巧用微專(zhuān)題，提高復(fù)習(xí)效率

包秋燕

[摘 ?要] 為彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)的缺陷，筆者嘗試針對(duì)學(xué)生的疑難點(diǎn)、中考考查的重難點(diǎn)與高頻考點(diǎn)等，采取穿插微專(zhuān)題的復(fù)習(xí)模式，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果. 文章以“與圓有關(guān)的最值問(wèn)題”為例，介紹微專(zhuān)題教學(xué)實(shí)踐以及對(duì)此的思考.

[關(guān)鍵詞] 微專(zhuān)題;數(shù)學(xué)思維能力;復(fù)習(xí)效率

初三綜合復(fù)習(xí)傳統(tǒng)模式是：一輪復(fù)習(xí)按照章節(jié)復(fù)習(xí)，重在基礎(chǔ)知識(shí)與方法的落實(shí);二輪復(fù)習(xí)按照專(zhuān)題復(fù)習(xí)，重在思維能力的提升;三輪復(fù)習(xí)做各地中考模擬卷……這樣地毯式的復(fù)習(xí)，由于知識(shí)量過(guò)大，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握不到位，二輪復(fù)習(xí)過(guò)后很多學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升會(huì)出現(xiàn)瓶頸. 基于此，筆者嘗試在中考復(fù)習(xí)中，針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題、中考考查的重難點(diǎn)與高頻考點(diǎn)等，采取穿插微專(zhuān)題的復(fù)習(xí)模式. 微專(zhuān)題復(fù)習(xí)模式，以大化小，能彌補(bǔ)傳統(tǒng)復(fù)習(xí)中的不足與缺陷.

“圓”是初中幾何的重要組成部分，中考會(huì)直接考查與圓相關(guān)的知識(shí)，且涉及圓的考題一般屬于中等偏難的題目. 近些年，中考?jí)狠S題還出現(xiàn)了用隱形圓求最值的試題. 這類(lèi)試題往往和對(duì)稱(chēng)、翻折、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)相結(jié)合，以提高難度等級(jí). 要解決這類(lèi)試題，還需要用到全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)及良好的思維能力. 因此，筆者在中考復(fù)習(xí)過(guò)程中加入了微專(zhuān)題“與圓有關(guān)的最值問(wèn)題”，來(lái)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

微專(zhuān)題設(shè)計(jì)的緣起——從學(xué)情

出發(fā)

與圓有關(guān)的最值問(wèn)題一般屬于壓軸題，有些學(xué)生每次碰到此類(lèi)題都無(wú)從下手;即使教師做了提示，動(dòng)手再做還是會(huì)錯(cuò). 原因是學(xué)生的思維起點(diǎn)和解題需求之間在知識(shí)、方法、能力方面存在差距，學(xué)生不知道與圓有關(guān)的最值問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)是什么，考查的本質(zhì)是什么，是否有方法可循……所以教師的任務(wù)就是要彌補(bǔ)學(xué)生的這些缺失.

這節(jié)微專(zhuān)題伊始，筆者首先給出了如下問(wèn)題情境：

如圖1所示，P是☉O外一點(diǎn)，點(diǎn)P到圓上任意一點(diǎn)的最小距離是線段______的長(zhǎng)， 最大距離是線段______的長(zhǎng).

接著，筆者給出了如下探究問(wèn)題：

如圖2所示，在☉O上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B重合），連接PC，OC，試證明PA<PC<PB.

【教學(xué)片段1】

師：在解決最值問(wèn)題前，我們先看看圖1的特殊情況怎么解答.

生1：最小距離是線段PA的長(zhǎng)，最大距離是線段PB的長(zhǎng).

師：那如何說(shuō)明呢？我們可以借助探究問(wèn)題來(lái)完成.

生2：利用△OCP的三邊關(guān)系，得PO-OC<PC<PO+OC，又OA=OB=OC，所以PA<PC<PB.

師：綜上我們可得“圓外一定點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)距離的最大值是圓心到定點(diǎn)的距離加半徑，最小值是圓心到定點(diǎn)的距離減半徑”. 這可以作為基本模型使用.

以上問(wèn)題設(shè)計(jì)，筆者從學(xué)生的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，復(fù)習(xí)最基礎(chǔ)卻又最核心的知識(shí)，幫助學(xué)生做好知識(shí)上的厘清、深化，讓學(xué)生不但知其然，更知其所以然，對(duì)這類(lèi)題有更加深入的認(rèn)識(shí)，從而建立基本模型，更好地解決問(wèn)題.

為了讓學(xué)生更直接地體會(huì)該模型在求解此類(lèi)最值問(wèn)題中的運(yùn)用，筆者還設(shè)計(jì)了以下練習(xí)加以鞏固.

（直接運(yùn)用）

（1）如圖3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是______.

（2）如圖4所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心、1為半徑作，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放置在（不包括端點(diǎn)B，D）上滑動(dòng)，一條直角邊通過(guò)頂點(diǎn)A，另一條直角邊與邊BC相交于點(diǎn)Q，連接PC，則△CPQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

（3）如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（0，1+t），C（0，1-t）（t>0），點(diǎn)P在以點(diǎn)D（3，3）為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足∠BPC=90°，則t的最大值是______.

學(xué)生解決這些問(wèn)題時(shí)，筆者提出了一系列的問(wèn)題.

問(wèn)題1：試題是否符合“圓外一定點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)的距離最值”模型？

問(wèn)題2：利用此模型解題時(shí)，應(yīng)主要抓住“圓外一定點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)”，解題前應(yīng)分別找出來(lái).

問(wèn)題3：若不能直接應(yīng)用模型，可以如何轉(zhuǎn)化？

基于前面基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠運(yùn)用模型輕松地解決以上三題. 教師的教學(xué)任務(wù)主要是通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生自己生成解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述.

微專(zhuān)題設(shè)計(jì)的深入——向難點(diǎn)

拓展

前面的微專(zhuān)題設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生解決了簡(jiǎn)單的與圓有關(guān)的最值問(wèn)題. 可是，在實(shí)際的解題過(guò)程中，更多的最值問(wèn)題往往需要用圓的知識(shí)來(lái)解決，卻不直接出現(xiàn)圓. 那么，如何判斷其是否是與圓有關(guān)的最值問(wèn)題呢？這才是學(xué)生感到棘手的地方，也是使此微專(zhuān)題設(shè)計(jì)向縱深發(fā)展，取得更大教學(xué)效果的關(guān)鍵. 在教學(xué)實(shí)踐中，筆者分了三種類(lèi)型，與學(xué)生就此問(wèn)題進(jìn)行深入探討.

1. 類(lèi)型1：找定長(zhǎng)

（1）如圖6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長(zhǎng)度的最小值是______.

（2）如圖7所示，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折，得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是______.

【教學(xué)片段2，第（1）題的講解】

師：讀題后我們知道A是定點(diǎn)，B′是動(dòng)點(diǎn)，所以找到點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵. 大家思考一下，在翻折的過(guò)程中哪條線段的長(zhǎng)度始終不變.

生1：在翻折的過(guò)程中，CB′的長(zhǎng)度始終不變，CB′=CB=3.

師：此時(shí)你能得出點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？

生1：點(diǎn)B′在以點(diǎn)C為圓心、CB的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

師：現(xiàn)在，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為今天討論的最值模型了嗎？請(qǐng)大家直接說(shuō)出結(jié)果.

生（齊）：B′A的最小值為AC-3=1.

（第（2）題的解題方法與第（1）題雷同，筆者讓學(xué)生自己解決）

在中考中，翻折是?？嫉闹R(shí)點(diǎn). 上述試題屬于翻折與最值相結(jié)合的試題，學(xué)生通過(guò)分析，得出了解題思路：根據(jù)翻折的特點(diǎn)，從動(dòng)態(tài)問(wèn)題中找到定長(zhǎng)，再利用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)”構(gòu)造輔助圓，從而轉(zhuǎn)化為基本模型進(jìn)行求解.

2. 類(lèi)型2：找定角

（1）如圖8所示，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB+∠PBA=90°，連接CP，則CP的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

（2）如圖9所示，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H. 若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則線段DH的長(zhǎng)的最小值是______.

【教學(xué)片段3，第（1）題的講解】

師：根據(jù)題目所給的角度關(guān)系，你能求出哪個(gè)角？

生1：因?yàn)椤螾AB+∠PBA=90°，所以∠APB=90°.

師：我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持∠APB=90°，又A，B為定點(diǎn)，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

生2：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).

師：接下來(lái)就可以利用模型解決問(wèn)題了. 畫(huà)出圖形，你們能直接說(shuō)出答案嗎？

生3：畫(huà)出輔助圓如圖10所示，線段CP的長(zhǎng)的最小值為CO-OP=5-3=2.

學(xué)生在解決第（2）題的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，所以筆者在課堂上做了以下引導(dǎo)：首先根據(jù)正方形的特征以及已知條件，發(fā)現(xiàn)全等，并找出AG與BE的位置關(guān)系;其次，要求出DH的最小值，需要找到定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn);再次，目標(biāo)是找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡; 最后確定DH的長(zhǎng)的最小值.

這類(lèi)題的解題關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)幾何圖形的分析，從動(dòng)態(tài)圖形中找出不變的量. 此時(shí)一般題中有不變的角，于是可引導(dǎo)學(xué)生利用“定弦對(duì)定角確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓”這一解題方法，找出題中的隱形圓，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為利用基本模型來(lái)解決.

3. 類(lèi)型3：綜合應(yīng)用

（1）對(duì)稱(chēng)類(lèi)求最值

如圖11所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為_(kāi)_____.

（2）旋轉(zhuǎn)類(lèi)求最值

①如圖12所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心、1為半徑作圓，E是☉A上任意一點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到DF，連接AF，則線段AF的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

②如圖13所示，點(diǎn)O在線段AB上，OA=1，OB=2，以點(diǎn)O為圓心、OA長(zhǎng)為半徑的圓為☉O，在☉O上取動(dòng)點(diǎn)P，以PB為一邊作△PBC，使∠PBC=90°，tan∠PCB=，P，B，C三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接AC，則AC的取值范圍為_(kāi)_____.

上述三題都是與圖形變換相結(jié)合求最值的試題，這類(lèi)題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，思維能力要求較高，此時(shí)教師的教學(xué)任務(wù)是有效地引導(dǎo)學(xué)生，助其發(fā)現(xiàn)突破口. 下面以旋轉(zhuǎn)類(lèi)第②題為例進(jìn)行教學(xué)闡述.

【教學(xué)片段4】

師：要求AC的取值范圍，也就是求什么？

生1：求AC的最大值和最小值.

師：我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，所以找到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵. （提醒）點(diǎn)C是隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，又點(diǎn)P在圓上，那點(diǎn)C是否也在圓上運(yùn)動(dòng)？大家可以互相討論.

（學(xué)生開(kāi)始討論）

生2：點(diǎn)C可以看作是由點(diǎn)P繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°后得到的，由旋轉(zhuǎn)想到大致是將☉O旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡.

生3：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AB，那么點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心應(yīng)該在BM上.

師：大家說(shuō)得很好，那么圓心M應(yīng)該如何確定呢？注意條件tan∠PCB=的應(yīng)用.

生4：根據(jù)tan∠PCB=，得=，那么只要保證=就行了.

師：下面大家動(dòng)手嘗試.

生5：如圖14所示，作BM⊥AB，使得BM=2OB=4，連接OP，AM，CM，構(gòu)造相似三角形. 利用△OBP∽△MBC，得CM=2，即點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心、2為半徑的圓. 所以AM-CM≤AC≤AM+CM，即3≤AC≤7.

這里，筆者采用的是小組討論的方式，讓學(xué)生大膽地嘗試，并尋找動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. 教學(xué)時(shí)，教師不要怕學(xué)生會(huì)“撞墻”，因?yàn)樗麄冋窃谝淮未螄L試或失敗中總結(jié)方法和經(jīng)驗(yàn)的，只有這樣，他們才能真正提高解決問(wèn)題的能力. 在學(xué)生充分嘗試的基礎(chǔ)上，筆者最后總結(jié)：這類(lèi)題往往有暗示，如上面旋轉(zhuǎn)類(lèi)求最值的兩道題，它們都是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且主動(dòng)點(diǎn)在圓上動(dòng)，于是判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就必定要考慮圓，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等或相似，進(jìn)而找到定長(zhǎng)，最后確定運(yùn)動(dòng)軌跡.

難點(diǎn)的突破，除了基礎(chǔ)知識(shí)原理的加持，更重要的還在于“由淺入深，步步為營(yíng)，逐步學(xué)習(xí)”，教師可以從多個(gè)角度去引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生突破思維短板，形成自己的解題思路. 這樣能讓學(xué)生以后碰到此類(lèi)難題有大致的思考方向，進(jìn)而提高解題效率.

微專(zhuān)題，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自身認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行深度加工與整合，由淺層學(xué)習(xí)走向縱深學(xué)習(xí).

微專(zhuān)題設(shè)計(jì)的鞏固——向課后

練習(xí)要實(shí)效

由遺忘曲線我們知道，遺忘的進(jìn)程是不均勻的，一般來(lái)說(shuō)最初的遺忘速度較快. 為此，對(duì)于微專(zhuān)題，我們必須及時(shí)鞏固. 在實(shí)際操作中，筆者盡量做到“趁熱打鐵，及時(shí)鞏固”，因?yàn)檫@是微專(zhuān)題設(shè)計(jì)最終收到實(shí)效的重要保障. 故在微專(zhuān)題的最后環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了如下課后練習(xí)：

1. （2020·臺(tái)山一模）如圖15所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（-2，3）為圓心、1為半徑作☉A，以點(diǎn)B（3，4）為圓心、3為半徑作☉B(tài)，M，N分別是☉A，☉B(tài)上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為_(kāi)_____.

2. （2020·市南區(qū)一模）如圖16所示，在正方形ABCD中，AB=2，O是BC邊的中點(diǎn)，E是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得DF，連接AE，CF，OF，則線段OF的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.

3. （2020·武侯區(qū)模擬）如圖17所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接MP，作∠MPC的平分線交邊CD于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為_(kāi)_____.

微專(zhuān)題最大的價(jià)值在于為學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題提供明晰的解題思路，決勝中考. 故筆者特別重視課后練習(xí)的設(shè)計(jì)，盡量讓課后練習(xí)與中考接軌，讓學(xué)生用課堂上學(xué)到的方法直面中考模擬題，這樣既能提升學(xué)生的思維能力，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力.

以上是筆者利用微專(zhuān)題用于提高復(fù)習(xí)效率的一個(gè)案例. 在中考的復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于一些重難點(diǎn)知識(shí)，學(xué)生總帶著畏懼、迷惑、糾結(jié)、等待的心理. 此時(shí)，借助微專(zhuān)題，從學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)出發(fā)，抓住知識(shí)的本質(zhì)，再現(xiàn)知識(shí)的形成，能幫助學(xué)生抓住知識(shí)的源頭. 學(xué)生在教師的精心指導(dǎo)下，能形成自己的解題思路，能鍛煉思維能力，從而獲得學(xué)習(xí)能力. 微專(zhuān)題雖以小見(jiàn)大，知微見(jiàn)著，但不能盲目應(yīng)用. 微專(zhuān)題的選擇往往立足于學(xué)情、教情、考情，以某知識(shí)點(diǎn)為中心，從該知識(shí)的基本概念出發(fā)，從基本數(shù)學(xué)思想方法及原理入手，通過(guò)一條清晰的主線將問(wèn)題串聯(lián)起來(lái). 各個(gè)微小的知識(shí)點(diǎn)或者方法，能將數(shù)學(xué)思想方法整合起來(lái)，能由“因微而小，因微而準(zhǔn)，因微而深”到達(dá)知識(shí)深處，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

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