高等代數(shù)在數(shù)學建模中的應用探討

陳宇航

摘要：作為高等院校一門重要的基礎課程，高等代數(shù)旨在培養(yǎng)大學生的思維能力、推理能力和抽象能力，對后續(xù)其它課程學習與理解具有重要作用。高等代數(shù)在日常生活中有非常廣泛的應用，能夠解決現(xiàn)實生活中的諸多難題。鑒于此，本文通過日常生活案例探討高等代數(shù)在數(shù)學建模中的應用，為大學生高效率、高質量學習高等代數(shù)提供借鑒。

關鍵詞：高等代數(shù);數(shù)學建模;應用

數(shù)學源于生活，也要回歸生活，其主要目的是讓學生學會用數(shù)學的思維方式解決生活中的問題。隨著課程改革的深化，數(shù)學教學的要求也在發(fā)生變化——教師不再只關注知識傳授，更注重學生綜合能力發(fā)展。其中，最為重要的便是如何培養(yǎng)學生解決問題的能力。建模思想作為教師在教學中著重培養(yǎng)學生的數(shù)學思想之一，強調用數(shù)學的思想分析并解決問題，與數(shù)學抽象和數(shù)學推理有著密切聯(lián)系。建模教學以發(fā)展學生的數(shù)學應用能力為主，以發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、提煉模型、實際應用為主線，將數(shù)學知識與具體問題相結合，構建具有真實意義的數(shù)學學習情境，讓學生體驗數(shù)學建模的價值。伴隨教育信息化深入發(fā)展，計算機、互聯(lián)網(wǎng)、智能軟件等作為重要的教學輔助工具逐漸應用于數(shù)學建模教學，這不僅優(yōu)化了教師教學方式，而且直觀地呈現(xiàn)了數(shù)學模型，幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，理解數(shù)學本質。

1 高等代數(shù)與數(shù)學建模思想概述

高等代數(shù)是代數(shù)發(fā)展到高級階段的總稱，一般包括多個分支，如線性代數(shù)和多項式代數(shù)等。隨著時代的發(fā)展，高等代數(shù)的內(nèi)容和應用領域進一步拓展，相關理論研究愈加豐富。然而，高等代數(shù)中有大量概念和定理需要掌握，且抽象性較強難于記憶，因而尋找更適合的學習方式和教學方式成為學習高等代數(shù)的重中之重。

數(shù)學建模思想是按照現(xiàn)實問題，抽象出相關理論依據(jù)并構建起數(shù)學模型來達到解決現(xiàn)實問題的目的。因此，通過理論聯(lián)系實際，將數(shù)學建模思想融入到高等代數(shù)學習中是一種有效方式。首先，高等代數(shù)應用范圍廣，能夠快速建立起相應的數(shù)學模型，對解決問題具有顯著作用;其次，高等代數(shù)較為抽象，而數(shù)學建模具有將知識形象化、實用化等特點，便于理解記憶，快速掌握相關知識點。

2 高等代數(shù)在數(shù)學建模中的應用案例

現(xiàn)如今，高等代數(shù)已在多個學科領域均有廣泛應用，例如經(jīng)濟學、物理學、信息技術等領域，并在解決現(xiàn)實問題中取得重大進步。因此，本文以日常生活中的案例來說明高等代數(shù)在數(shù)學建模中的應用。

案例：某商店出售A、B、C三種商品，顧客1分別購買了A、B、C三種商品各1千克，共花費10元;顧客2購買A商品2千克、B商品1千克、C商品3千克，共花費22元;顧客3購買A商品1千克、B商品3千克、C商品2千克，共花費21元。問：A、B、C三種商品的售價分別是多少？

對此問題解法，在學高等代數(shù)之前，可以通過列三元一次方程組求解結果：

解法一：三元一次方程組

根據(jù)題干信息，可以得到如下三元一次方程組：

通過解該方程組可得，X1=2，X2=3，X3=5，即A商品售價為2元/千克，B商品售價為3元/千克，C商品售價為5元/千克。上述是利用三元一次方程組求解過程，該題是現(xiàn)實生活中的常見問題，也可以通過高等代數(shù)的相關知識進行解答，具體過程如下：

解法二：高等代數(shù)解法

借助題干中所得信息，可以抽象出該題的理論模型，從而用高等代數(shù)中的矩陣構建起問題模型進行求解。依題意可得：

要解得最終結果，首先需要求解系數(shù)矩陣A的逆矩陣A-1，利用矩陣相關知識可以解得系數(shù)矩陣的逆矩陣A-1為：

將等式左右兩邊同時乘系數(shù)矩陣A的逆矩陣A-1，A-1AX=A-1B，可以得到：

由此可以解得，X1=2，X2=3，X3=5，即A商品售價為2元/千克，B商品售價為3元/千克，C商品售價為5元/千克，表明利用高等代數(shù)求解結果與三元一次方程組所得結果一致。綜合上述兩種解法，高等代數(shù)在數(shù)學建模中的應用具有重要意義。首先，有利于為大學生解決現(xiàn)實問題提供一種新的方式，掌握一種新的解題工具，提高大學生學習的積極性和主動性;其次，有利于大學生更高效地掌握高等代數(shù)知識，提高思維能力、提升抽象能力。

3 高等代數(shù)在數(shù)學建模中的應用對策建議

高等代數(shù)不僅是一種科學知識，也是一種科學工具，更有利于人類解決現(xiàn)實問題，因而對大部分大學生而言是一門必須掌握的課程。因此，本文從兩個方面提出學習建議：

第一，培養(yǎng)大學生利用高等代數(shù)與數(shù)學建模思想解決問題的思維。首先，要求大學生對高等代數(shù)相關理論知識有一定的理解，只有掌握牢固的基礎知識，才能學會靈活運用，并學習好更多更深的高等代數(shù)知識;其次，能夠有效地將現(xiàn)實問題或理論問題轉化為數(shù)學模型，只有具備將現(xiàn)實問題聯(lián)系到相關知識點的能力，才能以最快速度建立起合適的數(shù)學模型;最后，要慢慢培養(yǎng)起學習高等代數(shù)的興趣，才能有充足的積極性、主動性去獲取更多知識，并在日常學習與解決問題時注重總結規(guī)律積累、經(jīng)驗。

第二，重視信息科學技術在解決高等代數(shù)問題時的作用。當今世界信息技術發(fā)展速度異常迅猛，大學生作為年輕且富有朝氣的新一代，不僅要學會掌握信息技術，還要積極擁抱信息技術，充分利用計算機等輔助技術解決各類難題。當前，在解決高等代數(shù)相關問題時，也有大量軟件為計算矩陣等結果提供便利，例如Matlab、Mathematica等數(shù)學工具軟件，極大提高了人類運算效率。

參考文獻

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