李建明

【摘要】高等數(shù)學(xué)作為公共基礎(chǔ)課程，在諸多領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用，例如經(jīng)濟(jì)管理、自然科學(xué)、生命科學(xué)以及工程技術(shù).但由于高等數(shù)學(xué)涉及知識(shí)點(diǎn)眾多，章節(jié)之間聯(lián)系緊密，要求學(xué)習(xí)者要建立嚴(yán)密的思維方式和習(xí)慣，這樣才能更好地掌握與應(yīng)用知識(shí).在高等數(shù)學(xué)中，一題多解體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想，能夠幫助學(xué)生有針對(duì)性地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維.本次將圍繞一題多解樣例展開論述，重點(diǎn)分析在高職高等數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的具體方式，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高職;高等數(shù)學(xué);一題多解;有效路徑

一題多解指的是利用差異化的策略解答同一道題.鑒于每個(gè)人在思考以及思維層面存在多元化的分析切入點(diǎn)，因此可以建立不同類型的解決路徑，所以高職學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)常會(huì)面臨一題多解的情形.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅是掌握解題方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維，這既是高職教育的要求，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.具體而言，一題多解廣泛存在于各類研究活動(dòng)以及教育活動(dòng)之中，極大推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

一、一題多解在高職高等數(shù)學(xué)中的重要價(jià)值

在高職高等數(shù)學(xué)中，一題多解已經(jīng)得到了普遍應(yīng)用.一題多解的本質(zhì)是圍繞中心原理進(jìn)行延伸，用不同的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的重要舉措.一題多解對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練極為明顯，學(xué)生可以在不同的解法中深化對(duì)定理的認(rèn)識(shí).另外，高等數(shù)學(xué)往往存在大量的公式符號(hào)，會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥感和疲勞感，利用一題多解，可以讓學(xué)生在同一道題中領(lǐng)悟不同解題思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維，增加學(xué)生的解題成就感.

二、一題多解在高職高等數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）利用一題多解讓學(xué)生更為深入地感知高數(shù)概念

在微積分中，不定積分的重要意義不言而喻.由于不定積分為微分計(jì)算的逆計(jì)算，和微分計(jì)算相比，其難度往往更大.教師在介紹不定積分概念的過(guò)程中，通常會(huì)對(duì)原函數(shù)的概念加以闡述.鑒于原函數(shù)具有不唯一性，不同原函數(shù)之間存在一個(gè)常數(shù)，所以將帶有常數(shù)C的全部原函數(shù)均稱作不定積分.但是在實(shí)際教學(xué)中，部分高職學(xué)生對(duì)這一概念的理解存在偏差，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不理想.

例1 求解不定積分∫2sin xcos xdx.

解析 利用一題多解的思路讓學(xué)生掌握不定積分的概念，針對(duì)該題可以利用三種方式加以解決，具體如下.

第一種解法：借助倍角公式sin 2x=2sin xcos x，隨后應(yīng)用第一類換元法，湊微分法，即可解決.

原式=∫sin 2xdx=12∫sin 2xd（2x）=-12cos 2x+C.

第二種方法：跳過(guò)換元法直接采用湊微分法.

由于cos xdx=dsin x，

那么，可以將原式轉(zhuǎn)成為∫2sin xdsin x=sin2x+C.

第三種解法：同樣直接采用湊微分法.

設(shè)sin xdx=-dcos x，

那么原式=-∫2cos xdcos x=-cos 2x+C.

從上面三種方法可知，三種不同的解題思路會(huì)有三種不同的結(jié)果，這是什么原因？究竟哪一個(gè)答案是正確的？通過(guò)原函數(shù)的定義，可知F′（x）=f（x），

那么通過(guò)驗(yàn)證可知：

-12cos 2x′=-12（-sin 2x）×2=sin 2x=2sin xcos x，為被積函數(shù);

另外，（sin 2x）′=2sin xcos x，也是被積函數(shù);

（-cos 2x）′=-2cos x（-sin x）=2sin xcos x，同為被積函數(shù).

所以，上述三種解法均正確，進(jìn)而可以掌握結(jié)果和被積函數(shù)之間的實(shí)際關(guān)系，原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和被積函數(shù)具有相等關(guān)系.

另外，通過(guò)倍角公式可以推導(dǎo)出：

-12cos 2x=-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+12=-（1-sin 2x）+1[]2=sin 2x-1[]2.

這意味著，以上三種不同結(jié)論的差為一個(gè)常數(shù)，也進(jìn)一步體現(xiàn)了原函數(shù)的定義：一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，不同原函數(shù)均相差一個(gè)常數(shù)C，也顯示出對(duì)于相同的不定積分試題而言，即使結(jié)果形式有所差異，其本質(zhì)并未改變.所以利用一題多解可以讓學(xué)生更加深刻地理解原函數(shù)以及不定積分的含義.

（二）引導(dǎo)學(xué)生活學(xué)活用，實(shí)現(xiàn)觸類旁通

部分學(xué)生由于沒有深入了解和掌握一元隱函數(shù)求導(dǎo)法則，因此剛接觸二元隱函數(shù)求導(dǎo)會(huì)產(chǎn)生消極心理，心生畏懼.針對(duì)這一情況，教師為了消除學(xué)生的畏懼心理，需要應(yīng)用一題多解方法，使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握更加系統(tǒng).

例1 令y2=2-xey，那么dydx的值是多少？

解析

第一種解法：采取直接求導(dǎo)法，將等式的左側(cè)與右側(cè)同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，而y需要被視作關(guān)于x的函數(shù)，那么，

2ydydx=0-ey-xeydydx，

等式變換后，可得

dydx=-ey2y+xey.

第二種解法：借助關(guān)系式dydx=-FxFy.

由于上式中x，y無(wú)關(guān)，

設(shè)F（x，y）=2-xey-y2，

由此可得Fx=-ey，F(xiàn)y=-xey-2y，

dydx=-FxFy=-ey2y+xey.

第三種解法：借助微分形式不變形的特點(diǎn)將等號(hào)左邊和右邊予以全微分，同時(shí)x，y無(wú)關(guān)，那么

d（y2）=d（2-xey），

2ydy=0-eydx-xeydy，

所以dydx=-ey2y+xey.

由以上三類解題思路，可知對(duì)于第一種解題方法而言，應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注y與x的具體聯(lián)系，將y視作x的函數(shù)，而在第二種以及第三種解題思路中，x，y無(wú)關(guān).厘清上述三種不同類型解題方法的核心邏輯才能更好地解決隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，最終為學(xué)習(xí)二元隱函數(shù)求導(dǎo)法創(chuàng)造條件.所以，筆者會(huì)利用二元函數(shù)求導(dǎo)案例，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到二元隱函數(shù)和一元隱函數(shù)求導(dǎo)具有相同性質(zhì).

例3 如果x+y3-ez=2z，那么請(qǐng)計(jì)算zx和zy的值.

解析 第一種解法：采取直接求導(dǎo)法，應(yīng)該重點(diǎn)分析x，y，z之間的關(guān)系，即z為x，y的函數(shù)，而x與y無(wú)關(guān).

所以，等式左邊和右邊均對(duì)x求導(dǎo)，可得

1-ez×zx=2zx，通過(guò)計(jì)算得zx=12+ez，

等式左邊和右邊均對(duì)y求導(dǎo)，得到

此時(shí)，可將x，y，z三個(gè)變量視作獨(dú)立變量，再將F對(duì)三個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù).設(shè)F（x，y，z）=x+y3-ez-2z，

所以可得到Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z的具體數(shù)值，即

Fx=1，F(xiàn)y=3y2，F(xiàn)z=-ez-2，

第三種解法：直接應(yīng)用微分法，將x，y，z視作獨(dú)立變量，等式的左、右兩邊都計(jì)算全微分，再運(yùn)用等式dz=zxdx+zydy確定z[]x以及zy的值.具體過(guò)程如下：

d（x+y3-ez）=d（2z），dx+3y2dy-ezdz=2dz，dz=12+ezdx+3y22+ezdy，

有上述案例中，一題多解在高等數(shù)學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，特別是在理解重要概念以及難點(diǎn)概念時(shí)，一題多解能夠讓學(xué)生串聯(lián)已學(xué)知識(shí)和新知識(shí)，并在其中展開類比以及推廣，這可以有效培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力以及創(chuàng)新意識(shí)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定良好基礎(chǔ).

（三）一題多解在證明題中的應(yīng)用

例4 已知f（x）在[0，1]上連續(xù)并且單調(diào)不增，請(qǐng)你證明如果0≤μ≤1，∫μ0f（x）dx≥μ∫10f（x）dx.

解析 本題可以通過(guò)多種方法加以理解，具體可以從函數(shù)單調(diào)性、定積分換元法、積分中值定理、定積分的性質(zhì)以及微分中值定理等角度切入證明.

證明一：假設(shè)F（μ）=∫μ0f（x）dx-μ∫10f（x）dx，

由題設(shè)條件，可知

F（1）=F（0）=0，

F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx.

由此可見，f（x）在[0，1]上符合羅爾定理，因此，有ξ∈（0，1），使F′（ξ）=0，那么f（ξ）=∫10f（x）dx.

由于f（x）在[0，1]上連續(xù)并且單調(diào)不增，所以可分成兩種情況，即

如果μ>ξ，

那么F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx=f（μ）-f（ξ）≤0;

如果μ<ξ，

那么F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx=f（μ）-f（ξ）≥0.

因此，ξ為F（μ）的最大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，所以F（μ）在[0，1]內(nèi)的最小值是F（1）=F（0）=0，所以F（μ）≥0，原不等式得以證明.

證明二：可以把問(wèn)題不等式轉(zhuǎn)變成變上限積分，隨后借助函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來(lái)證明原式，例如需要證明∫μ0f（x）dx≥μ∫10f（x）dx，就相當(dāng)于要驗(yàn)證

∫μ0f（x）dxμ≥∫10f（x）dx1（μ≥0）.

假設(shè)F（x）=∫x0f（t）dtμ，所以只要驗(yàn)證F（x）單調(diào)不增即可，而

F′（x）=xf（x）-∫10f（t）dtx2，

由于f（x）連續(xù)，借助積分中值定理，可得

F′（x）=xf（x）-xf（ξ）x2=f（x）-f（ξ）x，0≤ξ≤x.

而由于f（x）單調(diào)不增，因此f（ξ）≥f（x），所以F′（x）≤0，意味著f（x）單調(diào)不增，那么，當(dāng)0<μ≤1，存在F（μ）≥F（1），如果μ=0，那么原式即可成立.

證明三：設(shè)F（x）=∫x0f（t）dtμ，

那么F′（x）=xf（x）-∫x0f（t）dtx2=∫x0f（x）dt-∫x0f（t）dtx2=∫x0[f（x）-f（t）]dtx2.

由于f（x）在[0，1]上連續(xù)并且單調(diào)不增，那么f（x）≤f（t），所以F′（x）≤0，即F（x）單調(diào)不增，因此原不等式得以證明.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，一題多解貫穿高等數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，掌握一題多解可以更好地掌握與理解高等數(shù)學(xué)的概念以及相應(yīng)的解法，對(duì)于提升解題效率極具價(jià)值.因此，教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)該有針對(duì)性地進(jìn)行一題多解的專項(xiàng)訓(xùn)練.