巧用放縮法證明數(shù)列不等式

董英

不等式數(shù)列證明題綜合考查了等比、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)等，難度系數(shù)較大.巧妙運(yùn)用放縮法，能使問(wèn)題快速獲解.放縮法是放大或縮小不等式范圍的方法.在證明數(shù)列不等式時(shí)，可在不等式的兩邊舍去或添加一些項(xiàng);也可放大或縮小分式的分子、分母;還可用較大（較?。┑囊蚴酱娉朔e式中的因式，使不等式的各項(xiàng)之和變?。ù螅瑥亩_(dá)到證明不等式的目的.

例1.

證明：

仔細(xì)觀(guān)察不等式，由2-1和2可聯(lián)想到 - 和 - ，于是比較三者的大小，再令 k =1，2， 3，…，n，對(duì)其進(jìn)行求和，便可利用不等式的傳遞性證明不等式成立.一般地，要證 A≤B，需尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量 C，再根據(jù)不等式的傳遞性證明 A≤ C≤B，從而證明結(jié)論.

例2.

證明：

所以不等式 è（?）1+ ?（?）n <3成立.

我們首先將不等式左邊的式子用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，然后將每一項(xiàng)中的部分因式看作小于1的進(jìn)行放縮，使不等式左邊的式子化簡(jiǎn)為++…+，再根據(jù) n！<2n -1對(duì)不等式進(jìn)行放縮，運(yùn)用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式即可證明結(jié)論.

例3.已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn =2an +（-1）n ，n ≥1.（Ⅰ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）證明：對(duì)任意的整數(shù) m >4，+ +…+ < 成立.

證明：

由于通項(xiàng)中含有（-1）n ，很難直接對(duì)其進(jìn)行放縮，需分別討論當(dāng) m >4且 m 為偶數(shù)、奇數(shù)的情況.通過(guò)添項(xiàng)、減項(xiàng)來(lái)放縮不等式，以構(gòu)造出等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式即可證明不等式成立.

在放縮的過(guò)程中，同學(xué)們要把握放縮的“度”，不可“放得過(guò)大”，也不可“縮得過(guò)小”.在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，要仔細(xì)觀(guān)察不等式的結(jié)構(gòu)特征，以明確變形、放縮、構(gòu)造的方向和目標(biāo)，然后選擇合適的方式進(jìn)行放縮，證明不等式成立.

（作者單位：陜西省漢中市南鄭區(qū)高臺(tái)中學(xué)）