孔凡貴

摘? 要：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中增設(shè)了數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容，本文基于新課標(biāo)簡(jiǎn)要探討了模型思想的內(nèi)涵及在教學(xué)中的滲透路徑，著重指出教師應(yīng)特別重視數(shù)學(xué)廣角教學(xué)中模型思想的滲透，并以人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“確定起跑線”為例進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)廣角;模型思想;教學(xué)心得

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中增設(shè)了數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容，本文認(rèn)為在數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)中教師要特別著重模型思想的滲透，以下結(jié)合筆者的教學(xué)思考對(duì)此作一簡(jiǎn)要探討，希望對(duì)一線教師有所啟示。

一、模型思想的內(nèi)涵解讀及在教學(xué)中的滲透路徑

根據(jù)課標(biāo)中的敘述，模型思想的建立“是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程主要為從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，最終求出結(jié)果”。通俗來講，模型思想就是利用書本上的知識(shí)來解決實(shí)際問題的，由此而言，模型思想的滲透是以實(shí)際問題為載體，除了在日常教學(xué)中多引入一些實(shí)際案例外，要特別重視數(shù)學(xué)廣角的利用，因?yàn)閿?shù)學(xué)廣角都是關(guān)于實(shí)際問題的解決的，其內(nèi)容中蘊(yùn)含著典型的模型思想，設(shè)置數(shù)學(xué)廣角的基本目的也就在于培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。然而很多教師往往認(rèn)識(shí)不到這一點(diǎn)，從課標(biāo)中對(duì)模型思想的解讀來看，在教學(xué)中，不但要使學(xué)生能夠解決具體的問題，還要使學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，同時(shí)教師注意揭示和強(qiáng)調(diào)實(shí)際問題中所蘊(yùn)含的模型的實(shí)質(zhì)，也就是普遍性的規(guī)律，這是滲透模型思想的關(guān)鍵所在，下面以人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“確定起跑線”為例來加以探討。

二、“確定起跑線”問題中蘊(yùn)含的模型思想

“確定起跑線”是小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)在學(xué)完圓的周長(zhǎng)和面積知識(shí)之后的綜合與實(shí)踐內(nèi)容。這個(gè)問題對(duì)學(xué)生的抽象思維和應(yīng)用能力有較高的要求。

例：在運(yùn)動(dòng)會(huì)上，我們觀察到運(yùn)動(dòng)員總是站在不同的起跑線上。為什么運(yùn)動(dòng)員要站在不同的跑道上呢？因?yàn)榻K點(diǎn)相同，如果在同一起跑線上，外圈的運(yùn)動(dòng)員跑的距離比里圈的長(zhǎng)，所以外圈運(yùn)動(dòng)員的起跑位置應(yīng)該往前移。那么，不同跑道的運(yùn)動(dòng)員之間的距離應(yīng)該相差多少呢？

解析：首先，抽象直觀圖形。跑道由兩條直段跑道和兩個(gè)半圓形跑道組成。兩個(gè)半圓形跑道合起來就相當(dāng)于一個(gè)“圓形跑道”。已知直道的長(zhǎng)度是85.96m，第一條半圓形跑道的直徑為72.6m，每條跑道寬1.25m，如下圖所示：

其次，理清計(jì)算思路。通過觀察以上直觀圖形，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)這樣的關(guān)系：每條跑道全長(zhǎng)=兩條直道長(zhǎng)度+“圓形跑道”周長(zhǎng)。各條直道的長(zhǎng)度都一樣，因此計(jì)算出每條“圓形跑道”的周長(zhǎng)是關(guān)鍵。己知最里面第一條半圓形跑道直徑是72.6m，大圓和小圓的直徑之差是跑道寬度的2倍，那么第二條半圓形跑道的直徑為75.1+1.25×2=77.6m，第三條半圓形跑道的直徑為75.1+1.25×2=77.6m，依此類推。在計(jì)算出每條跑道的全長(zhǎng)之后，跑道的全長(zhǎng)之差就是每個(gè)運(yùn)動(dòng)員之間相差的距離。

然后，列表發(fā)現(xiàn)規(guī)律。列表法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要途徑和方法。本例中用到直徑、周長(zhǎng)、全長(zhǎng)三個(gè)變量和直道長(zhǎng)度一個(gè)常量，列表計(jì)算如下：

學(xué)生計(jì)算并填表后（π取3.14159），就不難得出結(jié)論：每條跑道的總長(zhǎng)相差，即不同跑道的運(yùn)動(dòng)員之間應(yīng)相差7.85m。具體計(jì)算過程是：設(shè)第一條半圓形跑道的直徑是d1，第二條半圓形跑道的直徑是d2，第三條半圓形跑道的直徑是d3，則第一條跑道的全長(zhǎng)為πd1+85.96×2=400m，第二條跑道的全長(zhǎng)為πd2+85.96×2=407.85m。第二條跑道與第一條跑道長(zhǎng)度的差為（πd2+85.96×2）-（πd1+85.96×2）=π（d2-d1）=3.14159×2.5=7.85。其他跑道全長(zhǎng)之差的汁算方法依此類推。

最后，簡(jiǎn)化計(jì)算過程。學(xué)生通過表格的方式很容及得到所需的結(jié)果，然而思維能力較強(qiáng)的學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后還能以更簡(jiǎn)便的方式計(jì)算出結(jié)果，即用算出每條跑道的全長(zhǎng)也能求出它們相差多少米。從上面的算式中可以得出：跑道之問的長(zhǎng)度差實(shí)際上就是“圓形跑道”的周長(zhǎng)差，即C大圓-C小圓=π（d大圓-d小圓）。由于大圓和小圓的直徑之差就是跑道寬度的2倍，用w表示跑道的寬度，即d大圓-d小圓=2w。將兩個(gè)式子合在一起就是C大圓-C小圓=2πw。在本例中，大圓和小圓直徑之差為1.25×2=2.5m，所以大圓和小圓的周長(zhǎng)之差就是3.14159×2.5=7.85m，這個(gè)結(jié)果和上面表格中的計(jì)算結(jié)果是吻合的。所以，在計(jì)算起跑線上運(yùn)動(dòng)員的距離時(shí)，我們只需知道每條跑道的寬度就能很快算出結(jié)果，這大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。

結(jié)束語：

“確定起跑線”問題涉及小學(xué)階段的很多數(shù)學(xué)知識(shí)，如，圓的直徑、周長(zhǎng)、四則混合運(yùn)算律、字母表示數(shù)等，該問題最終可理解為高年級(jí)的同心圓知識(shí)，這些數(shù)學(xué)知識(shí)本身就是數(shù)學(xué)模型。學(xué)生解決該問題的過程經(jīng)歷了抽象直觀圖形、理清計(jì)算思路、列表發(fā)現(xiàn)規(guī)律、簡(jiǎn)化計(jì)算過程四個(gè)階段。整個(gè)探索過程需要學(xué)生具備一定的抽象思維能力、符號(hào)表達(dá)能力和直覺能力。學(xué)生通過列表計(jì)算最終得出的算式C大圓-C小圓=2πw就是該問題的數(shù)學(xué)模型，該模型可以說是“模型的模型”，整個(gè)解題過程體現(xiàn)了“異常精純”的數(shù)學(xué)模型思想。

參考文獻(xiàn)：

[1]張海燕. 數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 現(xiàn)代教育，2015（10）.

[2]卓秀安. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的構(gòu)建[J]. 考試周刊，2018（2）：98-98.