楊勇

摘? ? 要：“核心”問題是一節(jié)課的中心問題，直指教學內(nèi)容的本質(zhì).一堂有價值的探究課通常用問題串來引領(lǐng).問題串則是在“核心”問題的統(tǒng)領(lǐng)下，由一系列“小問題”構(gòu)成，這需要我們站在學科系統(tǒng)知識和核心素養(yǎng)的高度，去聚焦“核心”問題，驅(qū)動學生積極進行自主探究.

關(guān)鍵詞：問題情境;核心問題;思想方法;自主探究

江蘇省鎮(zhèn)江市教育科學研究中心2019年7月舉行了高中數(shù)學青年教師優(yōu)質(zhì)課評比，比賽課題是“等差數(shù)列的前n項和”第一課時，經(jīng)過區(qū)、縣選拔后，來自全市不同學校的7名選手進行展示.筆者結(jié)合7節(jié)課中的一些共同現(xiàn)象，對高中數(shù)學課堂如何突破“核心”問題談一些看法.

一、課堂共同現(xiàn)象總結(jié)與剖析

高中數(shù)列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數(shù)列.本次比賽“等差數(shù)列的前n項和”是選自蘇教版高中數(shù)學實驗教科書必修5中的2.2.3的內(nèi)容.該內(nèi)容是學生在學習了等差數(shù)列的定義及相關(guān)性質(zhì)之后的后繼學習內(nèi)容，“倒序相加”法是本節(jié)課的重要方法，如何聚焦該方法的產(chǎn)生、發(fā)展和反思過程，是本節(jié)課的核心內(nèi)容，下面就7位選手課堂中出現(xiàn)的共同現(xiàn)象進行分析.

（一）“小高斯”的隱憂

7位選手新課引入環(huán)節(jié)圖文并茂，都創(chuàng)設了精彩的問題情境，有從《張丘建算經(jīng)》中錢幣數(shù)算起，有從印度泰姬陵陵寢中寶石數(shù)算起，還有從等差數(shù)列的定義復習開始等等，引入過后都不約而同地歸結(jié)到高斯小時候計算[1+2+3+4+…+100=]？的問題，這個故事很多學生曾經(jīng)聽說過，遺憾的是選手對待這個故事都采取“選而不用”的方式，只介紹高斯的“配對求和”法后匆忙離去，給后繼內(nèi)容的討論留下隱憂.其實“小高斯”之所以能想到這樣的解法，除自身的聰明以外，和他父親長期的熏陶有很大關(guān)系，這里教師不妨做短暫的停留，從數(shù)學史的角度介紹一下這位“數(shù)學王子”的生平，然后提出三個問題：（1）這是一個什么類型的問題？（2） “小高斯”是用什么方法快速得到答案的？（3）今天的你再來看“小高斯”的解法有什么新的體會和想法？

此法對于中間項的表示大多數(shù)學生感到很困難，此處可降低要求，適可而止，不必用字母計算困擾學生，因為當學生都把注意力集中在如何求“奇”數(shù)項的和上，無疑沖淡了“倒序相加”法的探究.

（三）“倒敘和”的突兀

“倒序相加”法是本節(jié)課的重點內(nèi)容和重要方法，該方法何時“隆重登場”？怎樣“精彩亮相”？筆者認為，應該是在學生對“配對求和”法經(jīng)過反復思考和深入探究，找到前后項之間的內(nèi)在聯(lián)系后，抑或在研究[n]為奇數(shù)對[Sn=1+2+3+4+…+n]求和產(chǎn)生困難時，自然而然地流淌出“把[1+2+3+4+…+n]倒過來再相加”的想法.

其中有兩位選手在沒有充分研究“配對求和”法和討論奇偶項的前提下，直接提出問題：“大家受到高斯解法的啟發(fā)，能不能采用倒過來相加的方法？”讓學生感到很突兀，認為“倒敘和”是“天上掉下來的林妹妹”，是教師硬塞的.怎么想到要倒敘？倒敘后為什么要求和？“倒敘相加”和高斯的“配對求和”有什么不同？等等，這些問題不解決，何來思維方式的完善，數(shù)學思想的感悟，核心素養(yǎng)的發(fā)展？

二、關(guān)于本節(jié)課“核心”問題的聚焦與分析

數(shù)學家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學的心臟.”一堂有價值的探究課通常用問題串來引領(lǐng).問題串則是在“核心”問題的統(tǒng)領(lǐng)下由一系列“小問題”構(gòu)成，這不僅需要我們設計好“小問題”，更要能站在系統(tǒng)理解數(shù)學知識和把握數(shù)學本質(zhì)的高度聚焦“核心”問題.“核心”問題是一節(jié)課的中心問題，是教師充分關(guān)注學科問題和學生的基礎，注重數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘數(shù)學的思想和方法，設計提出的有一定開放性和挑戰(zhàn)性、能夠引領(lǐng)學生積極探究和深度思考的問題.

本節(jié)課教師如何突破“為什么要倒敘相加”這一“核心”問題，如何設計相關(guān)的問題串，如何讓學生在自然探究、自主發(fā)現(xiàn)、自由反思中實現(xiàn)這一“核心”問題的解決就顯得尤為重要.下面從三個方面進行分析.

（一）以創(chuàng)設問題情境為切入點，讓探究更自然

問題離不開情境.適合的問題情境，在課的引入階段就能引起強烈的認知沖突，激發(fā)學生高漲的熱情和探究的欲望.一般來講，“情”與“境”應該是問題的“一體兩翼”，設計情境時，要“情”“境”并重，以“情”為經(jīng)，將學生學習的態(tài)度、興趣、情感等方面考慮在內(nèi);以“境”為緯，創(chuàng)設相應具體的問題，為教學的順利進行做好鋪墊.

本節(jié)課中為了引入等差的前n項和，選手們竭盡所能，創(chuàng)設了各種不同的情境（前文已有介紹）.有的選手PPT展示的情境雖熱鬧繁華，但與數(shù)學關(guān)系不大，聽后給人的感覺是繞了很大的彎子;有的則是為了引入而引入.其實，對于學習了等差的定義和性質(zhì)之后，繼續(xù)學習前n項和的內(nèi)容，學生是不難想到的.對于目前高中數(shù)學課堂中出現(xiàn)的去“數(shù)學化”現(xiàn)象，單墫教授曾不無憂慮地講：數(shù)學課要講數(shù)學.本節(jié)課教師是否可以這樣引入：“在學習了等差的定義和性質(zhì)之后今天我們繼續(xù)學習等差的前n項和.”然后通過問題串引發(fā)學生思考：

（1）對于一般的問題研究，我們通常從特殊情形開始，你能否舉幾個簡單的等差數(shù)列求和例子？

（2）上述等差數(shù)列求和，你用的是什么方法？

（3）數(shù)學史上有這樣的例子嗎？

用這樣的問題串切入既單刀直入，簡潔自然，又可以激起學生強烈的求知欲，同時滲透對數(shù)學問題研究的一般方法，小高斯的故事也浮出水面.

（二）以突破“核心”問題為立足點，讓發(fā)現(xiàn)更自主

對于本課中“為什么要倒敘相加”這一“核心”問題，課本中是用“倒置同樣一堆鋼管”引出的，教師上課時如果“照本宣科”，表面上看，學生是記住了公式，再加上大量的習題訓練，短時間內(nèi)做起題來正確率會很高，但這樣缺少從無到有的思路尋找，缺少從“想給學生看”到“學生自己想”的情境創(chuàng)設和自主發(fā)現(xiàn)的過程，遺忘起來也會很快，更難進行遷移，這其中數(shù)學思想方法、核心素養(yǎng)等潛在價值更是無從談起.

選手們沒有“照本宣科”，都采用了生動的“小高斯”引例，問題的關(guān)鍵是怎樣由“小高斯”“配對求和”升級到“倒敘相加”？比賽時，有選手說“從小高斯的求法得到啟發(fā)，然后進行倒敘相加？”一般的學生在這個“啟發(fā)”的地方有很大的認知難度，感覺有點“啟而不發(fā)”，其實這二者之間缺乏必然的聯(lián)系，這種“啟發(fā)”似乎是把倒序相加法拋給學生而找的一種借口，筆者認為由高斯算法受到啟發(fā)而獲得“倒序相加”法這一思維過程的自然性與邏輯性應該受到質(zhì)疑.由“配對求和”升級到“倒敘相加”需要巨大的思維跨越和思維靈感才能完成，這樣的“啟發(fā)”無疑脫離了學生思維的最近發(fā)展區(qū)，事實上成了“告訴學生一個方法”.如何讓學生通過研究“配對求和”法后獲得一般等差數(shù)列的前n項和公式，這才是真正對學生思維品質(zhì)和思維能力提升有價值的地方.

涂榮豹教授在2017年江蘇省骨干教師培訓活動中談到本節(jié)課這一“核心”問題時也說：一定要讓學生通過自己想，然后自己悟出“倒敘相加”法.在他的啟發(fā)與指導下，筆者在課堂上做出這樣的嘗試，得到他的肯定.實錄片段如下.

該嘗試，在“核心”問題的統(tǒng)領(lǐng)下，設計出一系列問題串，讓學生在疑慮中探究，在探究中經(jīng)歷深刻的思考，通過一系列問題串的解決，“核心”問題被自然突破，等差數(shù)列前n項和公式的推導也就水到渠成！

（三）以揭示思想方法為落腳點，讓反思更自由

數(shù)學思想方法是從具體數(shù)學認識中提煉和概括出來的，其在后繼的學習活動中反復得到驗證，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征.它能揭示數(shù)學發(fā)展的普遍規(guī)律，能直接支配數(shù)學實踐活動，對問題的探究起著導向作用，是數(shù)學的靈魂.“核心”問題引領(lǐng)式教學必須高度重視對一些重要數(shù)學思想和方法的滲透，從而加深學生對數(shù)學概念、公式、定理、規(guī)律的理解，提高學生的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，把揭示數(shù)學思想和方法作為課堂最終的落腳點，促進數(shù)學思想方法的真正內(nèi)化，讓課堂加速從“知識傳授”向“素養(yǎng)提升”的轉(zhuǎn)變.

數(shù)學的重要方法往往是“看”出來的.本節(jié)課在“核心”問題突破環(huán)節(jié)，要留給學生足夠的交流、探究、反思的時間，通過對公式[Sn=n（a1+an）2]中“數(shù)”的清晰表達和“形”的直觀呈現(xiàn)，讓學生經(jīng)歷自由的思考，親自“看”出倒序相加法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程，隱藏其中的特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想就得到揭示，學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)也得到發(fā)展和提升.

綜上，我們要深入理解“核心”問題在數(shù)學教學中的意義和價值，教師圍繞“核心”問題所設計的問題串應該具有挑戰(zhàn)性（即形成認知沖突）、啟發(fā)性（即引發(fā)數(shù)學思考）和可接受性（即處于學生認知最近發(fā)展區(qū)），讓學生在對問題的自主探究中實現(xiàn)對知識的自我建構(gòu)，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，學會數(shù)學的思考和表達，從而提升數(shù)學核心素養(yǎng).