數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的有效解題突破研究

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摘要：數(shù)列求和問(wèn)題是高中階段學(xué)生所要解決的一大重要問(wèn)題，如何幫助學(xué)生理解掌握數(shù)列求和常見(jiàn)的幾種方法，并讓其可以根據(jù)具體的解題情況進(jìn)行靈活選擇，就成為數(shù)學(xué)教師所要研究的內(nèi)容。本文對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的有效解題突破方法進(jìn)行了論證研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);前n項(xiàng)和;一題多解;一題多變

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列是教學(xué)的重難點(diǎn)章節(jié)，這一部分內(nèi)容在邏輯理解和分析推理方面對(duì)學(xué)生有著較高的要求，學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)解題過(guò)程中也常常會(huì)反饋數(shù)列知識(shí)難以掌握、數(shù)列題目難以解答。教師若想幫助學(xué)生解決數(shù)列問(wèn)題，就需要能從解題教學(xué)入手。筆者重點(diǎn)針對(duì)數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題進(jìn)行具體的分析研究，嘗試著提出突破方法。

一、數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的價(jià)值分析

數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題是數(shù)列問(wèn)題的重難點(diǎn)，也是高考的易考點(diǎn)，學(xué)生需要能通過(guò)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)行掌握這一類(lèi)問(wèn)題的求解方法。為了幫助學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)，達(dá)成高考的考察要求，作為高中教師就需要能?chē)@著數(shù)列前n項(xiàng)和進(jìn)行設(shè)計(jì)，構(gòu)建有效的教學(xué)方案，幫助學(xué)生掌握數(shù)列求和問(wèn)題的基本解法。

二、幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)問(wèn)題突破的方法

（一）結(jié)合教學(xué)展示，解析常見(jiàn)解題方法

在當(dāng)前，在數(shù)列求和問(wèn)題的解決上，常用的方法有六種，分別為公式法、分組化歸法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、這六種方法都可以達(dá)成數(shù)列求和問(wèn)題的解決，但其應(yīng)用情境也不同。若學(xué)生可以牢固的掌握這六種數(shù)學(xué)方法的概念及原理，并能靈活的使用其進(jìn)行解題，學(xué)生的解題能力就可以得到有效的發(fā)展。接下來(lái)，筆者將對(duì)這六種方法進(jìn)行簡(jiǎn)要解析。

1.公式法。公式法也可以被稱(chēng)為利用常用求和公式求和，這一方法是進(jìn)行數(shù)列求和問(wèn)題解決的最基本也是最重要的方法。若想實(shí)現(xiàn)這一方法的有效運(yùn)用，學(xué)生需要能對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行牢固的掌握。在教學(xué)實(shí)際中，教師就可以使用多媒體解析展示的方法，將其作為一種解題方式，為學(xué)生展示其應(yīng)用流程與注意事項(xiàng)。首先是公式的基礎(chǔ)展示，教師還要要求學(xué)生注意，在進(jìn)行等比數(shù)列前n項(xiàng)和求值時(shí)，需要特別注意公比q是否為1.如果不能確定q的值，就需要能對(duì)其進(jìn)行分情況討論。

2.分組化歸法。這一求和方法主要面對(duì)一系列特殊的數(shù)列，這些數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若直接對(duì)其進(jìn)行計(jì)算是難以得出結(jié)果的。而這些數(shù)列的特殊指出在于將其適當(dāng)拆開(kāi)時(shí)，可以將其劃分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列。此時(shí)再利用公式法將其分別求和，而后將公式相加，幾何求解出最終結(jié)果。在面向這一方法進(jìn)行展示解析時(shí)，教師可以給出題目，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析。

3.并項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。這一方法是在數(shù)列求和的過(guò)程中，將某些項(xiàng)分組合并后再轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列再求和的方法。使用這一方法進(jìn)行解題時(shí)，需要注意對(duì)所分項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行討論。教師在進(jìn)行這一解題方法的展示時(shí)，需要能給出例題，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考解題的具體流程，進(jìn)而加深學(xué)生的印象。

4.倒序相加法。該方法即教材中推理等差數(shù)列求和公式所使用的方法，從特征上來(lái)描述，可以理解為：若果一個(gè)數(shù)列，與首項(xiàng)和末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可以用把正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法被稱(chēng)為倒序相加法。從數(shù)列特征上來(lái)分析，其可以表示為a1+an=a2+an-1。

5.錯(cuò)位相減法。這一方法可以用來(lái)進(jìn)行數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列（公差不為0）和等比數(shù)列（公比不為1）.簡(jiǎn)而言之，這一方法是與解決哪些有等差和等比數(shù)列通過(guò)相乘或相除關(guān)系組成的新數(shù)列的求和問(wèn)題。

6.裂項(xiàng)相消法。這一方法的應(yīng)用是分解組合思想的應(yīng)用延伸，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)進(jìn)行分解，而后再通過(guò)組合的方式消去一些項(xiàng)，進(jìn)而達(dá)成求和的目的。在教學(xué)實(shí)際中，為了幫助學(xué)生理解掌握這一方法，教師可以為學(xué)生展現(xiàn)幫助學(xué)生進(jìn)行分析

在完成具體求和方法的展示之后，教師需要能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)六種方法進(jìn)行對(duì)比分析，研究其具體差異性，加深其認(rèn)識(shí)。

（二）精選練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生解答分析

解題是一個(gè)實(shí)踐的過(guò)程，為了幫助學(xué)生真正的掌握數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題的解答方法，教師在教學(xué)實(shí)際中需要能精選數(shù)列求和的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的解答方法進(jìn)行研究，進(jìn)而幫助其進(jìn)行掌握。在題目資源的獲取上，教師可以通過(guò)校內(nèi)資源檢索的方式將輔導(dǎo)書(shū)運(yùn)用起來(lái)，也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)檢索的方式訪問(wèn)一些資源站點(diǎn)，獲取教學(xué)所需的資源。需要注意的是，為了讓學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)到數(shù)列求和的問(wèn)題，加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，教師可以選擇一些高考題目，運(yùn)用這些題目讓學(xué)生在獲得解題能力發(fā)展的同時(shí)，認(rèn)識(shí)到高考對(duì)于數(shù)列求和問(wèn)題的考察頻次，提升學(xué)生的知識(shí)重視程度。

1.并項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。在進(jìn)行這一方法的解題運(yùn)用時(shí)，教師要能讓學(xué)生明確該方法在運(yùn)用過(guò)程中對(duì)n進(jìn)行分情況討論的必要性，可以出兩個(gè)變式題目，通過(guò)這兩個(gè)題目的解決，學(xué)生就可以實(shí)現(xiàn)并項(xiàng)轉(zhuǎn)換法的基本掌握。

2.倒序相加法。教師在進(jìn)行倒序相加法的教學(xué)時(shí)，可以先為學(xué)生展示例題，引導(dǎo)學(xué)生觀察例題的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，教師再?gòu)牡剐蛳嗉臃ǖ膽?yīng)用入手引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，分析運(yùn)用其進(jìn)行解答的方法。

3.錯(cuò)位相減法。設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

通過(guò)這一題目的展示與引導(dǎo)解答，教師就可以讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法進(jìn)行感悟，進(jìn)而達(dá)成有效的知識(shí)掌握。

4.裂項(xiàng)相消法。求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。

面對(duì)這一題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從化簡(jiǎn)入手，將這一復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為較為清晰的通項(xiàng)格式，而后再使用裂項(xiàng)相消的方法達(dá)成解答。

（三）設(shè)置一題多解，拓展學(xué)生解題思維

對(duì)于部分?jǐn)?shù)列題目而言，其可以使用多種方法進(jìn)行解答，而學(xué)生通過(guò)對(duì)多種解法進(jìn)行思考的過(guò)程，其能力也就可以得到有效的發(fā)展培養(yǎng)，解題思維也能得到拓展。相應(yīng)的，教師在教學(xué)實(shí)際中，就可以選擇一些一題多解的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行解答感悟。

綜上所述，數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題是學(xué)生所要面對(duì)的重要高考考點(diǎn)，為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)相應(yīng)內(nèi)容的突破，發(fā)展學(xué)生的能力，教師在教學(xué)實(shí)際中需要能對(duì)自己的教學(xué)做出調(diào)整，將對(duì)應(yīng)解題方法的教學(xué)重視起來(lái)。

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