王燕

[摘要]心理學(xué)家杰羅姆·布魯納曾經(jīng)提出一個(gè)觀點(diǎn)，如果學(xué)生掌握了最基本的數(shù)學(xué)思想方法，那么數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)起來將不再那么艱澀，晦澀難懂的抽象數(shù)學(xué)概念理解起來也更簡(jiǎn)單，記憶也會(huì)更深刻，一旦記住便經(jīng)久難忘。因此，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想方法是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的先決條件，有了正確的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，遷移起來就能舉一反三、觸類旁通，使學(xué)生終生受用無窮。

[關(guān)鍵詞]植樹問題;化繁為簡(jiǎn);數(shù)學(xué)思想方法;可視化;操作

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0040-02

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，將數(shù)學(xué)思想方法的滲透與應(yīng)用作為衡量教學(xué)質(zhì)量的一項(xiàng)重要指標(biāo)，已成為數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的不成文規(guī)定。

一、初識(shí)化繁為簡(jiǎn)的思想方法

“植樹問題”是一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)策略問題，被編排在人教版教材五年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”。課本第106頁出示例題：“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”教材示范解答時(shí)，先讓學(xué)生嘗試畫線段圖，但100米距離太長(zhǎng)，間隔太多，畫圖操作很麻煩，可以考慮降低難度，先進(jìn)行多次小數(shù)據(jù)重復(fù)試驗(yàn)，探尋出規(guī)律——栽的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，再推廣應(yīng)用到100米的情況。這個(gè)過程運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法，將復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)化難為易，同時(shí)也暗含了不完全歸納法。教學(xué)時(shí)，教師要將這兩種思想方法明確地告知學(xué)生，讓學(xué)生認(rèn)清自己在不自覺中運(yùn)用了哪些思想方法，從而變潛意識(shí)為自主意志。

例如，研究栽行道樹問題中兩端都栽的情況，深入感受化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法。

例1：市政部門綠化隊(duì)要在全長(zhǎng)1000米的城市主干道一邊栽行道樹，每隔10米栽一棵。一共需要準(zhǔn)備多少棵行道樹？（如圖1）

師：請(qǐng)你們幫市政部門預(yù)算所需樹苗的數(shù)量。

（學(xué)生獨(dú)立解題，發(fā)現(xiàn)了多種預(yù)算方案）

師：誰能說說自己的預(yù)算方案？

師：能不能用更通俗易懂的方法來解釋你的預(yù)算方案的設(shè)計(jì)原理？

師：擺一擺、畫一畫都不失為推演問題的好辦法。那應(yīng)該根據(jù)哪個(gè)數(shù)據(jù)去擺、去畫呢？

生1：應(yīng)該先選取一組較小的數(shù)據(jù)來展開研究。

生2：多選幾組數(shù)據(jù)，看看栽的棵數(shù)與間隔數(shù)存在什么對(duì)應(yīng)關(guān)系，總結(jié)出規(guī)律后，問題就迎刃而解了。

（小組討論）

師：哪個(gè)小組來陳述一下自己的預(yù)算方案？

師：第一小組采用的是擺一擺的方法，你贊同他們的方案嗎？

師：有沒有選用的數(shù)據(jù)比第一組還小，也研究出了相同的結(jié)果的？想一想，為什么間隔數(shù)要加17

師：誰可以說一說這個(gè)預(yù)算方案的設(shè)計(jì)原理？

師：回顧剛才解決問題的總體思路，我們大致經(jīng)歷了一個(gè)怎樣的過程？

師：同學(xué)們，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，從較小的數(shù)據(jù)著手進(jìn)行試驗(yàn)，用擺一擺、畫一畫的方法來揭示數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)聯(lián)，再應(yīng)用這種規(guī)律和法則去解決復(fù)雜的問題，這些就是知識(shí)以外的寶貴東西——數(shù)學(xué)思想方法。

【反思】“數(shù)學(xué)廣角”作為人教版教材的一大特色單元，其設(shè)立的初衷和宗旨就是向?qū)W生傳遞一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，把抽象的數(shù)學(xué)思想方法巧妙地埋設(shè)在學(xué)生感興趣的、容易接受的實(shí)際問題中，學(xué)生通過試驗(yàn)、觀察、分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)慢慢吸收，在活動(dòng)中感悟，思維能力和思想觀念齊步前進(jìn)，解決問題的決策部署能力逐步形成。教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師把數(shù)學(xué)思想方法由暗轉(zhuǎn)明，在學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的思維訓(xùn)練，對(duì)其中蘊(yùn)藏的思想方法懵懵懂懂時(shí)，正面、開誠(chéng)布公地點(diǎn)明和介紹化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法，鼓勵(lì)學(xué)生將這一思想方法內(nèi)化吸收，作為自己的思想法寶。

二、對(duì)比循環(huán)印證思想方法

人教版教材在第107頁展示了兩端都不栽的情況，在第108頁展示了封閉路線栽樹的情況（實(shí)際上就是一端栽一端不栽）。其實(shí)，在學(xué)生具備了化繁為簡(jiǎn)的自主意識(shí)后，這兩種情況可以合并成一個(gè)課時(shí)來講授，而且例題中不要明確標(biāo)注“兩端都栽”“兩端都不栽”“一端栽一端不栽”字樣，而讓學(xué)生根據(jù)問題情境自己判斷。例如，出示例1的兩種變式例2、例3，引導(dǎo)學(xué)生將解決例1時(shí)學(xué)到的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行遷移——從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)開始試驗(yàn)，總結(jié)規(guī)律。最后學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)兩端栽樹的情況不同，導(dǎo)致間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間出現(xiàn)“加1”“減1”“不加不減”的區(qū)別。

例2：同學(xué)們要到烈士陵園參加植樹活動(dòng)，在英雄紀(jì)念碑前1000米的便道一邊栽行道樹，每隔10米栽一棵。一共需要準(zhǔn)備多少棵行道樹？（如圖2）

例3：縣環(huán)保局的職工要在護(hù)城河沿岸植樹，在自來水廠和釣魚賓館之間1000米的河岸線上栽梧桐樹，每隔10米栽一棵。一共需要購(gòu)買多少棵梧桐樹？（如圖3）

師：嘗試解答以上兩道例題，并說出你的解題策略。

師：例2中，同學(xué)們一共需要準(zhǔn)備多少棵行道樹？你們解決這個(gè)問題的總體思路是什么？

（學(xué)生展示）

師：大家贊同他們的設(shè)計(jì)思路嗎？還有什么補(bǔ)充或困惑嗎？

生1：這個(gè)時(shí)候間隔數(shù)為什么不加1？

師：例3中，環(huán)保局一共需要準(zhǔn)備多少棵梧桐樹？解決這個(gè)問題時(shí)，你們是怎樣決策部署的？

（學(xué)生展示）

師：大家贊同他們的設(shè)計(jì)思路嗎？還有什么補(bǔ)充或困惑嗎？

生2：這個(gè)時(shí)候間隔數(shù)為什么要減1？

【反思】學(xué)生在初次接觸化繁為簡(jiǎn)的思想方法后，教師尋找問題變式，創(chuàng)設(shè)新情境，由原來的兩端都栽變?yōu)橐欢嗽砸欢瞬辉?，或兩端都不栽，條件一變?cè)僮?，?xì)節(jié)一改再改，但始終都是植樹問題的實(shí)際情境?！巴瑢W(xué)們一共需要準(zhǔn)備多少棵行道樹？”“環(huán)保局一共需要準(zhǔn)備多少棵梧桐樹？”等問題，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題、試圖解決問題、尋找理論支撐來解釋問題，并且做出有力的論證，進(jìn)而再次經(jīng)歷運(yùn)用獲得的思想方法解決新問題的過程。學(xué)生一直沿著發(fā)現(xiàn)問題、明確問題、提出假設(shè)、操作驗(yàn)證的軌跡循環(huán)，深刻地感受到化繁為簡(jiǎn)的思想方法可以指導(dǎo)實(shí)踐，并且非常有效。

三、將數(shù)學(xué)思想方法可操作化處理

1.討論：大家合力解決了三個(gè)植樹問題，為我們的城市綠化建設(shè)和環(huán)保事業(yè)作出貢獻(xiàn)，真了不起！回顧一下，在經(jīng)歷解決問題的過程中，你有什么意外的收獲要分享嗎？

2.總結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)了在一條路線上栽樹，要細(xì)分為三種情況來展開討論，不同的情況對(duì)應(yīng)的方法也不同，而且學(xué)會(huì)了把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化處理，歸納出通用的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律去解決復(fù)雜問題。但如果時(shí)間久了，我們遺忘了這個(gè)“加1”還是“減1”的規(guī)則，該如何是好？（現(xiàn)場(chǎng)擺、畫）這就是同學(xué)們學(xué)到的新方法。

【反思】學(xué)生前后經(jīng)歷了三次解決同一類型的實(shí)際問題的詳細(xì)過程，在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)以及必要的解題技巧的同時(shí)，學(xué)生對(duì)貫穿始終的數(shù)學(xué)思想方法有了更深切的體會(huì)，甚至產(chǎn)生一定程度的依賴。離開了數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生無法在復(fù)雜多變的問題情境中保持清醒的頭腦，也無法作出正確的決策。至此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)從一個(gè)模糊的、下意識(shí)的狀態(tài)升華為一個(gè)自覺自主的狀態(tài)，并清楚自己應(yīng)該用什么數(shù)學(xué)思想方法來解決這類問題。在化繁為簡(jiǎn)的指導(dǎo)思想下，學(xué)生明白不需要死記硬背公式，因?yàn)橹矘鋯栴}里間隔數(shù)和棵數(shù)之間只存在“加1”“減1”和“不加不減”三種情況，所以當(dāng)遺忘公式時(shí)，可以通過簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)即時(shí)推出公式。這是一個(gè)重大收獲，是化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法的可操作化的體現(xiàn)。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧研究過程，總結(jié)所得，既做到對(duì)知識(shí)與技能的梳理，又是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的變現(xiàn)。

知識(shí)與技能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功，而數(shù)學(xué)思想方法則是指導(dǎo)性的數(shù)學(xué)觀念。數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展全過程的核心素養(yǎng)，一方面，教師要有意識(shí)地在引學(xué)、導(dǎo)學(xué)的過程中讓學(xué)生去感觸和體會(huì);另一方面，教師也可以借助學(xué)習(xí)素材，將數(shù)學(xué)思想方法徹底展露出來，幫助學(xué)生進(jìn)行二次理解，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 李琪琦）