蘭衍局

摘? 要：拓展性課程有別于基礎(chǔ)性課程，是對(duì)人的和諧、自主、有差異發(fā)展目標(biāo)的完善與提升;小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課程是為了讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、理解和感受數(shù)學(xué)而設(shè)計(jì)的，要“突出拓展性課程的興趣性、活動(dòng)性、層次性和選擇性，滿(mǎn)足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求”。文章所指的“綜合實(shí)踐類(lèi)拓展課程”主要從人教版教材的內(nèi)容出發(fā)，依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，結(jié)合核心素養(yǎng)的要求等方面進(jìn)行拓展和應(yīng)用，更多關(guān)注學(xué)生的薄弱知識(shí)與技能以及高階思維的發(fā)展，它是一些源于教材、寬于教材、高于教學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，是未來(lái)課程發(fā)展的需要。筆者認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐類(lèi)拓展課程學(xué)習(xí)素材研發(fā)，要體現(xiàn)以教材實(shí)踐活動(dòng)為基礎(chǔ)，兼顧不同學(xué)科的內(nèi)容安排，注意積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展和素養(yǎng)提升為重點(diǎn)的基本原則。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);拓展課程;綜合實(shí)踐;素材研發(fā)

華羅庚說(shuō)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！边@是對(duì)數(shù)學(xué)廣泛運(yùn)用于生活的精彩描述。此次課程改革提出要在小學(xué)階段開(kāi)展總課時(shí)量15%左右的拓展課程。筆者認(rèn)為，小學(xué)階段的實(shí)踐類(lèi)拓展內(nèi)容除了體藝類(lèi)的內(nèi)容之外，還要關(guān)注孩子思維與實(shí)踐的融合，而數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)類(lèi)的課程內(nèi)容是最適合不過(guò)了。

為此，筆者帶領(lǐng)40多位工作室的學(xué)員，歷時(shí)4年左右的時(shí)間分別開(kāi)發(fā)了3～6年級(jí)共約40節(jié)拓展課，我們確定了“基于教材、整合學(xué)科、發(fā)展思維、提升素養(yǎng)”十六個(gè)字的學(xué)習(xí)素材研發(fā)原則，通過(guò)尋找教學(xué)實(shí)際困難，依據(jù)核心素養(yǎng)理念整合各學(xué)科知識(shí)，開(kāi)展拓展活動(dòng)。

一、拓展課程學(xué)習(xí)素材的選擇要深度挖掘教材知識(shí)

教材是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“根”，離開(kāi)了教材的拓展課程是“無(wú)根之木”。我們要非常清醒地認(rèn)識(shí)到：學(xué)生已經(jīng)學(xué)了很多小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)的知識(shí)了，為什么還要再學(xué)習(xí)拓展課程呢？要避免給孩子新的負(fù)擔(dān)。因此，拓展課程的開(kāi)發(fā)，要對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行再“研究”、再“設(shè)計(jì)”、再“實(shí)踐”……甚至于“重組”。換句話(huà)說(shuō)，是讓學(xué)生更加“吃透”教材，從而內(nèi)化知識(shí)，提高興趣。

比如，教材的有些內(nèi)容出現(xiàn)在課后練習(xí)中，作為一種相關(guān)知識(shí)拓展練習(xí)呈現(xiàn)的，由于沒(méi)有安排課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生難以系統(tǒng)學(xué)習(xí)，如“24點(diǎn)游戲”“七巧板”等內(nèi)容;有些知識(shí)的課時(shí)數(shù)量也相對(duì)比較少，比如“位置與方向”“方程”等內(nèi)容，都可以通過(guò)拓展課程補(bǔ)齊短板;此外，教材中有些帶星號(hào)的練習(xí)，往往被師生當(dāng)成選做的對(duì)象，沒(méi)有很好地發(fā)揮習(xí)題的實(shí)際效果，需要進(jìn)行拓展研發(fā)。比如五年級(jí)的一道練習(xí)：1/4>（ ）/（ ）>1/5，4/5>（ ）/（ ）>7/10，很多孩子會(huì)利用通分的方法完成填空。但是，這樣的一道精彩習(xí)題，僅僅完成一個(gè)答案我們覺(jué)得是非?？上У模∮纱?，我們開(kāi)發(fā)了“夾縫中的分?jǐn)?shù)”這樣一堂實(shí)踐拓展課。在教學(xué)中，我們讓學(xué)生“動(dòng)手畫(huà)圖、合作交流”等方式探究不同的解題方法。孩子們想出了“通分母”“化小數(shù)”“十字交叉相乘”（如圖1）等方法。在此過(guò)程中，發(fā)展了對(duì)分?jǐn)?shù)的概念，提升了數(shù)學(xué)研究能力。

學(xué)生在展示自己一種思考方法后，課堂里又展示了其他學(xué)生的不同方法，讓學(xué)生感受尋找兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的分?jǐn)?shù)的方法的多樣性;之后，學(xué)生通過(guò)思考幾種方法的共同點(diǎn)，打通各種方法之間的聯(lián)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生深刻感受通分的分?jǐn)?shù)單位越小，兩個(gè)分?jǐn)?shù)分子之間的中間數(shù)就越多，找到的分?jǐn)?shù)也就越多，轉(zhuǎn)化成小數(shù)也是一樣的道理，計(jì)數(shù)單位越小，找到的小數(shù)就越多。繼而感受數(shù)的稠密性，發(fā)展學(xué)生的極限思維。數(shù)形對(duì)照，以數(shù)輔形，以形助數(shù)，形象思維與抽象思維聯(lián)袂而行。既有直觀(guān)的解釋?zhuān)直阌趪?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，可以使?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。

最后，在班級(jí)授課制下，教學(xué)往往會(huì)受制于教學(xué)時(shí)間、教學(xué)條件等因素的干擾，很多課堂實(shí)踐的內(nèi)容被淡化甚至以說(shuō)教代替實(shí)踐。比如，“秒的認(rèn)識(shí)”“千米的認(rèn)識(shí)”一課。

二、拓展課程學(xué)習(xí)素材的選擇要注意學(xué)科之間的整合

在開(kāi)發(fā)拓展課程的時(shí)候，要依據(jù)教學(xué)大綱兼顧不同學(xué)科的教學(xué)內(nèi)容。避免學(xué)科之間內(nèi)容的重復(fù)，也能從中挖掘出數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，整合不同學(xué)科的知識(shí)，減少課時(shí)數(shù)量，解放學(xué)生。如科學(xué)課中“擺”的知識(shí)，我們就和統(tǒng)計(jì)教學(xué)中“用哪個(gè)數(shù)據(jù)代表一般水平”這樣的知識(shí)相整合，開(kāi)發(fā)了“蕩秋千”為題的數(shù)學(xué)拓展課。

主要研究的內(nèi)容是在相同時(shí)間內(nèi)“秋千”擺動(dòng)的次數(shù)與物體的重量無(wú)關(guān)，與擺繩的長(zhǎng)短有關(guān)。為了達(dá)成數(shù)學(xué)知識(shí)與科學(xué)知識(shí)整合的目標(biāo)，我們主要制訂了兩個(gè)的教學(xué)方案：其一，放手讓學(xué)生去設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案。比如，要蕩秋千的次數(shù)是否與物體的重量有關(guān)？就要考慮將繩長(zhǎng)等外界原因全部歸零，再變化物體的重量，從而設(shè)計(jì)出實(shí)驗(yàn)方案……其二，在出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不一致的時(shí)候，讓學(xué)生思考用“平均數(shù)”“眾數(shù)”等知識(shí)，選擇合理的數(shù)據(jù)代表“一般水平”，并用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)精確數(shù)據(jù)，我們將次數(shù)展示盡可能多的小數(shù)位數(shù)，讓數(shù)據(jù)更具準(zhǔn)確性。通過(guò)測(cè)試單擺的15秒鐘的次數(shù)與科學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，確定可行性（如圖2、圖3）。

在開(kāi)發(fā)這堂課的過(guò)程中，我們認(rèn)為重點(diǎn)是讓孩子掌握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的能力和數(shù)據(jù)篩選的意義，而不是強(qiáng)調(diào)結(jié)果的記憶與固化。因此不必將目標(biāo)定位于“得出結(jié)果，掌握一般規(guī)律”，而應(yīng)重在拓展課堂的時(shí)間與空間，以及學(xué)習(xí)方式，避免將實(shí)踐活動(dòng)當(dāng)作知識(shí)技能教學(xué)是第一步。

數(shù)學(xué)拓展課程的學(xué)習(xí)素材不僅可以和科學(xué)學(xué)科整合，還可以和語(yǔ)文、思品等各種學(xué)科整合;有時(shí)候還可以走出教材，與歷史、人文、文化等統(tǒng)整在一起;甚至和新聞事件整合。比如，此次中國(guó)“抗擊疫情”行動(dòng)中，一個(gè)官員對(duì)于口罩?jǐn)?shù)量從“108億”只到“18億”只再到“108萬(wàn)”只，就可以研發(fā)“大數(shù)的再認(rèn)識(shí)”這樣的拓展課，讓孩子們進(jìn)一步感受到“數(shù)的大小”。

三、拓展課程學(xué)習(xí)素材的選擇要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)學(xué)生拓展性課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況宜采用靈活多樣的考查方式進(jìn)行評(píng)價(jià)，而不應(yīng)成為期末學(xué)業(yè)考試的必考內(nèi)容，否則就容易使主動(dòng)、積極的實(shí)踐性學(xué)習(xí)降格為被動(dòng)的鞏固與訓(xùn)練，不僅會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，甚至?xí)又貙W(xué)生的負(fù)擔(dān)。這與我們實(shí)踐課程改革、構(gòu)建學(xué)科拓展性課程的初衷是相悖的。因此，數(shù)學(xué)拓展性課程的內(nèi)容選擇不應(yīng)增加知識(shí)，而應(yīng)以解決問(wèn)題和發(fā)展思維為重點(diǎn)。比如，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題：“買(mǎi)了若干瓶礦泉水，喝完后幾個(gè)空瓶可換一瓶水，最多可以喝到多少瓶水？”這類(lèi)“以瓶換水”常被我們當(dāng)作思考題來(lái)考學(xué)生，學(xué)生也容易在這方面出錯(cuò)。由此，我們提出要依據(jù)“空瓶換水”的素材，開(kāi)設(shè)一節(jié)“強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程中，突出感受直觀(guān)模型的價(jià)值、突出解題策略的指導(dǎo)，進(jìn)而掌握模型獨(dú)立解決問(wèn)題的方法，提升素養(yǎng)”的拓展課。下面是該課的主要教學(xué)片段：

片段一：畫(huà)信息，培養(yǎng)等量意識(shí)

題目：3個(gè)空瓶換1瓶飲料。

圖形表征：同學(xué)們對(duì)這句話(huà)都有自己的理解，那你能不能用一幅圖把這句話(huà)的意思畫(huà)出來(lái)？

師：這兩幅圖，除了選的圖形形狀不一樣，還有什么不一樣的地方？

生：圖①畫(huà)的是換來(lái)的1瓶新的飲料，圖②是把換來(lái)的飲料空瓶和飲料分開(kāi)畫(huà)的。

歸納小結(jié)：原來(lái)我們說(shuō)的3個(gè)空瓶換1瓶飲料，換來(lái)的是1份飲料和1個(gè)新的空瓶。（板書(shū)：3個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1份飲料）

片段二：畫(huà)過(guò)程，滲透代數(shù)思想

題目：小明有12個(gè)空瓶，最多能喝到幾瓶飲料？

對(duì)比：這兩位同學(xué)的方法有什么一樣和不一樣的地方？

質(zhì)疑：他們還剩余2個(gè)空瓶，怎么把它利用好？

生：向老板借一瓶飲料，然后還他。（借的是1瓶飲料，還的是1個(gè)空瓶，老板會(huì)同意嗎？）

片段三：“畫(huà)”到“算”，深化模型思想

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們知道了3個(gè)空瓶換1瓶飲料，其實(shí)就是用2個(gè)空瓶換1份飲料，那18個(gè)空瓶你覺(jué)得最多可以換多少份飲料呢？

反饋：

（1）畫(huà)圖：如圖6所示。

（2）算式：18÷2=9（份）。

……

聚焦“空瓶換飲料”這部分內(nèi)容，本課還承載著幫助學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物圖到示意圖，再到數(shù)量關(guān)系模型建立的抽象任務(wù)，為解決類(lèi)似的“空瓶換飲料”的問(wèn)題奠定基礎(chǔ)，初步經(jīng)歷在解決問(wèn)題中進(jìn)行量與量之間的轉(zhuǎn)換，代數(shù)式的恒等變形的過(guò)程，為后繼學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)做鋪墊。

這樣的一節(jié)“等量模型解決問(wèn)題”的拓展課，學(xué)會(huì)運(yùn)用等量模型這一數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展。

四、拓展課程學(xué)習(xí)素材的選擇要能提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)可以簡(jiǎn)單地理解為學(xué)習(xí)者在進(jìn)行某一科目的學(xué)習(xí)過(guò)程中最終能夠獲得的能力。目前對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)較為關(guān)注，尤其注重的是對(duì)學(xué)生素質(zhì)和能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)能夠達(dá)到的具有特殊性的綜合能力，沒(méi)有特定的知識(shí)點(diǎn)或者是技能要求，與過(guò)去理解的數(shù)學(xué)能力有一定的區(qū)別。比如，五年級(jí)的教材中有這樣一道題目：某茶廠(chǎng)工人要將長(zhǎng)、寬各為20厘米，高為10厘米的長(zhǎng)方體茶盒裝入棱長(zhǎng)為30厘米的正方體紙箱，最多能裝幾盒？教材編寫(xiě)這道思考題的意圖是對(duì)長(zhǎng)方體、正方體表面積與體積計(jì)算的應(yīng)用。而此題是長(zhǎng)方體與正方體體積的實(shí)際應(yīng)用，按照一般的方法：紙箱的體積÷茶盒的體積=裝幾盒，但這顯然不符合實(shí)際情況。這里需要學(xué)生在頭腦中形成真實(shí)擺放的表象（如圖7）。

我們發(fā)現(xiàn)，這樣的思考題對(duì)于發(fā)展孩子們的空間觀(guān)念幫助很大。但是，離開(kāi)了課件，很多孩子是沒(méi)有辦法想象的，而僅僅依靠三維課件對(duì)孩子們的空間發(fā)展又不是很有利。于是，我們開(kāi)發(fā)了一堂拓展課，題為“紙箱中的數(shù)學(xué)問(wèn)題”。在教學(xué)中，我們讓學(xué)生學(xué)會(huì)先畫(huà)出各種擺法的底面圖，然后借助底面圖現(xiàn)象圖形鋪滿(mǎn)一層之后的樣子，進(jìn)而思考剩余的空間部分形成什么圖形。在不斷地思考、畫(huà)圖想象中發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念，提升素養(yǎng)。如下教學(xué)片段：

某化工廠(chǎng)用一種長(zhǎng)方形紙箱分別裝牙膏和香皂。紙箱從里面量的數(shù)據(jù)如圖8①所示。（單位：厘米）

牙膏盒和香皂盒從外面量的數(shù)據(jù)如圖8②、③所示（單位：厘米）。如果用紙箱裝香皂，一箱最多能裝幾盒？（主要作品如圖9）

本課通過(guò)讓學(xué)生“想一想——擺一擺——畫(huà)一畫(huà)”的方式經(jīng)歷從“實(shí)物——表象——抽象”的過(guò)程，從算式中想象裝箱情況，裝箱的立體圖形變成平面圖形，再?gòu)牟煌钠矫鎴D到立體圖最后回到算式，這樣數(shù)形結(jié)合方式幫助學(xué)生在頭腦中形成真正的表象。此外，“底面圖”貫穿了整節(jié)課，借助“底面圖”想象立體圖形的擺法，又利用畫(huà)“底面圖”找剩余空間，想象剩余空間，再用“底面圖”來(lái)描述剩余空間的裝箱情況。滲透“底面圖”內(nèi)容，運(yùn)用“底面圖”教學(xué)手段來(lái)解決立體幾何知識(shí)，豐富了幾何課程內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，真正讓學(xué)生在頭腦中有表象，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使他們形成空間觀(guān)念，進(jìn)而發(fā)展空間想象力，建立空間觀(guān)念，培養(yǎng)幾何直觀(guān)與推理能力。