俞詠華

【摘 要】本文簡要介紹數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想和方法的重要性，以及數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的應(yīng)用類型，通過歸納解析數(shù)形結(jié)合在解題中常見的應(yīng)用類型，以進(jìn)一步提高數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想方法;應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理有效的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出，學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)以后，如果沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么，作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生走出校門后不到一、兩年的時(shí)間就會(huì)忘掉。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)、工作，那種銘刻在他們腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。數(shù)學(xué)作為一門思維科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。那么，在我們現(xiàn)實(shí)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們?nèi)绾闻囵B(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法呢？

一、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用

所謂數(shù)學(xué)思想，就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。通過對(duì)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力會(huì)有大幅度的提高。數(shù)形結(jié)合通過數(shù)與形之間的聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以將所要研究、解決的問題化難為易，化繁為簡。

（一）數(shù)形結(jié)合有助于提升學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)概念的能力

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾指出：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛， 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)學(xué)中的定義、概念和定理等都是抽象的，這些抽象的內(nèi)容是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在學(xué)生獲得知識(shí)與解決問題的過程中，僅僅借助語言表達(dá)和文字?jǐn)⑹鰜韺?shí)施教學(xué)活動(dòng)，會(huì)給學(xué)生一種單調(diào)、乏味、枯燥、難懂的感覺。利用數(shù)形結(jié)合的思想和方法，根據(jù)解決問題的需要，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形符號(hào)結(jié)合起來，把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形問題去討論，把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來研究。簡言之，就是“數(shù)形相互取長補(bǔ)短”。這種轉(zhuǎn)化抽象為具體的數(shù)形結(jié)合的思想過程，不僅可以揭示數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，還可以幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念。平時(shí)教學(xué)活動(dòng)中如果為定義或概念賦予相應(yīng)的圖形和信息，可以協(xié)助學(xué)生利用圖形信息來理解、記憶概念，并能有效引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，在觀察、操作、分析、抽象、概括的過程中體會(huì)知識(shí)負(fù)載的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵的思想。從而促進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中對(duì)相關(guān)性質(zhì)的靈活應(yīng)用。這樣，學(xué)生所理解和掌握的知識(shí)就是鮮活的，也是可遷移或轉(zhuǎn)化的。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知會(huì)得到一定的提升，數(shù)學(xué)素質(zhì)能得到質(zhì)的飛躍，教學(xué)過程無疑達(dá)到舉一反三，事半功倍的效果。

（二）數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生優(yōu)化發(fā)展認(rèn)知數(shù)學(xué)問題的能力

在日常生活中，處處離不開數(shù)學(xué)模形，時(shí)時(shí)離不開數(shù)學(xué)問題。如我們教室里每個(gè)學(xué)生所在的坐位，路邊人們對(duì)弈時(shí)常見的棋盤，以及人們居住的生活小區(qū)等等，都是由數(shù)學(xué)中常見的點(diǎn)、線、面組成的圖形。利用學(xué)生對(duì)這些生活中常見物體的認(rèn)知基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，可以有效的幫助學(xué)生理解數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，建立有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有利于優(yōu)化學(xué)生從數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系是從一維到二維變遷的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并由此向多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)遷移和深化。利用學(xué)生身邊的物體都具有一定形體的特性，如刻度尺、溫度計(jì)及其上面的刻度，再如一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系，一元二次方程的解與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等等，通過數(shù)形結(jié)合使學(xué)生對(duì)“實(shí)數(shù)”、“整式”、“分式”、“不等式”、“方程”、“函數(shù)”等數(shù)學(xué)知識(shí)整體化、系統(tǒng)化，讓學(xué)生在各種知識(shí)背景下提取有用的信息，且能從 “數(shù)”與“形”兩個(gè)維度去考慮解決問題，逐漸培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生思維的流暢性和靈活性，優(yōu)化提高學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（三）數(shù)形結(jié)合有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好興趣

愛好和興趣是每個(gè)人最好的老師。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué)且單調(diào)和枯燥，因此缺乏學(xué)習(xí)興趣。如何激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的求知和探索欲望，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣呢？教學(xué)實(shí)踐證明，通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法，將單調(diào)和枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)變得更具趣味性和生動(dòng)性。例如，現(xiàn)在中學(xué)教材的每一章開頭都有一幅插圖、例題和習(xí)題，我們平常看到的其他許多教材的封面，也都體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的特點(diǎn)。在教學(xué)中，可以充分利用這些圖形，結(jié)合實(shí)際生活的例子，讓學(xué)生在生活中感受到數(shù)學(xué)，在現(xiàn)實(shí)中能夠看到實(shí)物，想到實(shí)物所具有的形象與特征，這樣學(xué)生學(xué)起來就感興趣，而且會(huì)記得牢固。用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。此外，數(shù)學(xué)本身是一門融合了各種美感的學(xué)科，其中包括對(duì)稱美，旋轉(zhuǎn)美，簡潔美、和諧美等等，我們在教學(xué)過程中，應(yīng)把握好這些美感，在講解知識(shí)點(diǎn)和解題方法時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想和方法，喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的追求。讓這些美感在圖形上的體現(xiàn)更為直觀、更為動(dòng)人。讓學(xué)生經(jīng)歷直觀圖形、形象概括、本質(zhì)抽象的過程，充分享受數(shù)學(xué)的美，感受數(shù)形結(jié)合的好處，提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。這樣，學(xué)生會(huì)把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)作一項(xiàng)愉悅和滿足來享受，而不再會(huì)把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)成一種負(fù)擔(dān)和包袱來應(yīng)付。

（四）數(shù)形結(jié)合有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力

第一，數(shù)形結(jié)合思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力。數(shù)形結(jié)合豐富了圖象信息的儲(chǔ)備，而圖象信息的發(fā)展過程可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)能力，促進(jìn)學(xué)生形象思維的發(fā)展。第二，數(shù)形結(jié)合有助于提高學(xué)生的直覺思維能力。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題直觀地看到問題的結(jié)果，許多疑難數(shù)學(xué)問題的解答過程，一般都要先從幾何圖形分析入手，然后進(jìn)行邏輯推理和證明及計(jì)算，進(jìn)而使問題得以解決。第三，數(shù)形結(jié)合有助于提高學(xué)生的抽象思維能力。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系與圖形之間的聯(lián)系，把形的問題轉(zhuǎn)化為之相對(duì)應(yīng)的數(shù)的問題，或把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為之相對(duì)應(yīng)的形的問題，這種數(shù)與形、形與數(shù)之間的不斷轉(zhuǎn)化和翻譯，學(xué)生的思維由抽象概念向具體形體轉(zhuǎn)化，再從具體形體向抽象概括翻譯的過程，也是提高學(xué)生抽象思維能力的過程。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法常見應(yīng)用及解析

問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用中的核心所在，提出問題并解決問題是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力。古人講“工欲善其事，必先利其器”。數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為重要的基本方法之一。數(shù)形結(jié)合可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。

（一）數(shù)形結(jié)合解決問題常見的兩種類型

一種是以數(shù)解形。就是通過已知的數(shù)據(jù)，借助所給的圖形，來分析、觀察數(shù)與形的關(guān)系，進(jìn)而找出圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，從而得出或反映幾何圖形內(nèi)在的變量及屬性。另一種是以形助數(shù)。就是根據(jù)題目所給的數(shù)量條件，繪制出相應(yīng)的圖形，再由圖形反映出來相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步解答數(shù)與式之間的關(guān)系。

（二）數(shù)形結(jié)合思想方法的主要應(yīng)用類型

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，常用的“數(shù)形結(jié)合”思想和方法主要應(yīng)用有以下幾種情形：

1.數(shù)形結(jié)合在解不等式中的應(yīng)用

例1：已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有x-a>02-x>02個(gè)，則a的取值范圍是 ? ? ? 。

這道題學(xué)生很容易解得不等式組的解集為x>ax<2我們可以利用數(shù)軸的直觀特點(diǎn)，將x<2標(biāo)注在數(shù)軸上，分析要使得不等式組有2個(gè)整數(shù)解，由圖象可知整數(shù)解為0，1，則a應(yīng)在-1～0之間，且可以等于-1，但不能為0，所以a的取值范圍是-1

2.數(shù)形結(jié)合在解方程中的應(yīng)用

例2：根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍（? ?）

A.6

B.6.17

C.6.18

D.6.19

一般地，學(xué)生對(duì)于這樣的題目，首先想到的是求出二次函數(shù)的解析式，從而得出一元二次方程，再解一元二次方程。此方法在解決本題中明顯存在較大難度且不易行得通。我們不妨利用ax2+bx+c=0（a≠0）的解為二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的草圖，不難分析得出（6.18，-0.01）在x軸的下方，而（6.19，0.02）在x軸的上方，推出與x軸的交點(diǎn)在（6.18，0）與（6.19，0）之間，所以不難得出x的一個(gè)解范圍為6.18

3.數(shù)形結(jié)合在解函數(shù)問題中的應(yīng)用

例3：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，OB=，tan∠DOB=。

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，△ABO的面積為s，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式;并寫出自變量m的取值范圍。

（3）當(dāng)△OCD面積等于時(shí)，試判斷過A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上所截線段長度能否等于3？如果能，求出此時(shí)拋物線的解析式;如果不能，請說明理由。

解此題，學(xué)生會(huì)顯得有些吃力。如果引導(dǎo)學(xué)生利用反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象及三角形面積及三角函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形等知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，此類問題便可迎刃而解。

4.數(shù)形結(jié)合在解幾何證明題中的應(yīng)用

例4：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高為4。動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）。

（1）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值;

（2）試探究：t為何值時(shí)，△CMN為等腰三角形。

此題在解答時(shí)應(yīng)在梯形圖形與相似三角形的基礎(chǔ)上，把具體的數(shù)標(biāo)示到圖形上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將具體的線段轉(zhuǎn)為數(shù)與式，從形得比例式，再將比例式化為方程，解出方程，從而得出形的答案。

5.數(shù)形結(jié)合在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用

例5：某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈。銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)：y=-10x+500。

（1）設(shè)李明每月獲得利潤為ω（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）

在解答此題時(shí)，不妨運(yùn)用函數(shù)圖象，結(jié)合形的思想找尋符合題意的點(diǎn)與段，再由點(diǎn)與段轉(zhuǎn)成方程或算式，從而求得此題合適的答案。一般地，一時(shí)難以下手的題目，如果能從數(shù)形結(jié)合的思想方法入手，很多問題會(huì)變得具體簡單，為學(xué)生解題提供可行性的思路和方法。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用很廣泛，幾乎滲透在所有學(xué)習(xí)新知識(shí)，以及應(yīng)用知識(shí)解決問題的全過程之中。只要我們教師在平時(shí)的教學(xué)工作中，多注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，一定會(huì)提高自身運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的能力，也一定會(huì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)全面的思維能力，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力和水平。

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