張永剛

摘? 要：關(guān)于正方體的截面，可以探究其形狀、大小、周長等，內(nèi)容解析中具體分析了可能研究到的問題及研究思路. 在常態(tài)教學(xué)中進(jìn)行完整、大型數(shù)學(xué)探究的實(shí)踐較少，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)在思維和操作方面有所顧忌，需要教師的設(shè)計(jì)、指導(dǎo)和幫助，為此設(shè)計(jì)了以學(xué)術(shù)真實(shí)為情境的項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)方式. 教師設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)問題，學(xué)生自主分解任務(wù)實(shí)施項(xiàng)目，并用評價(jià)指引項(xiàng)目的實(shí)施，最后形成項(xiàng)目作品——數(shù)學(xué)“定理”，并進(jìn)行展示交流、智慧分享，完善產(chǎn)品和項(xiàng)目報(bào)告、積累探究經(jīng)驗(yàn).

關(guān)鍵詞：項(xiàng)目學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)探究;正方體截面

一、項(xiàng)目教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 項(xiàng)目教學(xué)內(nèi)容

探究正方體截面的形狀、面積及周長.

建議使用三課時(shí). 提前布置任務(wù)，學(xué)生課前獨(dú)立自主探究. 第1課時(shí)在開題報(bào)告中完成問題的提出與成果展示的規(guī)范化;第2課時(shí)中期匯報(bào)充分掌握正方體截面的形狀特征并進(jìn)行面積大小的初步探究;第3課時(shí)全面展示探究成果，布置課后作業(yè). 最后完成研究報(bào)告.

2. 項(xiàng)目內(nèi)容解析

立體幾何研究的是現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.

本探究活動(dòng)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，了解了一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法之后，進(jìn)一步探究如何全面、準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)一個(gè)空間幾何體;如何在研究過程中逐步發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的問題，在解決問題的同時(shí)歸納方法、探索規(guī)律，從而揭示數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)——探索規(guī)律的不變性.

對于正方體來說，用一個(gè)平面去截它，最直觀的是截面的形狀. 對此可以按截面邊的數(shù)量進(jìn)行分類. 截面多邊形的邊是指這個(gè)平面與正方體表面的交線. 正方體有六個(gè)面，一個(gè)平面截一個(gè)正方體，該平面最少會(huì)與三個(gè)面相交，最多會(huì)與六個(gè)面交，按照邊的數(shù)量可分為：三角形，四邊形，五邊形，六邊形. 在這些多邊形中是否存在特殊的形狀，可以通過觀察、猜想進(jìn)一步探究，并通過論證與舉反例進(jìn)行證明或反駁. 截面所在平面的相對位置不同，導(dǎo)致截面形狀的不同，按照某些特殊位置的平面系截正方體，分析各類截面圖形是否存在，更容易了解截面形成的過程，體會(huì)分類研究是解決復(fù)雜綜合問題的常用方法.

截面的形狀確定之后還可以創(chuàng)設(shè)“求面積最值”的情境. 為探究求截面面積，可采取按截面在正方體的一個(gè)特定表面的投影形狀進(jìn)行分類. 為了探究求截面面積的一般方法，以2018年高考全國Ⅰ卷理科第12題為支架問題，發(fā)現(xiàn)六邊形截面的面積可以轉(zhuǎn)化為其在正方體表面的投影面積進(jìn)行計(jì)算，而這種方法又能推廣到截面四邊形、五邊形. 為了控制二面角變化中的變量數(shù)量，將截面圖形中兩條平行的邊所在的正方體表面作為投影面.

體會(huì)分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇往往是被問題所驅(qū)動(dòng)的. 當(dāng)然，對于截面圖形還有更多其他形式的標(biāo)準(zhǔn). 例如，可以按不同形狀的截面會(huì)與正方體哪些位置的棱產(chǎn)生交點(diǎn)進(jìn)行分類，這樣在給定正方體不同棱上的任意三點(diǎn)后，很快就能判斷出截面的大致形狀.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要掌握解決一類問題的方法.“類”從何而來？當(dāng)然是根據(jù)我們想要解決的問題而來. 課后作業(yè)以求截面周長為驅(qū)動(dòng)問題，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探究對正方體截面新的分類.

綜上，確定本項(xiàng)目的教學(xué)重點(diǎn)為：探究正方體的截面形狀，通過研究截面面積，探究對復(fù)雜綜合問題的合理分類.

二、項(xiàng)目教學(xué)目標(biāo)及目標(biāo)解析

1. 項(xiàng)目教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷探究正方體截面形狀、面積的過程，了解截面的形狀及特殊截面，求得截面面積的最大值.

（2）通過完成關(guān)于正方體截面的探究，讓學(xué)生了解探究，經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、證明猜想或反駁猜想的過程，積累通過思維碰撞、合作探究進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).

（3）通過體會(huì)合理分類與歸類的過程，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2. 項(xiàng)目目標(biāo)解析

（1）能通過自主實(shí)驗(yàn)，找出正方體所有可能出現(xiàn)的截面形狀，以合理的形式概括描述，并說出各類多邊形產(chǎn)生的原因;能借助立體幾何初步中給出的基本事實(shí)、定理、推論等論證截面多邊形的形狀特征;能夠脫離實(shí)驗(yàn)想象出以與正方體的棱、面對角線、體對角線平行或垂直的平面截正方體可能截出的圖形;能合理選擇正方體表面作為投影面，轉(zhuǎn)化求截面面積，了解為求出截面面積的最大值而對截面投影形狀先進(jìn)行分類再進(jìn)行歸類的方法.

（2）能通過實(shí)驗(yàn)探究，對結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)疑. 例如，為什么會(huì)有五邊形、六邊形？是否會(huì)有直角或鈍角三角形？是否會(huì)出現(xiàn)梯形？并且能夠借助已有知識(shí)對問題進(jìn)行論證或反駁;面對逐漸深入的探究，能夠大膽合理猜想，主動(dòng)駁斥論證，探討解決方案，直至提出新的問題.

（3）能對復(fù)雜問題提出合理恰當(dāng)?shù)姆诸?，再回到問題本身，對散亂多樣的分類加以歸類整理;能夠主動(dòng)提出新的問題，并對不同問題提出恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn).

三、教學(xué)問題診斷分析

本單元教學(xué)的難點(diǎn)之一是學(xué)生沒有經(jīng)歷過完整的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).“找出一個(gè)平面截正方體所有可能的截面”本身是一個(gè)結(jié)構(gòu)不良的問題. 尋找截面的目標(biāo)是什么？借助何種工具找？是按邊的數(shù)量界定，按圖形形狀界定，按內(nèi)角大小界定，還是按平面位置界定？結(jié)果又應(yīng)當(dāng)如何表述？為此，將采取教師指導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合的方式：首先，以課前任務(wù)的形式啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果收集、整理、分類，從中充分認(rèn)識(shí)截面形狀形成的條件，也可以借助特殊位置的平面截正方體的探究路徑，或探查特殊截面圖形的存在性，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的空間立體幾何知識(shí)解釋截面形狀的成因和分析錯(cuò)誤等. 同時(shí)還需要推理、給出論據(jù). 分析哪一種分類方案更適合當(dāng)下的情境，解決面臨的問題，并提出新的問題.

本單元教學(xué)的難點(diǎn)之二是在求面積時(shí)由于截面所在平面位置的多樣性，導(dǎo)致截面形狀的多樣性，如何從變化的截面面積中尋找不變的規(guī)律？為此，可以設(shè)置2018年高考全國Ⅰ卷理科第12題為支架問題，發(fā)現(xiàn)只要截面之間相互平行，就能借助二面角大小的不變性將截面面積轉(zhuǎn)化為截面的投影面積進(jìn)行計(jì)算. 再推廣到一般的四邊形、五邊形、六邊形截面中，選取同一個(gè)變量，同時(shí)建立二面角與最大投影面積的函數(shù)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，可借助信息技術(shù)尋找函數(shù)最值. 在這一環(huán)節(jié)中，按指定平面尋找截面投影，并按照投影形狀進(jìn)行分類，然后再根據(jù)“尋找最大投影面積”的目標(biāo)驅(qū)動(dòng)問題進(jìn)行歸類，剔除繁冗情況. 這種歸類決策學(xué)生較難提出，教師可適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生借助信息技術(shù)體會(huì)合理分類、篩選數(shù)據(jù)、做出決策的必要性.

四、教學(xué)支持條件分析

本探究需要多種媒體的綜合應(yīng)用. 在探索初始階段，可以用實(shí)物或者模具進(jìn)行. 例如，可以利用切蘿卜塊觀察形狀，或者在透明的正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置，等等. 在深入探究階段，則需要借助信息技術(shù)手段進(jìn)行探究. 例如，利用圖形計(jì)算器探索特殊圖形的位置、投影及面積最大值時(shí)的位置.

此外，教師還可以利用其他技術(shù). 例如，使用GeoGebra軟件進(jìn)行演示，幫助學(xué)生直觀驗(yàn)證截面形狀，做出復(fù)雜函數(shù)圖象尋找函數(shù)最值.

在教師的帶領(lǐng)下，用項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行教學(xué).

五、研究規(guī)劃

教師以“用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀是什么樣的？對于截面能想到研究哪些問題？”為驅(qū)動(dòng)問題，開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 學(xué)生假定自己是一個(gè)從事數(shù)學(xué)研究的科研人員，從學(xué)術(shù)真實(shí)的數(shù)學(xué)情境入手，通過實(shí)驗(yàn)或借助信息技術(shù)提出問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想，分小組合作探究、論證反駁，形成具有一定推廣價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，最終形成項(xiàng)目作品——自己命名的“定理”. 根據(jù)每個(gè)階段形成的階段性項(xiàng)目產(chǎn)品，開展現(xiàn)場質(zhì)性評價(jià). 最終在結(jié)題活動(dòng)中展示項(xiàng)目產(chǎn)品，學(xué)生自我評價(jià)，教師結(jié)合探究過程分別為項(xiàng)目作品撰寫結(jié)題詞.

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 課前啟動(dòng)項(xiàng)目

引導(dǎo)語：“把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”是研究空間問題的一種重要方法. 用一個(gè)平面去截空間幾何體，形成截面圖形，也是將空間問題“平面化”的一種重要方法.

任務(wù)1：規(guī)劃可能探究的問題.

用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀是什么樣的？對于截面你能想到研究哪些問題？

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生自主完成.

預(yù)設(shè)答案：可以研究截面的形狀，特殊圖形，截面的面積、周長，等等.

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生打開思路、提出問題，為后續(xù)的探究做好鋪墊.

任務(wù)2：猜想截面的形狀并予以論證或反駁.

學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位共同提出實(shí)驗(yàn)策略，利用已有的工具和材料，找出一個(gè)平面截正方體可能出現(xiàn)的所有截面形狀. 具體要求如下.

（1）實(shí)驗(yàn)結(jié)果易于觀察、直觀清晰. 匯總所有不同形狀的截面圖形，拍成照片并標(biāo)注圖形名稱，打包發(fā)送到班級郵箱.

（2）給出猜想：用一個(gè)平面去截正方體，可能形成哪些截面圖形，其中又有哪些特殊形狀（如正三角形等）？并論證你得到的結(jié)論.

預(yù)設(shè)師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行探究. 通過切蘿卜塊觀察;也可以在透明的正方體盒子中注入有顏色的水;在正方體上綁皮筋;還可以借助信息技術(shù)直觀、快捷地展示各種可能的截面. 為課題的開展形成前期的獨(dú)立思考與認(rèn)知.

【設(shè)計(jì)意圖】闡述課題研究的必要性，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，學(xué)生提前形成自我認(rèn)知，培養(yǎng)動(dòng)手能力. 通過觀察和匯總實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對截面形狀提出猜想，驗(yàn)證猜想的成立，為后期合作探究逐漸深入研究做準(zhǔn)備，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

2. 第1課時(shí)——探究正方體截面的形狀與面積開題報(bào)告活動(dòng)

環(huán)節(jié)1：分組展示交流部分研究成果，積累探究經(jīng)驗(yàn).

師生活動(dòng)：以一個(gè)問題為目標(biāo)，為探究目標(biāo)做出示范，教師做出評價(jià).

學(xué)生可能面對的困難.

（1）注重直觀想象，欠缺嚴(yán)密的理論推理.

（2）展示的研究成果缺乏系統(tǒng)性，準(zhǔn)確性.

教師引導(dǎo)：可以以正方體的三角形截面為范例，引導(dǎo)學(xué)生類比研究其他截面圖形.

環(huán)節(jié)2：分組展示交流，確定研究內(nèi)容，形成研究方案.（制定項(xiàng)目作品目標(biāo).）

師生活動(dòng)：學(xué)生課前進(jìn)行探究，課上提出有價(jià)值的研究問題、確定研究方向，制定研究計(jì)劃并在班級展示.

學(xué)生可能面對的困難.

（1）學(xué)生沒有探究經(jīng)驗(yàn)，很難提出有價(jià)值、有深度的問題，可能還會(huì)把探究問題停留在解題上.

（2）提出的問題過于寬泛、不夠有條理，不易總結(jié)出一般規(guī)律.

教師引導(dǎo)：明確探究任務(wù)的實(shí)質(zhì)，可示范性地給出一些問題范例;通過協(xié)調(diào)小組之間的合理任務(wù)分工，明確研究方向.

【設(shè)計(jì)意圖】初步了解數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的本質(zhì)，掌握必要的研究方法，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、理解問題、解決問題的一般探究思路，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，為后期合作探究做準(zhǔn)備.

第1課時(shí)課下，學(xué)生自主開展探究活動(dòng)，教師隨機(jī)參與、交流指導(dǎo).

3. 第2課時(shí)——探究正方體截面的形狀與面積中期成果匯報(bào)活動(dòng)

環(huán)節(jié)1：分組展示交流部分研究成果（階段性項(xiàng)目產(chǎn)品展示），積累探究經(jīng)驗(yàn).

師生活動(dòng)：學(xué)生展示，師生制定評價(jià)標(biāo)準(zhǔn).

學(xué)生可能面對的困難.

（1）展示的研究成果缺乏系統(tǒng)性、準(zhǔn)確性.

（2）可能出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論.

（3）小組間合作不夠充分，對其他小組的研究成果了解不夠充分.

教師引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生合理分類表述研究成果，形成合理分類意識(shí)，對研究成果做出評價(jià)，提出下一步的研究建議.

環(huán)節(jié)2：全面匯總前期研究成果，合理分類表述或提出新的問題.

師生活動(dòng)：小組間相互評價(jià)，教師評價(jià)提出的新問題，對于較難解決的問題教師可給出合理的問題支架.

學(xué)生可能面對的困難：研究成果不夠全面，表述不夠有條理.

教師引導(dǎo)：及時(shí)評價(jià)，對于復(fù)雜問題可提供相應(yīng)的問題支架.

教師講解：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究，并最終解決問題的過程. 具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索和合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論. 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.

【設(shè)計(jì)意圖】理解數(shù)學(xué)課題研究的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí). 通過體會(huì)合理分類與歸類的過程，提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

第2課時(shí)課下，學(xué)生進(jìn)一步深化探究，梳理成果.

4. 第3課時(shí)——探究正方體截面的形狀與面積結(jié)題交流活動(dòng)

環(huán)節(jié)1：分組成果匯報(bào).

師生活動(dòng)：小組項(xiàng)目負(fù)責(zé)人匯報(bào)成果，其他成員可以補(bǔ)充并做好記錄、認(rèn)真反思、取長補(bǔ)短，教師記錄對該組的質(zhì)疑，匯報(bào)后提問，指出各組優(yōu)、缺點(diǎn).

環(huán)節(jié)2：項(xiàng)目總結(jié).

師生活動(dòng)：學(xué)生談?wù)剬?shù)學(xué)探究活動(dòng)的體會(huì)，以及在活動(dòng)中的收獲. 師生共同評出優(yōu)勝小組. 教師做出結(jié)題評價(jià).

七、預(yù)設(shè)項(xiàng)目產(chǎn)品

1. 截面形狀分類

用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，平面最少會(huì)與正方體的三個(gè)面相交，最多會(huì)與正方體的六個(gè)面相交，截面按照邊的數(shù)量可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

【設(shè)計(jì)意圖】通過直觀想象了解截面形狀，初步培養(yǎng)學(xué)生的分類表述能力.

項(xiàng)目作品1：特殊截面多邊形存在性論證.

2. 三角形截面的探究

問題1：在三角形的截面中，具體有哪些類型？如何判斷？

預(yù)設(shè)答案：若用一個(gè)平面截正方體，截面只與正方體兩兩相交的三個(gè)表面相交，此時(shí)截面與正方體表面恰好有三條交線，此為截面多邊形中邊數(shù)最少的圖形. 按照截面與正方體棱的交點(diǎn)位置的不同，可劃分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形.

分別用x，y，z表示截面三角形的三條邊長，再借助余弦定理判定截面不可能出現(xiàn)直角或鈍角三角形，進(jìn)一步研究截面三角形的形狀.

也可以用反證法證明不會(huì)有直角三角形.

與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故假設(shè)不成立.

【設(shè)計(jì)意圖】明確問題的定位，即要借助空間立體幾何中的知識(shí)對產(chǎn)生的問題進(jìn)行合理的論證或駁斥. 進(jìn)一步深化分類，從截面所在平面位置是否可以截出三角形入手，形成認(rèn)識(shí)截面圖形的一般套路.

3. 四邊形截面的探究

問題2：用一個(gè)平面截正方體得到的四邊形截面有哪些類型？如何判斷？

預(yù)設(shè)答案：由于截面與正方體四個(gè)不同的表面（截面過正方體棱時(shí)按與一個(gè)表面相交計(jì)算）相交，才能形成四邊形，而任選正方體四個(gè)不同表面，至少會(huì)有一對平行平面. 例如，圖2、圖3、圖4都是平面與正方體的兩對平行表面相交，交線對應(yīng)平行，此時(shí)界面必為平行四邊形;圖5是平面與正方體的一對平行表面相交，因此截面四邊形至少有一組對邊平行，即截面四邊形只可能是梯形或矩形（不會(huì)出現(xiàn)一般的平行四邊形，可證明）. 類比證明無直角三角形截面的方法，可用反證法證明不存在直角梯形. 在證明的過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)截面所在平面與一條側(cè)棱所在直線平行時(shí)，截面圖形為矩形，特殊位置時(shí)可以是正方形;當(dāng)截面所在平面過側(cè)棱所在直線時(shí)為矩形（如圖3），這一位置也可以看作是截面與兩對平行表面相交產(chǎn)生的截面四邊形.

4. 五邊形截面的探究

五邊形截面是平面與正方體的五個(gè)表面產(chǎn)生交線，一個(gè)平面是否能夠同時(shí)與正方體的五個(gè)表面相交？三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面，可在三條互相平行的棱上各確定一點(diǎn)（確定的平面不與正方體表面平行），利用立體幾何中的基本事實(shí)3尋找截面與正方體表面的交線，這樣的截面圖形中可能出現(xiàn)平行四邊形，也可能出現(xiàn)五邊形（不會(huì)出現(xiàn)六邊形）. 當(dāng)截面所在平面與正方體五個(gè)面相交時(shí)截出的就是五邊形. 而正方體的這五個(gè)表面至少會(huì)有兩兩平行的兩對平面，由面面平行的性質(zhì)定理可知：截面五邊形必有兩組對邊分別平行.

由于在平面內(nèi)，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)（如圖6），故[∠1+∠2][=180°].

顯然與正五邊形各內(nèi)角相等，分別為[108°]相矛盾，故不存在正五邊形截面.

5. 六邊形截面的探究

平面所在截面與正方體的每個(gè)表面都相交時(shí)，截面圖形是六邊形. 由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知，這個(gè)六邊形截面必定是由三組兩兩平行的六條邊圍成的幾何體，于是這個(gè)六邊形的各內(nèi)角必為[120°].

從作圖的過程中發(fā)現(xiàn)，六邊形截面與棱的交點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在正方體同一個(gè)表面的兩條相互平行的棱上，即：對棱有交點(diǎn)，對面平行線. 這一特點(diǎn)是由正方體的對稱性決定的.

【設(shè)計(jì)意圖】充分探究正方體截面的形狀，讓學(xué)生了解探究，經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、證明猜想或反駁猜想的過程，積累探究的經(jīng)驗(yàn).

項(xiàng)目作品2：特殊位置的平面截正方體，可能出現(xiàn)的截面形狀規(guī)律.

6. 其他

問題3：在什么條件下會(huì)產(chǎn)生三角形、四邊形、五邊形、六邊形截面，或者特殊的多邊形截面？你能找到規(guī)律嗎？用一些特殊位置的平面截正方體試一試.

預(yù)設(shè)答案：我們發(fā)現(xiàn)截面圖形不但能從邊的數(shù)量上進(jìn)行分類，而且能夠按截面所在平面的某些特殊位置進(jìn)行分類. 例如，平面與正方體的一條面對角線垂直截正方體，只可能截面出六邊形或等邊三角形. 通過對抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類，隨著分類的不斷深化，更容易幫助我們揭示問題的本質(zhì).

具體歸類匯總?cè)缦?

① 與正方體的一條棱平行（或一個(gè)面垂直）的平面截正方體，截面一定是矩形. 其中，用與正方體一對平行的面平行的平面截正方體，截面是正方形. 除此之外，圖7的這種特殊位置也可以截出正方形.

② 用與正方體的一條面對角線平行的截面截正方體，可能截出三角形且這些三角形都是等腰三角形，可能截出的四邊形有等腰梯形、矩形、正方形、菱形，還可能截出五邊形、六邊形.

只要一個(gè)平面截正方體，使截面與正方體彼此平行的四條棱同時(shí)相交，此時(shí)截面圖形一定是平行四邊形;如果這個(gè)平行四邊形再有一條對角線與正方體的一條面對角線平行，那么這個(gè)平行四邊形就是菱形.

③ 用與正方體的一條面對角線垂直的平面截正方體，截面都是矩形.

④ 用與正方體的一條體對角線平行的平面截正方體，可能截出三角形. 如果截面為四邊形，形狀可能是梯形、矩形. 可能截出五邊形，不可能截出六邊形.

⑤ 用與正方體的一條體對角線垂直的平面截正方體，截面為正三角形、六邊形（含正六邊形）.

⑥ 用過正方體的體對角線的平面截正方體，截面形狀可能是平行四邊形、菱形、矩形.

教師可以借助多媒體展示部分截面的形成.

再如，可以按不同形狀的截面會(huì)與正方體哪些位置的棱產(chǎn)生交點(diǎn)進(jìn)行分類，這樣在給定正方體不同棱上的任意三點(diǎn)后，很快就能判斷出截面的大致形狀.

【設(shè)計(jì)意圖】展示不同的分類思路，拓展學(xué)生思考問題的角度，使他們體會(huì)問題驅(qū)動(dòng)下的分類.

問題4：經(jīng)過前面的分析，可以繼續(xù)探究截面圖形是否還有其他形式的分類？

項(xiàng)目作品3：用一個(gè)平面截正方體，截面面積最大問題.

探究任務(wù)：我們已經(jīng)了解了正方體截面的形狀，那么，不同形狀的截面面積如何計(jì)算？什么情況下取得最大值？試結(jié)合你課前的探究進(jìn)行進(jìn)一步研究.

問題5：關(guān)于截面面積何時(shí)最大，你能想到哪些具體的問題？

預(yù)設(shè)答案.

① 任意三角形截面面積最大問題.

② 等腰梯形截面面積最大問題.

③ 平行于棱的平面截出的矩形面積最大問題.

【設(shè)計(jì)意圖】激發(fā)學(xué)生的探究興趣，分解復(fù)雜問題.

問題6：正方體具有非常完美的對稱性，先來體會(huì)一個(gè)特殊位置截面面積的最值問題. 通過求解下面的具體問題，你能提煉出求解截面面積的一般方法嗎？

已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值如何尋找？

師生活動(dòng)：學(xué)生完成猜想并加以論證，總結(jié)出轉(zhuǎn)化截面面積的一般套路.

【設(shè)計(jì)意圖】在四邊形、五邊形、六邊形截面中，將面積轉(zhuǎn)化為投影面較為復(fù)雜，通過這個(gè)問題的求解為學(xué)生的進(jìn)一步探究搭建支架.

問題7：正方體的所有截面中哪個(gè)截面面積最大？最大面積是多少？提出你的猜想，并論證.

追問1：正六邊形截面的面積是否為正方體所有截面中面積最大的截面？

預(yù)設(shè)答案：不妨設(shè)正方體棱長為1，如圖8，[S1=6×][12×222×sin 60°=334;S2=1×2=2，] 顯然[S1<S2]. 通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，正六邊形截面的面積并不是正方體所有截面中最大的.

追問2：為了尋找截面面積的最大值，你覺得可以將截面問題進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化？

預(yù)設(shè)答案：截面圖形面積最大的探究.

① 三角形截面圖形中面積最大者為三個(gè)兩兩相交表面的對角線圍成的等邊三角形（之前已說明），最大面積為[Smax=32<2，] 一定無法形成最大面積，此處不再進(jìn)行研究.

② 除三角形截面外，截面面積最大計(jì)算方法的探究：當(dāng)正方體的截面不是三角形時(shí)，必然與正方體的一組對面分別有交線[l1，l2]，將這組相對的面作為上、下底面，設(shè)截面在下底面上的投影面積為[T]，截面與上、下底面的二面角的大小記為[θ，] 則根據(jù)面積射影定理，得截面面積[S=Tcos θ].

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知交線[l2]在底面上的投影[l2′]與交線[l1]平行. 設(shè)這兩條平行線之間的距離為a，則容易求得[cosθ=aa2+1.] 所以[S=T1+1a2，0<][a≤2]. 當(dāng)[a>1]時(shí)，由于[T≤1]（正方形的一個(gè)表面面積為1），因此[S≤2.] 則截面面積的最大值為[2.]

當(dāng)[0<a≤1]時(shí)，我們研究當(dāng)a固定時(shí)的投影面面積的最大值T（a）max，再求出當(dāng)a變化時(shí)的截面面積S的最大值S（a）max即可. 記底面為正方形ABCD，下面按投影中平行線與正方形的四邊的相交情況分類討論（設(shè)相交得到的線段分別為MN和PQ）：

第一種情況，如圖9，平行線均與正方形的某一組鄰邊相交.

第二種情況，如圖10，平行線中一條與正方形的一組鄰邊相交，另一條與一組對邊相交.

第三種情況，如圖11，平行線分別與正方形的兩組鄰邊相交.

第四種情況，如圖12，平行線均與正方形的某一組對邊相交.

投影面積的最大值不可能在第一種和第二種情況下取得. 因?yàn)楫?dāng)我們將平行線向右上方作平行移動(dòng)時(shí)面積總會(huì)變大，最終將轉(zhuǎn)化為第三種和第四種情況.

在第三種情況中，可知當(dāng)MN的方向固定，且MN的長度與PQ的長度相等時(shí)，投影面積達(dá)到最大. 于是問題轉(zhuǎn)化為以正方形中心為圓心，[a2]為半徑作圓，直線MN與圓相切且分別交AB，AD于M，N，求△AMN的面積何時(shí)最小.

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生合理的分類和歸類意識(shí).

八、課后作業(yè)

完成課題研究報(bào)告.

項(xiàng)目作品4：與體對角線垂直的平面截正方體，截面周長的變化規(guī)律.（備用）

預(yù)設(shè)的答案：略.

九、項(xiàng)目反思

通過項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，學(xué)生從最初的被動(dòng)“配合”到后來的主動(dòng)“融入”，最后全面投入到探究活動(dòng)中來，并真正理解了何為數(shù)學(xué). 例如，學(xué)生總結(jié)中談到：通過這次活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)要想“秒殺”數(shù)學(xué)題不是要鉆進(jìn)題海里“刷題”，而是要站在更高的維度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).

技術(shù)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的融合，不但能夠減少繁冗的運(yùn)算、機(jī)械的想象等低級、枯燥的工作;通過增加算法設(shè)計(jì)、模型構(gòu)建等高級思維，還能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想，縮小學(xué)生個(gè)體間的差異.

例如，圖16為學(xué)生用GeoGebra軟件探究，在正方體相應(yīng)棱上分別取非中點(diǎn)截取等長線段，使其圍成封閉圖形，發(fā)現(xiàn)得到不是平面圖形，反過來也就獲得了猜想用平面截取正方體得到六邊形截面，一定是取相應(yīng)棱中點(diǎn)截得的;圖17為學(xué)生借助手持圖形計(jì)算器獲得大量截面圖形在正方體表面的投影形狀.

學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、反駁猜想或論證猜想、分析數(shù)據(jù)、建模解模最終提出了自己命名的“定理”. 學(xué)科教學(xué)目標(biāo)伴隨著這一過程自然達(dá)成. 這些不一樣的“定理”雖然并不完美，但已在學(xué)生心中播下了“興趣”的種子，能夠不斷激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)新知識(shí)、探索新問題，甚至能夠探索出超越高中知識(shí)范圍的項(xiàng)目作品.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]薛紅霞，馬勝利. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展項(xiàng)目學(xué)習(xí)的嘗試：以“測量……”為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（10）：9-13，18.