級上冊），面對這樣的一個條件——“22根1米長的木條圍成一個長方形花圃”——教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思辨，從而將這樣的文字進(jìn)行數(shù)學(xué)化表征。教學(xué)中，有學(xué)生認(rèn)為，這個條件說明“不管怎樣圍，也不管圍成什么形狀的長方形，反正22米是長方形花圃的周長”;有學(xué)生認(rèn)為，這個條件說明“圍成的長方形的長和寬都是整米數(shù)，因?yàn)檫@些木條都是1米長”;有學(xué)生認(rèn)為，通過這個條件還能間接地推導(dǎo)出“長方形的長和寬的和是11米”，等等。根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨，學(xué)生能對這樣的數(shù)學(xué)條件進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)化表征，即“a+b=11”。有了這樣的數(shù)學(xué)化表征，學(xué)生就能對算式中的“a”與“b”一一列舉。通過數(shù)學(xué)化表征，學(xué)生就能有效地解決問題。

數(shù)學(xué)化表征，就是要對數(shù)學(xué)問題中的條件做出數(shù)學(xué)化的描述、刻畫，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)化分析奠定基礎(chǔ)。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生審題，引導(dǎo)學(xué)生把握問題的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵之所在，對題目中的有關(guān)信息進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，等等。通過這樣的一系列數(shù)學(xué)化操作，讓學(xué)生完成對相關(guān)條件的數(shù)學(xué)化表征。

2. 數(shù)學(xué)化建模：形成解決問題的策略

策略不能直接從外部輸入，而只有通過親身經(jīng)歷體驗(yàn)。建構(gòu)學(xué)生解決問題的策略，必須讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的活動。只有經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)化活動，學(xué)生對問題策略的感受與體驗(yàn)才會深刻。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)化建模，教師必須給學(xué)生搭建“腳手架”，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的策略的形成過程。只有在數(shù)學(xué)化活動中，學(xué)生才能領(lǐng)悟策略的內(nèi)涵。

在學(xué)生解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、交流，從而體驗(yàn)策略的內(nèi)涵、操作要義。要鼓勵學(xué)生積極地建構(gòu)、創(chuàng)造，而不能包辦、代替學(xué)生的問題解決過程或者將策略作為一種結(jié)論性、概念性的定論灌輸給學(xué)生。比如教學(xué)“解決問題的策略——假設(shè)”（蘇教版六年級上冊），對于這樣的條件——“小杯容量是大杯容量的3/1”——教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生理解，更要引導(dǎo)學(xué)生操作。比如將一個大杯“替換”成三個小杯，或者將三個小杯“替換”成一個大杯。通過實(shí)物替換操作，學(xué)生能深刻地感受到“將所有的杯子都假設(shè)成小杯”或者“將所有的杯子都假設(shè)成大杯”的策略。這里，其實(shí)就是借助兩個變量之間的關(guān)系，將兩個變量轉(zhuǎn)化成一個變量的過程。有了這樣的操作過程，學(xué)生就能建構(gòu)出“解決問題的策略——假設(shè)”的數(shù)學(xué)化模型。比如“如果假設(shè)其中一個小杯的容量為未知數(shù)x，那么大杯的容量就是3x”;比如“總的果汁如果全部倒入大杯，一共可以倒幾個大杯”;比如“總的果汁如果全部倒入小杯，一共可以倒幾個小杯”，等等。

形成“解決問題的策略”的過程，就是引導(dǎo)學(xué)生將已有知識和目標(biāo)情境聯(lián)系起來的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來打量，用數(shù)學(xué)的大腦來考量，引導(dǎo)學(xué)生積極地嘗試。策略不是通過灌輸所能奏效的，而是需要感受、體驗(yàn)、感悟的。只有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從對問題的數(shù)學(xué)化表征到對問題的數(shù)學(xué)化分析的全過程，才能逐步形成解決問題的策略。

3. 數(shù)學(xué)化反思：超越解決問題的策略

“解決問題的策略”的教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的建模過程，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化的反思，追求“解決問題的策略”的最優(yōu)化，甚至超越“解決問題的策略”。具體而言，就是在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生解決同一個數(shù)學(xué)問題，可能會有不同的策略。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行策略比較、策略鑒別，對不同的策略做出最優(yōu)化的判斷和選擇。通過數(shù)學(xué)化反思，讓學(xué)生形成對“解決問題的策略”的元認(rèn)知，進(jìn)而超越具體的“解決問題的策略”。

比如教學(xué)“解決問題的策略——假設(shè)”（蘇教版六年級下冊），學(xué)生在遇到經(jīng)典的“雞兔同籠”問題時，就面臨著諸多的問題解決策略。比如“雞和兔一共有8只，它們的腿有22條。雞和兔各有多少只？”面對這樣的一個問題，有學(xué)生主張“畫圖”，有學(xué)生主張“一一列舉”，有學(xué)生主張采用“方程法”，有學(xué)生主張運(yùn)用“假設(shè)法”，等等。對于“雞兔同籠”問題而言，不同的策略有著不同的優(yōu)缺點(diǎn)。這里，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生比較不同策略的優(yōu)劣，從而幫助學(xué)生克服自身的思維定式。比如對于“雞兔同籠”問題而言，用“列舉”來解決問題的效率顯得比較低，而且這里還有一個如何列舉的策略問題。可以引導(dǎo)學(xué)生從中間數(shù)據(jù)開始列舉，比如先假設(shè)雞和兔各有4只;可以引導(dǎo)學(xué)生先估算范圍，比如粗略地估計(jì)是雞多還是兔多，然后進(jìn)行假設(shè)，這樣就能減少列舉的步驟，等等。這里，就將“假設(shè)”與“列舉”的策略有機(jī)結(jié)合。在解決問題的過程中，還要注意不僅要從數(shù)學(xué)的視角去考量，而且要從生活的視角去優(yōu)化、甄別，等等。

數(shù)學(xué)化的反思，有助于學(xué)生超越具體“解決問題的策略”。只有借助反思，才能使其思維真正深入到數(shù)學(xué)化過程之中。數(shù)學(xué)的反思，有助于學(xué)生形成對“解決問題的策略”的元認(rèn)知能力的提升，從而便于學(xué)生在解決問題的過程中對問題解決過程進(jìn)行自我評價、調(diào)控，從而達(dá)到提升學(xué)生解決問題的能力、提升學(xué)生解決問題的素養(yǎng)的目的。