最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)方法探討

【摘要】在求兩個數(shù)的最大公因數(shù)時，新課標(biāo)明確指出不再由公因數(shù)或最大公因數(shù)，引進(jìn)互質(zhì)數(shù)的概念，是精簡數(shù)論初步知識的一個具體體現(xiàn)。而《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)求最大公因數(shù)的要求是：“能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”。建議學(xué)生采用“找”的方法，不再需要分解質(zhì)因數(shù)與短除法。事實(shí)上，即便在過去學(xué)了分解質(zhì)因數(shù)和短除法之后，也極少有學(xué)生在約分時用到。這一改進(jìn)，雖說大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，但在教學(xué)中，筆者在課堂上和學(xué)生把其中的各種規(guī)律性知識與解決方法歸攏后，很多學(xué)生對本部分的知識能夠做到進(jìn)一步系統(tǒng)化，解決方法多樣化[1]。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)數(shù)? 合數(shù)? 互質(zhì)? 質(zhì)因數(shù)

【中圖分類號】623.5? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）41-0104-02

筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在尋找兩個數(shù)最大公因數(shù)時，方法過于單調(diào)，幾乎是機(jī)械化去找、去操作。而且在碰見一些稍復(fù)雜的因數(shù)時，往往存在丟失現(xiàn)象，最后導(dǎo)致錯誤連連。針對最大公因數(shù)的求法問題，筆者認(rèn)為完全可以發(fā)動學(xué)生多渠道去求，不必拘泥于一標(biāo)，畢竟本節(jié)內(nèi)容和后面的約分、最小公倍數(shù)、通分有太多聯(lián)系。聯(lián)系日常教學(xué)實(shí)際，結(jié)合一些習(xí)題和資料，筆者針對本部分進(jìn)行了簡要梳理，期望對學(xué)有余力的孩子有所幫助，也望同行指正交流。

一、最大公因數(shù)的幾條探索性規(guī)律及解決方法

1.互質(zhì)的兩個數(shù)最大公因數(shù)是（以下情況均是互質(zhì)的情況）

（1）1與其他任意自然數(shù)互質(zhì)。

（2）2和任何奇數(shù)都互質(zhì)。

（3）連續(xù)的兩個自然數(shù)互質(zhì)。.

如：8和9;14和15;111和112……

（4）相鄰的兩個奇數(shù)互質(zhì)。

（5）不同的兩個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

如：5和7;7和19;31和89……

（6）當(dāng)一個是合數(shù)，一個為質(zhì)數(shù)時（合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)），這兩個數(shù)互質(zhì)。

2.當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，小的那個數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)[2]。

如：4和8;16和32……。

3.兩個數(shù)的所有公因數(shù)都是最大公因數(shù)的因數(shù)（最大公因數(shù)是所有公因數(shù)的倍數(shù)）。如18與27的公因數(shù)有1、3、9。其中他們的最大公因數(shù)9也是其他公因數(shù)1、3、9的倍數(shù)。本條結(jié)論筆者認(rèn)為，可以讓學(xué)生以此來判斷自己所找的最大公因數(shù)是否合適。

二、其實(shí)除了以上幾種方法外，在尋找兩數(shù)最大公因數(shù)時還可以采用以下幾種方法[3]

1.列舉法求18與27的最大公因數(shù)：

先分別找出18和27的因數(shù)，然后看18和27的因數(shù)中公有的部分，再從中找出最大的一個。

例如：求18與27的最大公因數(shù)。

18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18。

27的因數(shù)有：1、3、9、27。

18與27的公因數(shù)有：1、3、9。

18與27的最大公因數(shù)是9。

2.篩選法求18與27的最大公因數(shù)。

可以先找出18的因數(shù)，再在這些因數(shù)中圈出27的因數(shù)，進(jìn)而找出兩者最大的那個因數(shù)。

18的因數(shù)：①，2，③，6，⑨，18。

在18的因數(shù)中，1，3，9是27的因數(shù)，自然9是18和27的最大公因數(shù)。

3.文恩圖法求18與27的最大公因數(shù)：

上述三種方法對于求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，特別是數(shù)值較大時，顯然是不方便的。其實(shí)我們完全可以采用課本上補(bǔ)充的另一種方法—分解質(zhì)因數(shù)。

4.分解質(zhì)因數(shù)法求18與27的最大公因數(shù)。

首先我們把18和27分別分解成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，18=2×3×3，27=3×3×3。因?yàn)?8和27的公因數(shù)必定包含18和27公有的質(zhì)因數(shù)，而最大公因數(shù)是其中最大的一個。自然它必須包含18和27共有的質(zhì)因數(shù)3與3，這樣3乘3就是18和27的最大公因數(shù)。

18=2×3×3

27=3×3×3

鑒于上面的方法，我們還可以用經(jīng)典的做法——短除的形式找到公因數(shù)和最大公因數(shù)。

5.短除法求18與27的最大公因數(shù)。

首先用3（18和27的最小質(zhì)因數(shù)）去除這兩個數(shù)，看除完的商是否互質(zhì)，如果不互質(zhì)，接著繼續(xù)用他們的公因數(shù)（質(zhì)數(shù)）往下除，一直除到商互質(zhì)為止，然后把所有除數(shù)相乘，得到的積就是18和27的最大公因數(shù)。

與前邊的分解質(zhì)因數(shù)法相比較，我們不難發(fā)現(xiàn)：他們結(jié)果相同，而短除法所用到的兩次除數(shù)正是這兩數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)。而這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，則是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積。無疑給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一絲新意。

在通過短除法求出最大公因數(shù)9后，我們結(jié)合第三條規(guī)律——最大公因數(shù)是所有公因數(shù)的倍數(shù)（所有的公因數(shù)都是最大公因數(shù)的約數(shù)），依次求出他們的其他公因數(shù)——1，3，當(dāng)然我們也可以借助短除法解決三個數(shù)或者更多數(shù)的最大公因數(shù)問題。

6.縮小倍數(shù)法求18與27的最大公因數(shù)。

當(dāng)把18縮小到原來的1/2時，發(fā)現(xiàn)9恰好也是27的因數(shù)，通過進(jìn)一步驗(yàn)證會發(fā)現(xiàn)9是18與27的最大公因數(shù)，同樣的研究策略，我們可以按照相同的方法求得兩個數(shù)或者三個數(shù)的最小公倍數(shù)。

雖說在教學(xué)過程中，我們不要求學(xué)生對知識過于求全求深，但作為從教者來說，讓我們把知識內(nèi)涵研細(xì)，研透。夯實(shí)了個人素養(yǎng)才會讓孩子們“人人都能在數(shù)學(xué)上獲得發(fā)展，不同的學(xué)生獲得不同發(fā)展”。

三、結(jié)語

準(zhǔn)確快速地求出兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的學(xué)習(xí)是學(xué)生很難掌握的內(nèi)容，又是至關(guān)重要的。通過研究不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系或互質(zhì)關(guān)系時可直接寫出它們的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，當(dāng)既要求最大公因數(shù)又要求最小公倍數(shù)時，用短除法或分解質(zhì)因數(shù)法比較簡便;當(dāng)只求最大公因數(shù)時，用短除法或縮小倍數(shù)法比較簡便;當(dāng)只求最小公倍數(shù)時用大數(shù)翻倍法比較簡便，當(dāng)兩個數(shù)比較大，比較復(fù)雜時，用短除法比較簡便。

總之在探求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)時，需要學(xué)生看清數(shù)字之間關(guān)系，看清數(shù)據(jù)特征，看清條件與要求，用好最佳方法，認(rèn)真細(xì)心計算，才能減少后期的計算迷茫。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S];北京師范大學(xué)出版社，2012-1

[2]劉來剛.名師解教材 五年級數(shù)學(xué)下 人教課標(biāo)改進(jìn)版[M].吉林大學(xué)出版社，2011.04

[3]吳國和.求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的幾種方法[J].數(shù)學(xué)大世界（小學(xué)五六年級適用），2011-Z2（24）

作者簡介：

胡順治（1980年8月26日-），男，漢族，江蘇省連云港市人，大學(xué)學(xué)歷，一級教師（中一），研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)與班級管理。