摘 要： 教學(xué)中，要注重?cái)?shù)學(xué)教材隱性知識(shí)的發(fā)掘，把隱性知識(shí)和顯性知識(shí)互相融合，才能建構(gòu)出多姿多彩的數(shù)學(xué)課堂。本文建議從五個(gè)方面對(duì)教材進(jìn)行合理發(fā)掘，準(zhǔn)確把握重難點(diǎn)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方向;另提出四點(diǎn)教學(xué)建議，以期達(dá)到架構(gòu)多維課堂的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞： 隱性知識(shí);顯性知識(shí);多維課堂

一、 提出背景

隱性知識(shí)即不能被語(yǔ)言、文字、圖表或數(shù)學(xué)公式等直接表述的知識(shí)，是一種非語(yǔ)言智力活動(dòng)的默會(huì)知識(shí)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，顯性知識(shí)是教材明確提出的知識(shí)，猶如露在水面的冰山一角，師生可以直觀看到它的存在。而隱性知識(shí)是隱藏于水面之下體型較大但又無(wú)法直接觀測(cè)的知識(shí)，它是教材沒(méi)有明確提出卻又隱含其中的知識(shí)。它需要通過(guò)教師潛移默化的影響，學(xué)生親身體驗(yàn)，才能將其加以領(lǐng)會(huì)和內(nèi)化。但由于隱性知識(shí)具有偶然性和隱蔽性，難以捕捉，在教學(xué)中很多教師忽略了它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。筆者以人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材為例，探討如何挖掘教材隱性知識(shí)及如何發(fā)揮其在課堂教學(xué)中的重要作用，以供同行參考。

二、 教材隱性知識(shí)的發(fā)掘策略

（一）從教材目錄中發(fā)掘隱性知識(shí)

數(shù)學(xué)教材目錄標(biāo)題是對(duì)整冊(cè)內(nèi)容的高度梳理和概括，容納所需學(xué)習(xí)的主體知識(shí)或知識(shí)源。只要把握住主體知識(shí)體系，輔助知識(shí)的學(xué)習(xí)自然水到渠成。在新知學(xué)習(xí)前，引領(lǐng)學(xué)生依據(jù)教材目錄標(biāo)題編排順序縱向了解知識(shí)結(jié)構(gòu)，梳理知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)，明確新舊知識(shí)模塊的內(nèi)外關(guān)聯(lián)。有助于學(xué)生減少新知學(xué)習(xí)的焦慮感，融合舊知增進(jìn)新知學(xué)習(xí)的親切感，激發(fā)新知學(xué)習(xí)的渴求感，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)造就良好開(kāi)端。例如，通過(guò)對(duì)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材目錄標(biāo)題的研讀，引導(dǎo)學(xué)生觀察整冊(cè)書(shū)共五章，其結(jié)構(gòu)主體分為兩塊“幾何圖形”和“代數(shù)運(yùn)算”。前三章是三角形相關(guān)幾何知識(shí)，以小學(xué)已學(xué)的三角形基礎(chǔ)知識(shí)及七年級(jí)所學(xué)的幾何圖形初步為起步階梯，進(jìn)一步探究三角形有關(guān)性質(zhì);后兩章是整式和分式運(yùn)算，是以學(xué)生熟悉的整式加減和分?jǐn)?shù)運(yùn)算為背景的代數(shù)運(yùn)算。在分析教材主體的基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生從全局把控?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的整體性，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)建性思考能力，展延課堂寬度。

（二）從教材章頭語(yǔ)中發(fā)掘隱性知識(shí)

章頭語(yǔ)是始于單元知識(shí)前的文字說(shuō)明，概括性強(qiáng)、內(nèi)容深廣、承前啟后，涵蓋和單元知識(shí)相關(guān)的實(shí)際情境，是教材的重要組成部分。對(duì)整個(gè)單元起到提綱挈領(lǐng)的作用，具有較強(qiáng)的教學(xué)指導(dǎo)作用。例如，教材第十四章《整式的乘法與因式分解》章頭語(yǔ)提出是在七年級(jí)學(xué)習(xí)整式的加減的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式乘法，并類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，以運(yùn)算定律為基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)整式乘法與因式分解。著重闡明了新知學(xué)習(xí)所必備的舊知前提，以及學(xué)習(xí)本章所采用的主要數(shù)學(xué)方法，即類(lèi)比“數(shù)的運(yùn)算”啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到“式的運(yùn)算”。故教師在講解新內(nèi)容前，通過(guò)合情設(shè)計(jì)先前組織材料，將章頭語(yǔ)所涉及的整式概念及其加減運(yùn)算、運(yùn)算定律、運(yùn)算定律正逆運(yùn)用等必備知識(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化鞏固，查漏補(bǔ)缺，為新知學(xué)習(xí)掃除障礙。通過(guò)復(fù)習(xí)回顧，啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會(huì)知識(shí)之間的橫縱關(guān)聯(lián)，為新知學(xué)習(xí)提供心理平臺(tái)，讓深度教學(xué)真正發(fā)生。

（三）從教材插圖中發(fā)掘隱性知識(shí)

在教材中出現(xiàn)不同類(lèi)型的插圖，如生產(chǎn)生活類(lèi)插圖、科技類(lèi)插圖、操作類(lèi)插圖、實(shí)驗(yàn)類(lèi)插圖、圖形類(lèi)插圖等，通過(guò)插圖直觀形象的導(dǎo)入通常更貼合學(xué)生實(shí)際，更有課堂帶入感，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生逐漸對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣不再只有恐懼。例如，教材第十三章第一節(jié)《軸對(duì)稱(chēng)》中涉及建筑物設(shè)計(jì)等插圖，教師可從學(xué)生認(rèn)知出發(fā)解讀插圖，進(jìn)一步探索設(shè)計(jì)建筑物時(shí)常用的幾何圖形，組織學(xué)生查閱資料探討軸對(duì)稱(chēng)建筑物設(shè)計(jì)的成因及優(yōu)劣。在學(xué)生探索分析的過(guò)程中，逐步達(dá)到對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形的深刻理解，激活概念的內(nèi)涵。進(jìn)一步把已學(xué)幾何圖形與軸對(duì)稱(chēng)互聯(lián)成幾何統(tǒng)一體，促進(jìn)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之美，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。教材插圖超越了事實(shí)知識(shí)的刻板陳述，轉(zhuǎn)變成鮮活生動(dòng)的現(xiàn)實(shí)情境，揭示了教材隱性的育人意義。

（四）從教材習(xí)題中發(fā)掘隱性知識(shí)

教材習(xí)題是對(duì)教材內(nèi)容的深化，對(duì)教材例題的拓廣，對(duì)教材知識(shí)的延伸，對(duì)解題方法的鞏固。教師通過(guò)挖掘習(xí)題類(lèi)型、總結(jié)解題方法、剖析解題思想，進(jìn)而深入理解教材重難點(diǎn)、把握編者設(shè)計(jì)意圖及命題方向，從而使教學(xué)更有目標(biāo)性和針對(duì)性。例如，在教材第十四章第一節(jié)課后習(xí)題第13題：2m=a，32n=b，m，n為正整數(shù)，求23m+10n。該例題中只顯示正用法則，并未給出綜合性正逆運(yùn)用法則的題型。所以，教師可由教材課后習(xí)題開(kāi)發(fā)正用、反用、活用運(yùn)算法則的題型，進(jìn)一步提供給學(xué)生一些其他的且具有價(jià)值的學(xué)習(xí)材料以訓(xùn)練學(xué)生綜合應(yīng)用能力，并注意總結(jié)規(guī)律性的方法技能。因此，在教學(xué)中就不能只滿足于教材例題的題型，需要參照課后習(xí)題擴(kuò)充不同學(xué)習(xí)材料以幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)更大挑戰(zhàn)。

（五）從教材節(jié)后小字中發(fā)掘隱性知識(shí)

節(jié)后小字部分會(huì)提供給學(xué)生不同的數(shù)學(xué)視野，主要包括：數(shù)學(xué)史、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動(dòng)等類(lèi)型。通過(guò)這部分內(nèi)容，拓寬學(xué)生的知識(shí)廣度，延展學(xué)生的理解深度，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)與其他文化的完美交匯。例如，教材第十三章第三節(jié)《等腰三角形》節(jié)后小字“實(shí)驗(yàn)與探究”三角形中邊與角之間的不等關(guān)系。通過(guò)本次探究證明活動(dòng)，教師可以由“等角對(duì)等邊”的結(jié)論延伸到“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”，并對(duì)該結(jié)論做出嚴(yán)格證明，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中對(duì)相關(guān)規(guī)則的合理性理解，進(jìn)而有效應(yīng)用。

三、 多維課堂的架構(gòu)策略

（一）隱性知識(shí)可視化，架構(gòu)直觀課堂

教材中的顯性知識(shí)學(xué)生通過(guò)自主閱讀教材即可明確，但對(duì)于隱性知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和學(xué)習(xí)就相對(duì)比較困難，需要教師合理發(fā)掘教材、以高觀點(diǎn)視角研讀教材，將隱性知識(shí)顯性化，讓學(xué)生更直觀地領(lǐng)悟顯性背后所蘊(yùn)含的真正數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想。例如，在教材第十四章第三節(jié)《因式分解》例3分解因式：（1）4x2-9;（2）（x+p）2-（x+q）2。例題強(qiáng)調(diào)運(yùn)用平方差公式時(shí)需注意變形的整體性，并未闡明數(shù)字的變形是否可以拓展到實(shí)數(shù)化。教師可通過(guò)此例題引入在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的隱性知識(shí)，進(jìn)而可將其拓展為（3）x2-7;（4）2x2-3。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用平方差公式把各式寫(xiě)成平方差的形式，并將例題中未呈現(xiàn)的知識(shí)可視化、直觀化，避免學(xué)生曲解教材的核心觀念，讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟例題所蘊(yùn)藏的整體思想，感受知識(shí)的整體性。

（二）隱性知識(shí)結(jié)構(gòu)化，架構(gòu)系統(tǒng)課堂

隱性知識(shí)由于其自身具有內(nèi)隱性和默會(huì)性，學(xué)生在體悟內(nèi)化到自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)中時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生知識(shí)結(jié)構(gòu)不系統(tǒng)或條理性缺乏的情況，因此在教學(xué)中可把握隱性知識(shí)和顯性知識(shí)合理融合，構(gòu)建顯隱性知識(shí)互聯(lián)的系統(tǒng)性知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，在完成第十三章《軸對(duì)稱(chēng)》單元教學(xué)后，教師可以通過(guò)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)顯性知識(shí)的回顧，滲透數(shù)學(xué)思想，促使學(xué)生歸納總結(jié)本單元研究問(wèn)題的主要方法是借助圖形的變化研究圖形的性質(zhì)，該方法也是研究幾何圖形時(shí)常用的方法。引導(dǎo)學(xué)生橫向挖掘已學(xué)過(guò)的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)變換都屬于圖形的變化，其實(shí)質(zhì)是圖形的全等，以此把隱性知識(shí)納入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識(shí)系統(tǒng)，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（三）隱性知識(shí)活動(dòng)化，架構(gòu)生動(dòng)課堂

數(shù)學(xué)顯性知識(shí)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由“聽(tīng)懂”到“學(xué)會(huì)”再到“會(huì)學(xué)”的連續(xù)過(guò)程，即“學(xué)中做”。而隱性知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程就需要“做中學(xué)”，在參與課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)的操作中自然而然地體悟隱性知識(shí)，并將其內(nèi)化為自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)的遷移能力。例如，教材第十三章章后數(shù)學(xué)活動(dòng)3等腰三角形中相等的線段，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷折疊、觀察等腰三角形等操作過(guò)程探索發(fā)現(xiàn)等腰三角形中相等的線段，由底邊中點(diǎn)到兩腰距離相等擴(kuò)展到底邊中點(diǎn)到兩腰中點(diǎn)相等。進(jìn)而類(lèi)比發(fā)現(xiàn)等腰三角形中相等線段，學(xué)生觀察角度不同所得結(jié)果自不相同，數(shù)學(xué)課堂自會(huì)迸發(fā)出思維各異的光芒。只有提供學(xué)生在實(shí)操活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的機(jī)會(huì)，數(shù)學(xué)課堂才能生動(dòng)多彩。

（四）隱性知識(shí)人文化，架構(gòu)溫度課堂

新課程理念強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，教材正文由于篇幅有限，無(wú)法進(jìn)行全面進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的編排，故育人價(jià)值常常蘊(yùn)藏于隱性知識(shí)之中。因此，需要教師充分挖掘，進(jìn)一步揭示教材的深層含義。例如，教材第十四章第二節(jié)《乘法公式》后的小字閱讀與思考欄目，介紹了古代數(shù)學(xué)中的“楊輝三角”問(wèn)題，揭示了完全平方式背后的一位人物及其數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，讓學(xué)生感受歷史人物發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的求知精神，激發(fā)學(xué)生的求知欲。同時(shí)，教師把所學(xué)知識(shí)由（a+b）2拓展到（a+b）n，通過(guò)揭開(kāi)（a+b）n的面紗，從數(shù)學(xué)史的角度把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。進(jìn)而拓寬了學(xué)生的知識(shí)面，滿足了學(xué)生的好奇心，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文底蘊(yùn)，傳遞了更寬廣，更有溫度的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于為學(xué)生形成全面的數(shù)學(xué)觀。

四、 思考與建議

教材中的隱性知識(shí)和顯性知識(shí)如影隨形，兩者的學(xué)習(xí)也是同步進(jìn)行。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是傳遞顯性知識(shí)的過(guò)程，更是不斷挖掘教材中的隱性知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看透知識(shí)本質(zhì)思想的過(guò)程。要實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程教學(xué)就需要注重以下兩個(gè)方面：一方面，合理設(shè)置情境誘導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，只有提出問(wèn)題才能探究問(wèn)題，才能變被動(dòng)接受為主動(dòng)探究與意義建構(gòu)，逐步掌握顯性知識(shí)。另一方面，在問(wèn)題探究的過(guò)程中，激活學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的深度理解，逐步把顯、隱性知識(shí)互相融會(huì)貫通，將知識(shí)節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成網(wǎng)，進(jìn)而熟練運(yùn)用兩者進(jìn)行解決問(wèn)題。同時(shí)，教師需認(rèn)真研讀教材的背后深意，多角度發(fā)掘教材隱性知識(shí)，開(kāi)發(fā)利用好凝聚編者無(wú)限心血的教材資源，不斷反思、調(diào)整自己的教學(xué)，真正實(shí)現(xiàn)多維的數(shù)學(xué)課堂。

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作者簡(jiǎn)介：

周可，云南省昆明市，云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院。