韋素萍

摘? 要：在一般觀念的指導(dǎo)下，以“等腰三角形”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，探索研究一個(gè)幾何對(duì)象的“基本套路”. 通過(guò)整體架構(gòu)，在學(xué)生明確等腰三角形的研究路徑、研究?jī)?nèi)容和研究方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的解決問(wèn)題的過(guò)程，從而積累可以有效遷移的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用相似的方法來(lái)研究有內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)的不同數(shù)學(xué)對(duì)象.

關(guān)鍵詞：一般觀念;系統(tǒng)教學(xué);等腰三角形

布魯納在“教育過(guò)程”中指出，用基本的和普遍的觀念來(lái)不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)應(yīng)當(dāng)成為教育教學(xué)的核心;章建躍博士認(rèn)為，要把研究一個(gè)新對(duì)象的“基本套路”納入到教學(xué)目標(biāo)中，使之成為培養(yǎng)學(xué)生良好思維習(xí)慣的載體. 但是在教學(xué)中仍有做的不得法的情況，尤其是對(duì)幾何對(duì)象的教學(xué)，常把每個(gè)研究對(duì)象當(dāng)成一個(gè)個(gè)孤立的內(nèi)容去讓學(xué)生毫無(wú)方向地探究，不注重知識(shí)內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和體系. 這就會(huì)引起一個(gè)普遍的現(xiàn)象：講過(guò)的、做過(guò)的題不一定會(huì)，沒講過(guò)的、沒做過(guò)的一定不會(huì);學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)都能說(shuō)出來(lái)，卻不會(huì)解決問(wèn)題，面對(duì)一個(gè)新的研究對(duì)象，不知道如何研究. 究其根本原因就是教學(xué)中對(duì)研究對(duì)象的獲得、研究?jī)?nèi)容的明確、研究思路的規(guī)劃、研究方法的引導(dǎo)等缺少必要的預(yù)設(shè)和具體做法的指導(dǎo). 針對(duì)這種現(xiàn)狀，筆者結(jié)合自己對(duì)一般觀念的理解，闡述在教學(xué)中是如何利用一般觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的.

一、一般觀念

1. 對(duì)一般觀念的理解

一般觀念（也可稱“大概念”“big idea”），是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、代數(shù)性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問(wèn)題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論，對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析，以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題等都具有指路明燈的作用. 這是章建躍博士在第十一屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)上對(duì)一般觀念的解釋.

2. 一般觀念導(dǎo)向下的教學(xué)關(guān)注點(diǎn)

（1）關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象. 抽象研究對(duì)象是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的第一步，是數(shù)學(xué)研究的首要任務(wù)，教學(xué)時(shí)需要關(guān)注抽象的過(guò)程與方法. 明確地教給學(xué)生“如何觀察，如何定義”一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，使學(xué)生學(xué)會(huì)抽象的方式和方法.（2）關(guān)注研究?jī)?nèi)容. 對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象我們應(yīng)該研究他的什么內(nèi)容？明確了要研究的內(nèi)容學(xué)生才有可能發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問(wèn)題.（3）關(guān)注研究路徑. 以研究數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”為線索，搭建研究的大框架，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯，這是教學(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注的.（4）關(guān)注研究方法. 這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本之道，也是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的通性、通法.（5）關(guān)注研究結(jié)果. 通過(guò)對(duì)不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系和啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化等思想方法的應(yīng)用，構(gòu)建具有整體性、結(jié)構(gòu)化、聯(lián)系性的知識(shí)體系.

3. 一般觀念導(dǎo)向下的教學(xué)追求

一般觀念導(dǎo)向下的教學(xué)是以研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路為線索，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體架構(gòu)，設(shè)計(jì)出能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性等系列化的數(shù)學(xué)活動(dòng). 使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累可以遷移的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能自覺運(yùn)用一般觀念進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的以少馭多、以簡(jiǎn)馭繁，從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

二、一般觀念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

根據(jù)以上對(duì)一般觀念的認(rèn)識(shí)，那么在實(shí)際教學(xué)中對(duì)于一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，在整體觀的指導(dǎo)下，我們可以先為學(xué)生構(gòu)建基本的框架，讓學(xué)生清楚要研究的內(nèi)容，研究的路徑和方法. 在這樣的框架下，研究的內(nèi)容及其路徑清楚了，研究的問(wèn)題明確了，又有研究方法的指導(dǎo)，則降低了學(xué)習(xí)的盲目性，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力. 在人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）“13.3 等腰三角形”（第1課時(shí)）這節(jié)課中，筆者從回憶三角形的研究路徑開始，將三角形特殊化，確定了研究對(duì)象——等腰三角形;進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題：等腰三角形的研究路徑是什么？研究等腰三角形的性質(zhì)就是要研究什么內(nèi)容？應(yīng)該如何研究？明確了這些問(wèn)題后再組織學(xué)生通過(guò)“操作—實(shí)驗(yàn)—猜想—論證”的研究方法來(lái)解決問(wèn)題.

1. 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

問(wèn)題1：通過(guò)類比角的研究過(guò)程，我們研究了三角形，我們研究了關(guān)于三角形的哪些知識(shí)呢？是按怎樣的路徑展開研究的？

師生活動(dòng)：前兩章我們一直在研究三角形的相關(guān)知識(shí)，我們研究過(guò)它的組成要素——邊、角，以及相關(guān)要素——高、中線、角平分線之間的關(guān)系，還研究了兩個(gè)三角形的特殊關(guān)系——全等. 全等三角形的研究都是從性質(zhì)和判定兩個(gè)角度入手的.

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生回憶并歸納出研究一個(gè)幾何圖形的“一般套路”，確定研究路徑：定義、表示—性質(zhì)—特例.

問(wèn)題2：像研究直線的特殊位置關(guān)系“垂直”和“平行”一樣，三角形也有特殊的情況需要研究，是什么呢？

師生活動(dòng)：對(duì)幾何對(duì)象的研究按照從一般到特殊的思路進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生將三角形特殊化，歸納出通過(guò)邊的特殊化得到等腰三角形（特例是等邊三角形），通過(guò)一個(gè)內(nèi)角取特殊值得到直角三角形.

接下來(lái)我們就來(lái)研究一類特殊的三角形——等腰三角形.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于一類數(shù)學(xué)對(duì)象，“特殊化”是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的重要方法，以三角形研究知識(shí)發(fā)展的邏輯及現(xiàn)實(shí)情境為線索，確定了研究對(duì)象——等腰三角形.

2. 提出問(wèn)題

問(wèn)題3：你認(rèn)為可以研究等腰三角形的哪些問(wèn)題呢？按怎樣的路徑展開研究？

師生活動(dòng)：一起回憶幾何圖形的研究思路，等腰三角形是特殊的三角形，研究的內(nèi)容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性質(zhì)，以及“特例”的判定;從而構(gòu)建等腰三角形的研究路徑：定義—性質(zhì)—判定.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比構(gòu)建等腰三角形的研究路徑，用相似的路徑研究不同的問(wèn)題.

3. 分析問(wèn)題

問(wèn)題4：根據(jù)三角形特殊化的過(guò)程，試說(shuō)出等腰三角形的定義. 畫一個(gè)等腰三角形并用符號(hào)語(yǔ)言描述等腰三角形的定義.

師生活動(dòng)：學(xué)生說(shuō)出等腰三角形的定義，在紙上畫出等腰三角形，用符號(hào)語(yǔ)言描述等腰三角形的定義. 教師給予適時(shí)地引導(dǎo)和總結(jié).

追問(wèn)：在前面我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形，試根據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)動(dòng)手折或者剪一個(gè)等腰三角形，展開后你得到的是等腰三角形嗎？理由是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試制作一個(gè)等腰三角形，教師為有需要的學(xué)生提供幫助.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)制作等腰三角形，為后面探究和證明性質(zhì)時(shí)添加輔助線做鋪墊.

問(wèn)題5：等腰三角形的性質(zhì)是研究什么內(nèi)容？判定呢？

師生活動(dòng)：師生共同歸納得出性質(zhì)是從定義出發(fā)，推出等腰三角形的組成要素——邊和角，以及相關(guān)要素——高、中線、角平分線之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系，而判定是從性質(zhì)互換條件和結(jié)論出發(fā)進(jìn)行研究.

【設(shè)計(jì)意圖】“幾何要素之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系就是幾何圖形的性質(zhì)”這個(gè)一般觀念，對(duì)于發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的猜想具有指導(dǎo)意義，使研究更具有方向性.

4. 研究性質(zhì)

問(wèn)題6：從剪或折的過(guò)程中可以看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此你能得到什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生先觀察自己手中的等腰三角形紙片，通過(guò)把等腰三角形紙片對(duì)折，找出有哪些重合的線段和角，然后概括有關(guān)等腰三角形性質(zhì)的猜想.

追問(wèn)1：通過(guò)觀察手中的一個(gè)等腰三角形，根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)得到這樣兩個(gè)猜想，然后發(fā)現(xiàn)你們手中這些等腰三角形都有這樣的猜想，怎么說(shuō)明這些結(jié)論對(duì)所有的等腰三角形都適用呢？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得到等腰三角形的兩個(gè)底角相等，三線合一，但是猜想不一定正確，操作不具有一般性，還需要嚴(yán)格地邏輯證明.

追問(wèn)2：怎樣證明這兩個(gè)關(guān)于等腰三角形性質(zhì)的猜想呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧幾何命題的證明步驟，分析猜想的題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出已知和求證，學(xué)生獨(dú)立在紙上完成兩個(gè)猜想的邏輯推理證明，組內(nèi)交流后向大家展示不同的證明方法，以及是如何想到這些方法的.

【設(shè)計(jì)意圖】由猜想到證明. 學(xué)生實(shí)現(xiàn)了由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過(guò)渡，這個(gè)過(guò)程有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，讓學(xué)生在運(yùn)用不同方法證明性質(zhì)的過(guò)程中，提高思維的深刻性和廣闊性，使合情推理和演繹推理有機(jī)結(jié)合.

追問(wèn)3：試用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述這兩個(gè)性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】從圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言，再到抽象的符號(hào)語(yǔ)言使得性質(zhì)精致化.

5. 應(yīng)用性質(zhì)

問(wèn)題7：等腰三角形的性質(zhì)有什么作用？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后教師總結(jié)，等腰三角形的性質(zhì)提供了一種證明角相等、線段垂直、判斷角的平分線的方法，然后師生利用性質(zhì)一起完成教材上的例1.

6. 小結(jié)

問(wèn)題8：本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？

追問(wèn)1：如何獲得研究等腰三角形性質(zhì)的思路？

追問(wèn)2：為什么可以通過(guò)這個(gè)路徑發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題？

追問(wèn)3：沿著這個(gè)路徑你還能發(fā)現(xiàn)什么有研究?jī)r(jià)值的對(duì)象？能提出什么問(wèn)題？

師生活動(dòng)：學(xué)生先回顧本節(jié)課的研究歷程，然后與同桌交流，最后教師及時(shí)總結(jié)如何研究一個(gè)幾何對(duì)象的“特例”.

（1）研究思路：定義—性質(zhì)—判定.

（2）研究?jī)?nèi)容：組成元素（邊、角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線）.

（3）研究方法：操作實(shí)驗(yàn)—?dú)w納猜想—演繹證明.

（4）數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的，具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的一類數(shù)學(xué)對(duì)象是值得研究的，我們可以用相同的思路、方法來(lái)分析和解決問(wèn)題. 例如，還可以沿著這個(gè)思路將等腰三角形繼續(xù)特殊化，研究等邊三角形、等腰直角三角形.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回憶等腰三角形的研究過(guò)程，再次進(jìn)行整體構(gòu)建，形成體系，形成問(wèn)題研究的“基本套路”，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供思路和方法. 從整體上認(rèn)識(shí)幾何圖形研究的一般方法，感受數(shù)學(xué)研究對(duì)象的確定、研究方法的選擇和研究過(guò)程的發(fā)展脈絡(luò).

三、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于“等腰三角形”這個(gè)內(nèi)容，可能有的教師認(rèn)為：知識(shí)很簡(jiǎn)單啊，這樣做有必要嗎？“等腰三角形”是研究幾何圖形“特例”的典例，在使學(xué)生了解研究一個(gè)幾何圖形的“基本套路”上具有奠基作用，對(duì)后續(xù)其他幾何圖形（等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形）的研究都具有示范作用，甚至可以直接引用. 所以需要教師在一般觀念的指導(dǎo)下，對(duì)當(dāng)前的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入、細(xì)致地解析，以知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的邏輯為基礎(chǔ)進(jìn)行研究方法的指導(dǎo). 使學(xué)生不單純是知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)也是貫穿始終的由內(nèi)容所反映的思想方法的學(xué)習(xí). 這樣學(xué)生得到的知識(shí)才能遷移到其他數(shù)學(xué)對(duì)象的學(xué)習(xí)上，當(dāng)面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，才能知道從哪里下手研究，要研究什么. 例如，在學(xué)習(xí)“等式的性質(zhì)”時(shí)，我們可以指導(dǎo)學(xué)生歸納研究代數(shù)的性質(zhì)就是研究運(yùn)算當(dāng)中的不變性，那么在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生就會(huì)想到如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)做加、減、乘、除運(yùn)算會(huì)有什么規(guī)律;學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)就可以把研究一類函數(shù)的思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法遷移到后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中. 讓學(xué)生體會(huì)到其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是不斷重復(fù)的，只是研究的對(duì)象在不斷地抽象化而已.

一般觀念指引下的數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、思想性的思維活動(dòng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維. 如果學(xué)生能經(jīng)歷不同學(xué)段的一般觀念的反復(fù)滲透，那么其在未來(lái)一定可以在一般觀念的指導(dǎo)下，自己發(fā)現(xiàn)值得研究的對(duì)象，發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)自己以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以自己探索研究的方法，自己設(shè)計(jì)研究路徑，獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，從而創(chuàng)造力的培養(yǎng)也就蘊(yùn)含其中了.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]章建躍. 學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式解讀內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)：以“相交線”為例[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（1）：8-12，15.

[3]章建躍. 研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（4）：1-10.