王先貴

摘 要： 在小學(xué)階段“圖形與幾何”的教學(xué)過程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想，能夠更好地使學(xué)生利用以數(shù)解形的方法學(xué)習(xí)圖形。本文利用新人教版中的《長方形和正方形》《三角形的分類》以及《平行四邊的面積》幾部分內(nèi)容，對數(shù)形結(jié)合的編排進行整理，概括出數(shù)形結(jié)合在“圖形與幾何”教學(xué)中的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;數(shù)與形;小學(xué)數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G623.5? ? ? ? ? ? 【文獻標(biāo)識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1005-8877（2022）06-0004-04

Research on the Application of Combination of Number and Shape in Primary School Mathematics Teaching

——Take the Teaching of "graphics and Geometry" in Primary School Mathematics As an Example

WANG Xiangui? （Gengjiazhuang Primary School， Chengguan District， Lanzhou City， Gansu Province，China）

【Abstract】In the teaching process of "graphics and geometry" at the primary school level， infiltrating the idea of combining figures and shapes can better enable students to learn figures by solving figures and shapes. This article uses several parts of "Rectangles and Squares"， "Classification of Triangles" and "Area of Parallel Four Sides" in the New People's Education Edition to organize the arrangement of the combination of numbers and shapes， and summarize the combination of numbers and shapes in the teaching of "Figures and Geometry" In the role.

【Keywords】Combination of number and shape; Number and shape; Primary school mathematics

數(shù)形結(jié)合思想簡言之就是把抽象的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換成直觀的幾何圖形或位置關(guān)系，從而更便捷地解決問題。數(shù)形結(jié)合可以分為三種類型：以形助數(shù)，以數(shù)解形，數(shù)形互依。以形助數(shù)是指借助圖形的直觀來闡釋數(shù)的抽象;以數(shù)助形是通過數(shù)的精確來闡釋圖形的某種性質(zhì);數(shù)形互依是借助數(shù)與形之間進行的等價轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題。

在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中，圖形的定義一般都含有圖形的數(shù)量關(guān)系，如“由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段首尾相連）叫作三角形”，“封閉圖形一周的長度，是它的周長”……這些圖形的定義都是圖形的“數(shù)”及數(shù)量關(guān)系的描述，而單純地描述這些數(shù)學(xué)語言無法讓學(xué)生聯(lián)想到相應(yīng)的圖形。因此，在認(rèn)識數(shù)學(xué)圖形時，可以利用數(shù)形結(jié)合在學(xué)生腦海中建立圖形與相應(yīng)數(shù)量關(guān)系的橋梁，通過數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜、抽象、難懂的數(shù)學(xué)問題形象化、簡單化，開闊學(xué)生的思維視野，使學(xué)生的思維更加清晰，形成數(shù)學(xué)思維，掌握數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

1.數(shù)形結(jié)合在圖形認(rèn)識教學(xué)中的應(yīng)用

小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知水平、理解能力還處于發(fā)展階段，相比成年人較差，在理解與學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識時缺乏自主理解能力與自主意識，在分析問題時需要在教師的啟發(fā)與引導(dǎo)下才能理解與掌握新的內(nèi)容，但如果在教學(xué)中教師使用直接講解的方式，將數(shù)學(xué)問題的解答方式與運算過程直接講解出來，對學(xué)生的思維能力、邏輯能力有一定的限制性，學(xué)生只是跟著教師的思路分析問題，并不能完全理解如何運用已學(xué)知識解決實際問題，且學(xué)生也無法學(xué)會轉(zhuǎn)換思維，對學(xué)生學(xué)習(xí)效率及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展十分不利。而數(shù)形結(jié)合使抽象的概念直觀化，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，因此，在教學(xué)中教師應(yīng)注重根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，合理運用數(shù)形結(jié)合的方式開展教學(xué)，將教學(xué)中抽象的數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形進行講解，或使用以數(shù)解形的方式幫助學(xué)生樹立知識，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生更加清晰地了解圖形中的數(shù)量關(guān)系，將圖形與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，構(gòu)建完整的知識體系。在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)過程中，總能用到以數(shù)解形的方法。例如，在學(xué)習(xí)《長方形和正方形》時，如果在教學(xué)中只告訴學(xué)生正方形的四條邊，四個直角都相等這些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，并不能在學(xué)生腦海中形成相應(yīng)的圖形，圖形的特征也不能與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合，這時候就需要用“形”來進行直觀的表現(xiàn)。如在教學(xué)時，先讓學(xué)生找一找、說一說分辨正方形與長方形與其他圖形的區(qū)別是邊數(shù)的多少，再讓學(xué)生對正方形和長方形的邊和角進行測量，得出邊與角的數(shù)量關(guān)系，并比較得出正方形和長方形邊和角之間的相同和不同。通過以上一系列的操作，將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，使學(xué)生通過觀察、比較將正方形和長方形的數(shù)量關(guān)系與圖形結(jié)合起來，培養(yǎng)了學(xué)生的圖形思維能力。

然后通過在格子圖中畫長方形和正方形，在學(xué)生動手的過程中再一次直觀地感受“數(shù)”與“形”相結(jié)合的過程，經(jīng)歷由圖形——數(shù)量關(guān)系，再由數(shù)量關(guān)系——圖形的過程，讓學(xué)生充分體驗到圖形的數(shù)量關(guān)系與圖形之間是相輔相成的。用剪一剪的方式，讓學(xué)生在一張長方形紙上剪出一個正方形，讓學(xué)生感受數(shù)量關(guān)系的變化導(dǎo)致圖形的變化。不僅區(qū)分了正方形和長方形數(shù)量關(guān)系的不同，更讓學(xué)生體驗數(shù)量關(guān)系的變與不變能引起圖形的變化。

因此在“圖形與幾何”的圖形概念教學(xué)過程中，要有針對性地選擇所學(xué)圖形和數(shù)量關(guān)系相結(jié)合的數(shù)形結(jié)合思想進行講解。把復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)識圖形的目的。

2.數(shù)形結(jié)合在圖形的特征教學(xué)中的應(yīng)用

《三角形的分類》一課屬于“圖形與幾何”的范疇，在教學(xué)開始時直接引入話題，讓學(xué)生觀察圖形。在這個過程中，學(xué)生歸納總結(jié)了不同種類的三角形。從不同的角度挖掘?qū)W生的潛力，讓學(xué)生在運用數(shù)形結(jié)合思想的同時感受不同三角形的數(shù)量關(guān)系的不同。下面就以《三角形的分類》教學(xué)片段為例，闡述數(shù)形結(jié)合在“圖形與幾何”教學(xué)中的作用。

（1）數(shù)形結(jié)合，感受分類標(biāo)準(zhǔn)

同學(xué)們看看，老師手里的圖形都是什么形狀？

逐個出現(xiàn)7個三角形。

預(yù)設(shè)：等邊三角形、對角三角形、直角三角形……

都是三角形，它們完全一樣嗎？

通過對7個三角形的比較，感受不同三角形的邊和角的不同，通過觀察和比較，測量出不同三角形的數(shù)量關(guān)系。通過“數(shù)”的不同對三角形進行分類。

（2）數(shù)形結(jié)合，自主分類

請同學(xué)們拿出紅色學(xué)具袋中的三角形，想一想，你能對這些三角形進行分類嗎？

要求：①自己動手分類。②想一想你為什么這樣分？

學(xué)生小組合作分類擺放。

老師的三角形和你們的三角形形狀相同，為了讓同學(xué)們看清楚，哪位同學(xué)愿意到黑板上來擺一擺？

學(xué)生展示擺的過程。

小組匯報分類結(jié)果。

認(rèn)識按角分類的三類三角形。

提問：為什么把這幾個三角形分成一類？

學(xué)生說出分類理由。

你能給每一類三角形取一個名字嗎？

在學(xué)生分一分、擺一擺、說一說和給分類的三角形取名這些數(shù)形結(jié)合的操作過程，都是通過三角形角的數(shù)量關(guān)系對圖形進行分類的。不僅在過程中體現(xiàn)出每個三角形數(shù)與形對應(yīng)，也能在此過程中對三角形的特征有一個更深刻的認(rèn)識。

3.數(shù)形結(jié)合在《平行四邊形的面積》教學(xué)中的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形與其數(shù)量之間的關(guān)系，不僅體現(xiàn)在圖形的定義、圖形邊角之間的數(shù)量關(guān)系上，還表現(xiàn)在圖形的公式、定理或運算法則中。比如三角形的面積=底×高÷2，將圖形的面積用三角形邊的數(shù)量關(guān)系展示出來，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合中“以數(shù)解形”的方式。將圖形問題代數(shù)化，能夠幫助學(xué)生建立立體的知識結(jié)構(gòu)。在運用“以數(shù)解形”的方式分析、解決圖形問題時，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解圖形的運算規(guī)則，不能只是向?qū)W生講解圖形公式的計算方式，而是要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)題目中的數(shù)量關(guān)系與公式運用方式。同時教師在使用“以數(shù)解形”的方式開展教學(xué)時，應(yīng)注重合理使用參數(shù)建立對等的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)據(jù)作為參考分析圖形問題，以此實現(xiàn)以數(shù)解形，突破教學(xué)重、難點。并根據(jù)學(xué)生的特點用簡潔準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)描述，讓學(xué)生全面理解“形”的特點，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度揭示“形”的規(guī)律。

又如，在《平行四邊形的面積》教學(xué)中，通過在知識點中運用“以數(shù)解形”的方法，簡要而準(zhǔn)確地描述平行四邊形的面積=底×高。這就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合中用平行四邊形面積與底和高之間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在掌握平行四邊形的面積計算公式前，需要讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、討論、分析、歸納等數(shù)學(xué)過程。

先讓學(xué)生聯(lián)系平行四邊形的面積與長方形的面積之間的關(guān)系，感受圖形之間的關(guān)系。由圖形相關(guān)數(shù)量的變化引起圖形其他的數(shù)量變化。接著讓學(xué)生數(shù)一數(shù)方格，明確平行四邊形的面積也是在單位面積的基礎(chǔ)上對圖形的面積進行研究，面積與單位面積的計算就轉(zhuǎn)化成為數(shù)量之間的計算。然后，讓學(xué)生拼一拼，目的是讓學(xué)生將平行四邊形的面積公式轉(zhuǎn)化為長方形的面積公式，這樣就將平行四邊形的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為長方形的數(shù)量關(guān)系。進而根據(jù)學(xué)生的操作歸納出了平行四邊形的面積公式。

通過以上活動讓學(xué)生體會到面積的變化引起的代數(shù)式的變化，“形”與“數(shù)”相輔相成，將復(fù)雜的圖形數(shù)量關(guān)系用簡潔的數(shù)量關(guān)系式表示，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡潔，也讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合在幾何圖形學(xué)習(xí)過程中的作用。

在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”部分的學(xué)習(xí)過程中“以數(shù)解形”的方法運用較多，借助“數(shù)”精確而簡潔的優(yōu)勢，將“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化。圖形的定義、特點、公式以及運算法則等數(shù)量關(guān)系描述“形”的特點。通過大量數(shù)形結(jié)合的活動，讓學(xué)生建立“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，充分將抽象思維和形象思維相結(jié)合，讓學(xué)生對圖形及圖形的數(shù)量關(guān)系理解得更深刻。

4.強化數(shù)形結(jié)合概念的教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)大部分內(nèi)容來源于生活，本身有很強的邏輯性和理論性，這也導(dǎo)致數(shù)學(xué)所涉及的概念和定理很多，學(xué)生需要在學(xué)習(xí)過程中，對這些概念進行概括。而學(xué)生的年齡比較小，自主概括的能力還比較弱，在學(xué)習(xí)中很容易出現(xiàn)概括不到位的情況，這對學(xué)生的學(xué)習(xí)將造成很大的影響，甚至打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，幫助學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的方式，使一些在學(xué)習(xí)中比較抽象的概念具象化和簡單化，讓學(xué)生可以對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知更加順利和簡單。在數(shù)形結(jié)合的幫助下，學(xué)生可以更好地把握概念的本質(zhì)，從文字層面上擺脫出來，對概念和定理進行更加深刻的學(xué)習(xí)，逐漸養(yǎng)成學(xué)習(xí)思維。概念學(xué)習(xí)最重要的是要形成深刻的印象，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)概念以后，沒有進行及時的復(fù)習(xí)，就很容易將相似的概念進行混淆，這是由于文字層面的限制性沒有圖像深刻。而在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)中，學(xué)生可以看到文字向圖形過渡，在學(xué)生的內(nèi)心可以形成更加深刻、持久的印象。

例如，教師在對分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識進行教學(xué)時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在做判斷題和計算題解答時很容易出錯。通過一段時間的分析，教師發(fā)現(xiàn)主要是因為學(xué)生對分?jǐn)?shù)的概念認(rèn)知還不明確，對分?jǐn)?shù)的理解還停留在以往學(xué)習(xí)的整數(shù)層面。對此，教師可以在課堂教學(xué)過程中引入數(shù)形結(jié)合思想，將分?jǐn)?shù)向圖形進行轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生可以在圖形的組成構(gòu)建下，對分?jǐn)?shù)的概念有更加清晰和明確的認(rèn)識。在實際操作方面，教師可以讓每一個學(xué)生都準(zhǔn)備一張白色的A4紙，然后讓學(xué)生將白紙進行對折，再對折，再對折，然后將紙攤開，可以看到白紙上被分割成8個大小相等的格子。學(xué)生可以在這個格子中畫上自己喜歡的顏色，然后去計算不同顏色的格子分別有多少個。有的學(xué)生畫了5個黃色的格子，而白紙上一共有8個格子，那么黃色的格子就占了白紙的八分之五。通過這樣的方式，學(xué)生不再單純地依靠文字和抽象的理解，了解分?jǐn)?shù)的概念，而是能夠在圖形的幫助下，對照所學(xué)知識，了解分?jǐn)?shù)代表的含義以及作用。

5.運用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生的解題技巧

數(shù)學(xué)本身的特點和性質(zhì)決定了會在學(xué)習(xí)中遇到各種問題，對于習(xí)慣用思維思考的學(xué)生來說，很難理解抽象的數(shù)學(xué)知識點。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師不僅要把基本的數(shù)學(xué)知識點教給學(xué)生，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的解決問題的方法和技能，以便學(xué)生把解決問題的能力運用到數(shù)學(xué)問題的解決上。加深對知識點的理解和認(rèn)知也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，在數(shù)字和圖形結(jié)合的幫助下，教師可以簡化數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題的難度，讓學(xué)生在掌握規(guī)則、分析問題和解決問題的過程中找到解決問題的方法，面對帶有復(fù)雜問題解決步驟的抽象應(yīng)用問題，教師應(yīng)該使用數(shù)字和圖形相結(jié)合的想法，提高學(xué)生的問題解決能力。在數(shù)形結(jié)合的幫助下，學(xué)生對問題的看待方式會變得更加直觀，從不同角度對問題進行分析，提取問題中自己需要的內(nèi)容，然后在自己的腦海中構(gòu)建出相應(yīng)的圖形，這樣可以使學(xué)生在解題的過程中更加迅速，并且把握整個問題的整體走向，讓解出的答案更加準(zhǔn)確。

例如，教師在開展《積的變化規(guī)律》的時候，可以利用長方形面積模型幫助學(xué)生理解積的變化規(guī)律。首先，教師可以在黑板上繪制一個長方形，長10米，寬8米，然后教師再引導(dǎo)學(xué)生進行猜想：“學(xué)生們，當(dāng)這個長方形的長不變的前提下，將它的寬擴大2倍，那么長方形的面積會發(fā)生怎樣的變化？而如果當(dāng)長方形的長不變的時候，它的寬縮小到原來的1/2，那么長方形的面積又會怎樣變化？”在教師提問結(jié)束后，學(xué)生可以嘗試進行計算，根據(jù)教師在黑板上繪制的長方形進行聯(lián)想，并且提出自己的想法。在學(xué)生思考以后，教師可以通過多媒體課件的方式為學(xué)生展示，讓學(xué)生可以直觀地看到：黑板上的這個長方形的長不變還是10米，但是寬擴大兩倍，變成了16米，圖形產(chǎn)生了變化，根據(jù)長方形的面積公式計算，長方形的面積也隨著擴大兩倍，教師可以給學(xué)生展示變化后的長方形。而長方形的長不變，寬縮小到原來的1/2，根據(jù)長方形的面積公式計算，它的面積就縮小到原來的1/2，教師也可以展示變化后的圖形。學(xué)生在直觀的圖形變化和對比中，對“積的變化規(guī)律”的認(rèn)識變得更加深刻。

6.設(shè)置情境教學(xué)，提高學(xué)生的理解效果

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)字與圖結(jié)合的想法需要數(shù)與形之間相互幫助。在強調(diào)“用圖形幫助數(shù)字”的同時，不能忽視“以數(shù)解形”，只有一起工作，才能更好地解決數(shù)學(xué)問題。在實際教學(xué)中，教師需要注意情境的創(chuàng)造，營造良好的環(huán)境和氛圍，讓學(xué)生站在相應(yīng)的學(xué)習(xí)情境中，更好地理解數(shù)學(xué)知識。通過情境教學(xué)可以讓學(xué)生投入學(xué)習(xí)中更加深入，對數(shù)學(xué)知識進行更好的理解，并且在情境教學(xué)時可以將數(shù)形結(jié)合的作用發(fā)揮到最大。教師可以讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形，再通過舉一反三的方式，將圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)知識，將自己學(xué)習(xí)到的知識更好的在實踐中進行體現(xiàn)，提高學(xué)生的知識運用能力。并且在日常學(xué)習(xí)和生活中，需要引導(dǎo)學(xué)生對知識進行利用和理解，形成一個良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為之后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維方式。

例如，在教授“時、分、秒”的知識時，可以讓學(xué)生理解時、分、秒針表示的意思，讓學(xué)生整理自己的時鐘，明確教科書標(biāo)題和時鐘時間的關(guān)系。教師可以說出一些時間，然后讓學(xué)生進行時間的調(diào)試，以達到教師的要求。實踐練習(xí)后，只要學(xué)生一看到時鐘，就會在心中形成清晰的圖像，從而更容易解決與時間相關(guān)的問題。為了加深對相關(guān)知識點的理解和認(rèn)知，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生回家后觀察鐘表以外的東西，如觀察桌子的長度和寬度，判斷其大致面積，通過測量進行驗證等。這樣，可以在學(xué)生心中形成比較穩(wěn)定的印象，數(shù)字和形狀之間有密切的關(guān)系，數(shù)字和形狀的組合，可以促進數(shù)學(xué)問題的簡化，確保良好的解決方案效果。

7.結(jié)語

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合的方式開展教學(xué)能有效解決教學(xué)重難點問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換能力、抽象思維能力，教師應(yīng)將數(shù)形結(jié)合方式熟練應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)知識，并學(xué)會運用已學(xué)知識解決問題，以此提高教學(xué)質(zhì)量，促進學(xué)生全面發(fā)展。

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本文系甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年規(guī)劃課題“數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的研究”（課題批號：LZ2020_000670）。

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