趙播明 化存才

【摘要】《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出了數(shù)學核心素養(yǎng)的要求，本文基于數(shù)學核心素養(yǎng)的視角，對比人教版（A版）高中數(shù)學新、舊教材中“平面向量及其應用”這一章的內(nèi)容，從教材內(nèi)容和知識點、教材編寫方式、例題和習題等涉及培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的問題進行了分析.

【關鍵詞】數(shù)學核心素養(yǎng)，教材對比，平面向量

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出的深層教育理念中，要求培養(yǎng)學生的六大數(shù)學核心素養(yǎng)，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.為了順應新課標的教學要求，新編教材在編寫上發(fā)生了一些新的改變，就“平面向量及其應用”這一章而言，主要研究的是向量與數(shù)、幾何的關系，也就是說，把向量既看成代數(shù)的研究對象，又看成幾何的研究對象，使之成為溝通代數(shù)與幾何的橋梁，承載著培養(yǎng)學生數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng)的功能.那么，在核心素養(yǎng)的視角下，向量在新版教材中到底有什么樣的具體改變及特色呢？為此，本文將2007年人教版（A版）普通高中課程標準實驗數(shù)學教科書必修四第二章和必修五第一章，2019年人教版（A版）普通高中數(shù)學教科書必修二第六章中的“平面向量及其應用”作為研究對象，以核心素養(yǎng)的三個方面進行對比分析.

一、從教材內(nèi)容和知識點的對比看數(shù)學核心素養(yǎng)

“平面向量及其應用”這一章在初中階段并沒有接觸過，且這部分知識比較抽象，需要學生通過跨學科類比的方式才能獲得形象的理解.“平面向量及其應用”這一章是通過研究數(shù)、幾何、平面向量之間關系來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，對比新、舊版教材中的內(nèi)容和知識點，新版教材的內(nèi)容沒有多大的改變，但在某些知識點的講解上更加詳細了，更加符合學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和形成.

1.教材內(nèi)容的編排順序?qū)Ρ葹楹诵乃仞B(yǎng)定力

新課標要求教材內(nèi)容的編排應該以數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯關系為第一要務.根據(jù)新、舊版教材的對比，新版教材將“平面向量的數(shù)量積”放在了“平面向量基本定理及坐標表示”的前面，這樣的安排很符合學生的認知發(fā)展，因為學生在前幾節(jié)課所學習的內(nèi)容是向量的加法、減法及向量的數(shù)乘運算，而按照學生已有的向量的數(shù)學運算認知結(jié)構(gòu)來看，可能存在向量的某種乘法運算，這符合學生的邏輯思維，有知識的遞進，更能讓學生理解.

另外，新版教材將舊版教材“解三角形”編排在“平面向量及其應用”這一章節(jié)中，這是新、舊版教材中教材內(nèi)容編排變化最明顯的地方.“解三角形”并不是一個獨立的章節(jié)，且數(shù)學本身是一門具有邏輯性的學科，不同的知識之間具有關聯(lián)性，可以進行串聯(lián)、整合、重構(gòu)、銜接，新版教材恰好突出了這一優(yōu)點.在新版教材中，是先學習平面向量的數(shù)量積知識，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積知識、向量與三角形的聯(lián)系來證明余弦定理，用向量知識去研究正弦定理.可以看出，教材內(nèi)容的編排重視數(shù)學知識點之間的聯(lián)系，以學生學過的知識點作為基礎，注重培養(yǎng)學生知識的遷移能力，以及問題的抽象和邏輯推理能力，且能讓學生活學活用數(shù)學知識，并突出向量在高中數(shù)學學習中的重要性.而在舊版教材中沒有建立起合理的知識體系，將“解三角形”這一章節(jié)放在必修五，因同一個模塊中每個章節(jié)之間沒有任何知識的聯(lián)系，導致了知識的前后順序出現(xiàn)混亂，不夠連貫，這樣一來，學生在學習中既浪費了時間，又容易忘記之前所學的知識，導致學習效率降低.

2.教材內(nèi)容順序的邏輯性對比為核心素養(yǎng)做鋪墊

新、舊版教材中，知識點內(nèi)容無明顯改變.新版教材中，在“向量的數(shù)量積”這一節(jié)只是介紹了兩個向量的夾角、向量垂直、同向和反向的關系，因為這一小節(jié)只涉及兩向量間的夾角，而在舊版教材中是在學完向量的基本定理之后直接介紹了兩個向量夾角的有關知識，且二者之間沒有任何的邏輯關系.除此之外，新版教材詳細地介紹了投影向量及單位向量，兩個向量之間的夾角，被投影向量之間的關系和表達式;在學習平面向量的基本定理時，對a=λ1e1+λ2e2中的λ1和λ2的唯一性，以及何為一組基底及其應用都進行了詳細的講解，在例題講解、結(jié)論闡述中將夾角的表示由角度制轉(zhuǎn)換成了弧度制，讓學生體會學以致用.因此，教材內(nèi)容的改變表明，新版教材更加重視學生對基礎知識，基本技能的掌握與理解.可見，對教材內(nèi)容順序的邏輯性改變，對學生從向量幾何直觀想象到“向量代數(shù)運算”的數(shù)學抽象引入起到了鋪墊的作用.

二、從教材的編寫方式看核心素養(yǎng)

通過對新版教材內(nèi)容的仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，新版教材呈現(xiàn)知識點的方式是先創(chuàng)設情境，讓學生獨立思考或者合作交流，而教師則帶領學生一起去揭開數(shù)學規(guī)律，然后進入實際操作應用階段，最后拓展相關知識，從而幫助學生更好地理解知識.雖然舊版教材中也有這種內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，但更多的是先有概念或者定理然后證明，最后在講到數(shù)學的實際操作時就結(jié)束了，舊版教材的這種寫法難以培養(yǎng)學生的獨立思考探究意識.

1.問題引入方式更切合學生實際，能引導學生潛入數(shù)學核心素養(yǎng)

新課標要求問題引入方式要切合學生實際，要引導學生用數(shù)學的眼光去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，在問題解決的過程中促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.這其中就包含了從實際問題到數(shù)學抽象的啟導，數(shù)學建模探究活動的開始，這也是實實在在引導學生潛入數(shù)學核心素養(yǎng)的做法.在章節(jié)起始的引言中，新版教材首先是具體舉出生活實際中的例子，然后是抽象引出本章將要討論的數(shù)學問題.而在舊版教材中，則是直接用數(shù)學語言表達出數(shù)學問題，這顯得有些枯燥，無法一針見血地體現(xiàn)數(shù)學源于生活并應用于生活，也難以激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣;該章節(jié)中，一部分知識的引入是通過學生已有的物理知識，通過跨學科類比而轉(zhuǎn)到數(shù)學問題上的.比如，向量具有豐富的物理背景，向量問題的引入可以是將重要的物理情境貫串向量學習的過程;而在研究向量的數(shù)量積和向量的分解與合成中，則可以利用物理作為背景，這個設置新版教材與舊版教材大同小異;還有一部分內(nèi)容，是在學生原有數(shù)學知識的基礎上，再對知識進行重組與構(gòu)建.比如，在余弦定理和正弦定理的學習中，新版教材首先是復習初中階段學習的勾股定理、銳角三角函數(shù)，說明直角三角形邊和角之間存在著一種確定的關系，從三角形全等的判定定理定性地說明一般三角形邊和角之間的關系，接著引出三角形的邊與角到底存在一個什么樣的數(shù)量關系的問題，再根據(jù)已知的數(shù)學知識，將難度上升到抽象地提出一個新的問題，讓學生思考，這符合學生的認知發(fā)展，而舊版教材是直接讓學生思考已知三角形兩邊及其所夾的角，怎樣算出第三邊和另外兩個角，并沒有知識的銜接.

2.數(shù)學探究活動的對比，彰顯數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合性

數(shù)學探究活動是運用學生所學的數(shù)學知識去解決數(shù)學問題的一個綜合性比較強的思維想象實踐活動.在數(shù)學探究的過程中，可以讓學生獨立思考，合作交流，分享自己的看法，以培養(yǎng)學生的數(shù)學思考能力和對基礎知識的運用意識.每個學生都能參與探究活動，都能體驗數(shù)學的有趣之處，從而提升學生對學習數(shù)學的興趣.

新課標指出，數(shù)學建模與數(shù)學探究活動承載著提升學生學科能力和學科素養(yǎng)的重要使命，在教學中是一個非常重要的環(huán)節(jié).雖然舊版教材中在新知識的引入環(huán)節(jié)也設置了探究活動，但是其綜合性不強，只是對簡單的一個知識點進行探究，只能在一定程度上鍛煉學生的思維水平.而在新版教材中，數(shù)學探究不僅貫串整個數(shù)學學習過程，還在章節(jié)的最后安排了一個“用向量法探究三角形的性質(zhì)”的探究活動，以此作為對向量知識的一個整體綜合性應用，這正是培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的做法，而舊版教材中并沒有這一重要環(huán)節(jié).

可喜的是，從2020年開始，高中數(shù)學建模教學作為必要的數(shù)學探究活動要求必須開展起來，這將更加有利于促進學生養(yǎng)成數(shù)學建模核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學建模推動高中數(shù)學教學改革深化發(fā)展.

三、從例題和習題的對比看數(shù)學核心素養(yǎng)

在新、舊版教材的對比中，教材中的習題不論是在數(shù)量、難度、編排上，還是在講解方式上都有許多變化，目的就是讓學生在完成數(shù)學習題解答的過程中，融會“四基”，“四基”即基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，在學好數(shù)學的同時培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

1.例題講解方式的對比，融合了“四基”和培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的要求

新課標中明確地提出了要培養(yǎng)學生的“四基”，即學生通過數(shù)學學習不僅要獲得必需的知識和技能，還要在數(shù)學學習過程中積累經(jīng)驗，獲得數(shù)學發(fā)展和處理問題的能力.新版教材中突出了這一點，在例題的講解中比舊版教材更加明顯地強化了基礎，按照學生的現(xiàn)實認知結(jié)構(gòu)，考慮到了學生的“最近發(fā)展區(qū)”，使得分析過程非常具體.比如，在“向量在物理中的應用舉例”中，例題的講解不僅簡單明了，而且非常詳細，學生易懂，像這樣講解詳細的例題還有很多.有一項研究表明，新版教材比舊版教材更能夠提高學生的自主學習能力及學習效率，更能幫助學生掌握數(shù)學的基礎知識，這是因為新版教材對于知識的講解符合學生的年齡特征，做到了讓學生易學易懂;教材抓基礎，從學生的實際角度編制了難度適宜的習題，通過對習題進行“四基”和數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的解題教學過程，能夠發(fā)展高中學生獨立獲取數(shù)學知識的能力.

2.習題的編排具有針對性，從簡單數(shù)學運算開始

在數(shù)學學習中，學生對于知識點的掌握需要一個合理的過程.根據(jù)學生學習的這一特點，新版教材在每一個知識點的后面，都分別設置了具有針對性的2到3個習題以達到鞏固該知識點的目的，且習題只涉及剛剛學習的知識.比如，在學完向量的加減運算后，先設置3個習題來測驗學生對于這個向量運算內(nèi)容的理解程度，在這節(jié)內(nèi)容結(jié)束后，又設置了24個習題，其中包括了12個“復習鞏固”題，8個“綜合應用”題，4個“拓廣探索”題，這種按分門別類的方式編排習題，層層漸進的檢測方式，可以使新知識鞏固最大化.新版教材沒有像舊版教材那樣直接進入向量數(shù)乘的學習，再將全部習題放在后面，顯然這種沒有詳細分類的做法，是不利于學生學習新知識的.

3.習題的難度和數(shù)量對比，部分刪減邏輯推理強的難題

新課標明確指出，要降低數(shù)學知識的學習深度及數(shù)學知識和習題的難度.在舊版教材中，不論是例題還是習題，難度都比較大，這對于中等水平的學生或者中等水平以下的學生而言，一般都會因邏輯推理能力不強而不會做，并且會產(chǎn)生學好數(shù)學是很難的想法，這樣一來就會抵觸數(shù)學，對數(shù)學不感興趣.新版教材中，將邏輯推理強的難題部分進行了適當刪減，將例題中數(shù)字比較大、運算比較復雜的題也換成了數(shù)字小、容易計算的簡單題.比如，在“平面幾何中的向量方法”一節(jié)中，把一個難度較大的例題換成了用向量方法證明三角形中位線的簡單題;還有，在余弦定理的例題中，將舊版教材中的例4換成了數(shù)字比較小的新版教材中的例6，以幫助學生通過簡單的數(shù)學運算提升數(shù)學運算能力，這說明，新版教材注重學生獲取數(shù)學基礎知識，降低學習難度是為了提高學生學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的信心.在習題的數(shù)量上，新版教材中的習題量明顯增加了，體現(xiàn)在新版教材中每個新知識都附有2到3個有針對性的習題，及幾個知識點綜合的習題、小結(jié)性的習題，最后才是復習題.新版教材中的這種習題量的改變是想通過有梯度的習題讓學生鞏固核心知識，并能從簡單而靈活的練習中領悟和增強邏輯推理能力，缺點是習題量的增加可能會導致學生學業(yè)負擔加重.

四、小 結(jié)

本文通過數(shù)學核心素養(yǎng)的視角，從三個模塊七個方面具體對比了人教版（A版）新、舊版教材中的“平面向量及其應用”章節(jié)內(nèi)容，分析了有變化的地方，總結(jié)出新版教材重視數(shù)學知識的邏輯順序，知識的銜接性較強，習題的設置有針對性和梯度，問題的引入更加符合學生的實際，知識的建構(gòu)符合學生的認知發(fā)展，從而能夠提升學生的數(shù)學運算能力、邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)學抽象能力.

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