封思煜

摘 要：在學(xué)習(xí)一次函數(shù)與二次函數(shù)之后，學(xué)生已經(jīng)對函數(shù)有一定的理解。由于反比例函數(shù)存在著一定的難度，學(xué)生在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，對反比例函數(shù)的特點(diǎn)及其所涉及的一些知識(shí)與方法，在理解上往往會(huì)產(chǎn)生疑惑。文章將學(xué)生在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)過程中表現(xiàn)出來的疑惑進(jìn)行了初步分析，采用“教學(xué)反思”的形式記錄下來，以期在后面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分課程時(shí)能夠有所參考。

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù);學(xué)生疑惑;教學(xué)反思

中圖分類號(hào)：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：2095-624X（2021）19-0067-02

學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，由于反比例函數(shù)的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法等，存在著一定的復(fù)雜性，往往導(dǎo)致學(xué)生難以理解。與一次函數(shù)圖像的直線相比，反比例函數(shù)的圖像是兩個(gè)分支的曲線;與二次函數(shù)圖像的“軸對稱”特點(diǎn)相比，反比例函數(shù)圖像“中心對稱”的特點(diǎn)不易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)與理解;在教學(xué)中，反比例函數(shù)圖像“間斷點(diǎn)”與“漸近線”的特征也讓學(xué)生難以深入認(rèn)識(shí)。

教材在進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的安排時(shí)，將反比例函數(shù)安排在一次函數(shù)與二次函數(shù)之后。因此，學(xué)生通過對一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)對函數(shù)具有一定的了解，獲得了一定的函數(shù)知識(shí)和解題方法，將反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)安排在一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)之后，有利于學(xué)生將研究函數(shù)的一般方法運(yùn)用于反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)中，以降低學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的難度。因反比例函數(shù)的“個(gè)性”特點(diǎn)蘊(yùn)含了學(xué)生不常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往會(huì)產(chǎn)生疑惑，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

一、學(xué)生容易混淆反比例關(guān)系與反比例函數(shù)兩個(gè)概念

在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)后，學(xué)生常有這樣的疑問：“反比例函數(shù)中的自變量x與函數(shù)y就是‘成反比例吧？”這個(gè)疑問反映學(xué)生在反比例函數(shù)概念的理解上存在著誤區(qū)。

誤區(qū)一：學(xué)生對“反比例函數(shù)”的概念屬性認(rèn)識(shí)不足。“反比例關(guān)系”是一種數(shù)量關(guān)系，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）中屬第二學(xué)段（4～6年級(jí)）概念，是建立在正有理數(shù)范圍內(nèi)的“數(shù)量關(guān)系”，研究的是兩個(gè)具體的數(shù)量之間的關(guān)系，具有離散性[1]。“反比例函數(shù)”是一種函數(shù)關(guān)系，在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中屬第三學(xué)段（7～9年級(jí)）概念，是建立在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的“函數(shù)關(guān)系”，研究的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，具有連續(xù)性。

誤區(qū)二：學(xué)生對“反比例函數(shù)”概念的內(nèi)涵與外延存在混淆。反比例關(guān)系是研究一種具體的“數(shù)量關(guān)系”，而反比例函數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界一類數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象的“數(shù)學(xué)模型”。反比例函數(shù)包含了反比例關(guān)系，反比例關(guān)系是反比例函數(shù)的“屬概念”。

誤區(qū)三：學(xué)生對反比例關(guān)系與反比例函數(shù)兩個(gè)概念的共性認(rèn)識(shí)不足。無論是兩個(gè)常量還是兩個(gè)變量，都具有“x·y=k（k≠0，k是常數(shù)）”的關(guān)系。

根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所出現(xiàn)的誤區(qū)，需要教師重視學(xué)生所提出的問題，反思概念教學(xué)流程。通過對整個(gè)教學(xué)模式和教學(xué)流程進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)在概念的屬性歸納與概念的辨析環(huán)節(jié)中，教師的指導(dǎo)內(nèi)容還相對缺乏。教師在進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)充講解后，對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的增長，你們會(huì)發(fā)現(xiàn)“數(shù)”的范圍越來越廣，小學(xué)學(xué)習(xí)的是非負(fù)有理數(shù)，初中擴(kuò)大到實(shí)數(shù);“數(shù)”的擴(kuò)充豐富了我們的認(rèn)識(shí)，也會(huì)產(chǎn)生一些你可能想不到的“意外”，請自學(xué)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，看看有什么新發(fā)現(xiàn)（這里指反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)有y隨x增大而增大的情況，與學(xué)生在小學(xué)獲得的經(jīng)驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生沖突，以此進(jìn)一步加深學(xué)生對反比例關(guān)系與反比例函數(shù)概念的理解）。

數(shù)學(xué)學(xué)科的概念較多，涉及許多數(shù)字和符號(hào)，同時(shí)，由于數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性， 學(xué)生在進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，特別是自學(xué)，對一個(gè)貌似簡單的概念， 往往要費(fèi)很大周折才能理解，嚴(yán)重降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)積極性。許多教師對此并沒有保持警覺， 缺乏對學(xué)生學(xué)習(xí)的理解。在教學(xué)的過程中，教師只進(jìn)行一些數(shù)學(xué)概念的簡單講解，往往認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分容易的，但卻沒有意識(shí)到自己的“容易” 是經(jīng)歷了千辛萬苦、長期積累才得到的。這種心理會(huì)導(dǎo)致師生交流出現(xiàn)障礙，造成教師不從學(xué)生的角度出發(fā)，不能針對學(xué)生的困難展開教學(xué)。同時(shí)，這種教學(xué)心理導(dǎo)致教師認(rèn)為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分容易的，因此老師往往采用滿堂灌的教學(xué)方式，在教學(xué)的過程中，占據(jù)主動(dòng)地位，缺乏師生之間的互動(dòng)，無法調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。因此， 教師要對這種心理保持高度警惕， 努力從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)， 通過加強(qiáng)與學(xué)生溝通，增加課堂互動(dòng)等方式，提高對學(xué)生的了解。同時(shí)，在課堂教學(xué)中，教師要積極開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生參與到活動(dòng)之中，保證學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)， 提高學(xué)生對概念的理解。同時(shí)要確保學(xué)生有自己想明白的機(jī)會(huì)和時(shí)間，便于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)概念，從而提高成就感，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性[2]。

二、學(xué)生對反比例函數(shù)圖像“間斷點(diǎn)”特征認(rèn)識(shí)不夠深入

原因分析：學(xué)生受一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像的整體“連續(xù)性”影響而產(chǎn)生“負(fù)遷移”，在“連線”過程中因所描點(diǎn)數(shù)量較少或沒有按自變量由小到大的順序連線而造成。

教學(xué)策略：為學(xué)生提供“坐標(biāo)紙”，減輕學(xué)生在“描點(diǎn)”過程中所花的時(shí)間與精力;提醒學(xué)生盡量多描幾個(gè)點(diǎn)，注意“連線”的順序;在學(xué)生畫圖前，引導(dǎo)學(xué)生說明函數(shù)自變量的取值范圍及其幾何意義（x≠0，圖像與y軸沒有交點(diǎn)）。

原因分析：學(xué)生對反比例函數(shù)圖像的“間斷點(diǎn)”“不連續(xù)”特征還停留在感性認(rèn)識(shí)。

教學(xué)策略：

（1）指導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，歸納圖像特點(diǎn)（曲線，兩個(gè)分支，分別位于一、三象限）。

三、學(xué)生不易接受雙曲線漸近坐標(biāo)軸所反映出的極限思想

有學(xué)生提出問題：“隨著自變量x的增大或減小，曲線變化趨勢為逐漸接近x軸或y軸，為什么不會(huì)到達(dá)x軸或y軸呢？”

分析原因：學(xué)生受生活中的運(yùn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)影響，認(rèn)為只要向目的地不斷靠近，終會(huì)到達(dá);學(xué)生在自身的經(jīng)驗(yàn)里沒有認(rèn)識(shí)到“速度”發(fā)生變化對運(yùn)動(dòng)結(jié)果會(huì)造成影響。