數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)涵、溯源及運用

張浩

【摘 要】隨著課程標(biāo)準(zhǔn)及高考評價體系的頒布，數(shù)學(xué)文化試題在高考數(shù)學(xué)中受到廣泛關(guān)注。文章從知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個維度對兩道與圓有關(guān)的高考數(shù)學(xué)試題的內(nèi)涵進(jìn)行分析，追溯其背景，并以這兩道題為例對數(shù)學(xué)文化試題的賞析和運用進(jìn)行闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)文化試題；高考數(shù)學(xué)；割圓術(shù)；會圓術(shù)

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動［1］，并在命題原則中指出融入數(shù)學(xué)文化。在中國高考評價體系中，數(shù)學(xué)文化與理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索一同作為高考數(shù)學(xué)學(xué)科的四大學(xué)科素養(yǎng)。近年來，高考數(shù)學(xué)試題在滲透數(shù)學(xué)文化方面做出了示范，關(guān)于數(shù)學(xué)文化試題的研究也受到廣泛關(guān)注。

數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵豐富多彩，汪曉勤教授和余慶純博士基于數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分為五個維度——知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂和多元文化。知識源流指的是在某個知識點的歷史演進(jìn)過程中，涉及的人物與事件、概念與術(shù)語、問題與求解、命題與證明等；學(xué)科聯(lián)系指的是數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的密切聯(lián)系；社會角色指的是數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的價值、貢獻(xiàn)與意義；審美娛樂指的是數(shù)學(xué)美（包括對稱美、奇異美、簡潔美、統(tǒng)一美等）與趣味數(shù)學(xué)，展現(xiàn)出人類對美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、智力好奇、趣味娛樂的追求；多元文化指的是不同時期、不同文明、不同地域的數(shù)學(xué)家在同一數(shù)學(xué)課題上的貢獻(xiàn)，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動。［2-4］

圓是能展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美、體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的一個代表。在古代文明中，都可以找到對圓所蘊含的數(shù)學(xué)知識的探索，如圓（或圓弧、扇形等）的周長、面積或圓周率等。與圓、圓周率有關(guān)的試題在高考數(shù)學(xué)試卷中曾多次出現(xiàn)，如2010年湖北卷理科第7題、2017年浙江卷理科第11題、2020年北京卷第10題的命題背景與“割圓術(shù)”有關(guān)，2012年湖北卷理科第10題、2014年湖北卷理科第8題、2016年全國Ⅱ卷理科第10題與圓周率的近似值有關(guān)，2022年全國甲卷理科第8題的命題背景是“會圓術(shù)”。這些素材弘揚了我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本文借鑒上述分類框架對其中兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化高考試題的內(nèi)涵進(jìn)行分析，并對其中涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行溯源，最后對數(shù)學(xué)文化試題的賞析和運用進(jìn)行簡要闡述。

一、兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)涵

例1 （2020年北京卷第10題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（[π] Day）。歷史上，求圓周率[π]的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似。數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2[π]的近似值。按照阿爾·卡西的方法，[π]的近似值的表達(dá)式是（? ）

A. 3n[sin30°n+tan30°n]

B. 6n[sin30°n+tan30°n]

C. 3n[sin60°n+tan60°n]

D. 6n[sin60°n+tan60°n]

該題的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵豐富，以全球首個國際數(shù)學(xué)日為背景，結(jié)合中國優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“割圓術(shù)”及數(shù)學(xué)家阿爾·卡西計算圓周率的方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)“近似計算”之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育。

從知識源流方面來說，自古以來，圓周率及其計算就是數(shù)學(xué)家們研究和探索的關(guān)注點。該題以數(shù)學(xué)史作為試題背景，介紹了中外歷史上求圓周率近似值的兩種不同方式，提及了中國古代數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”，其源頭在劉徽注《九章算術(shù)》中，而阿爾·卡西的算法源自其著作《論圓周》，這兩部著作在數(shù)學(xué)史上都具有重大意義。許多著作對“割圓術(shù)”進(jìn)行了詳細(xì)的介紹［5-9］。

從社會角色方面來說，該題介紹了國際數(shù)學(xué)日。2011年3月14日，國際數(shù)學(xué)協(xié)會宣布將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)。2019年11月26日，聯(lián)合國教科文組織在第四十屆大會上正式宣布將每年的3月14日定為國際數(shù)學(xué)日。該項目由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）發(fā)起，每年確定一個主題，并號召全球在3月14日圍繞主題組織各項活動來慶祝數(shù)學(xué)帶來的樂趣。2020年3月14日是首個國際數(shù)學(xué)日，其主題是“數(shù)學(xué)無處不在”，2021年國際數(shù)學(xué)日的主題是“數(shù)學(xué)讓世界更美好”，2022年國際數(shù)學(xué)日的主題是“萬物皆數(shù)”。

從審美娛樂方面來說，圓本身就極具美感，內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形具有對稱之美，在計算過程中還有相似之美，而劉徽的“割圓術(shù)”——“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”展現(xiàn)了極限之美，阿爾·卡西用高超的運算能力構(gòu)造新的迭代算法，展現(xiàn)了計算之美。

從多元文化方面來說，該題指出了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)由公元3世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”與數(shù)學(xué)家阿爾·卡西計算圓周率的方法，既弘揚了中國傳統(tǒng)文化，又引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注世界，學(xué)習(xí)世界燦爛的數(shù)學(xué)文化。阿爾·卡西的方法是用多邊形的周長來逼近圓的周長從而計算圓周率的近似值，阿基米德也利用類似“割圓術(shù)”的方法借助多邊形的周長來求圓周率的近似值，而劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”是用圓的內(nèi)接正多邊形面積來逼近圓的面積從而計算圓周率的近似值，這也反映出在中國古代的幾何學(xué)中，重視考慮圖形的面積是一個突出的特點。數(shù)學(xué)史專家卡爾·博耶認(rèn)為阿爾·卡西在求[π]的過程中使用的求解高次方程的方法可能源于中國。此外，從圓周率近似值的計算精度來看，阿爾·卡西在約1000年之后首次打破了由祖沖之計算出[π]為3.1415926的記錄?？上У氖?，公元5世紀(jì)祖沖之所用的求法已經(jīng)散佚，李儼、錢寶琮等數(shù)學(xué)史學(xué)家認(rèn)為可能采用與劉徽“割圓術(shù)”相仿的辦法。［10］阿爾·卡西得到[π]的近似值首先是用六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)表示的，后來將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制小數(shù)。十進(jìn)制小數(shù)是中國的傳統(tǒng)，六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)則代表了巴比倫—希臘傳統(tǒng)［11］，這也反映了不同文化之間的聯(lián)系。

例2 （2022年全國甲卷理科第8題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖1，[AB]是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在[AB]上，CD⊥AB?！皶A術(shù)”給出[AB]的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+[CD2OA]。當(dāng)OA=2，∠AOB=60[°]時，s=（? ）

該題以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為試題情境，具有積極的價值導(dǎo)向，考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解與應(yīng)用能力，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，對數(shù)學(xué)應(yīng)用形成更深刻的認(rèn)知，并能進(jìn)一步幫助學(xué)生樹立民族自信心和自豪感［12］。

從知識源流方面來說，該題介紹了北宋時期科學(xué)家沈括在其晚年撰寫的科學(xué)巨著《夢溪筆談》中的一個數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)——“會圓術(shù)”，并給出了“會圓術(shù)”的現(xiàn)代表述?！皶A術(shù)”是從計算田畝出發(fā)，考慮了圓弧、弦、矢的關(guān)系，提出了我國數(shù)學(xué)史上第一個由弦和矢求弧長的簡單實用的近似公式。

從學(xué)科聯(lián)系方面來說，“會圓術(shù)”源于實際土地測量，有較大實用價值，且在天文計算中得到了應(yīng)用，是王恂、郭守敬進(jìn)一步探索圓、弧分割，開辟通往球面三角學(xué)的起點。元代郭守敬在《授時歷》中使用的“弧矢割圓術(shù)”就用到了“會圓術(shù)”。

從社會角色方面來說，沈括所著的《夢溪筆談》被譽為中國科學(xué)技術(shù)史上的坐標(biāo)，內(nèi)容豐富，包括天文、歷法、數(shù)學(xué)、音樂、物理、化學(xué)、生物、地理、地質(zhì)、氣象、建筑、水利、醫(yī)學(xué)、軍事、科技發(fā)明等。在數(shù)學(xué)方面，他從實際出發(fā)，創(chuàng)立了“隙積術(shù)”“會圓術(shù)”，并且這兩個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)在同一個筆記中。沈括影響了宋元數(shù)學(xué)的普及和提高，他創(chuàng)立的“隙積術(shù)”是楊輝、朱世杰發(fā)展高階等差數(shù)列求和的高次招差法的開端。

二、兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的溯源

1. 重訪阿爾·卡西的算法

2020年北京卷第10題介紹了阿爾·卡西計算圓周率的方法，那么他到底是怎樣計算圓周率的？阿爾·卡西在計算圓周率時是否使用了三角函數(shù)？他把圓周率計算到多少位有效數(shù)字？在回答這些問題之前，我們首先簡單了解一下這位數(shù)學(xué)家。阿爾·卡西是15世紀(jì)初偉大的數(shù)學(xué)家，對數(shù)學(xué)和天文學(xué)都做出了重要的貢獻(xiàn)。值得提及的是，他于1427年撰寫的著作《算術(shù)之鑰》中也出現(xiàn)了大家熟知的“賈憲—楊輝三角”，并且在歷史上首次給出了余弦定理的現(xiàn)代表述。

阿爾·卡西在其1424年完成的著作《論圓周》中，使用單位圓中互為相似的圓內(nèi)接正3[×]228邊形和外切正3[×]228邊形的周長的算術(shù)平均值作為單位圓周長的近似值，這個值是[2π]的近似值，其計算過程依賴于一個迭代公式和開方算法，并非直接使用正弦函數(shù)和正切函數(shù)。在該書的第8節(jié)，阿爾·卡西給出了[2π]的近似值（6.2831853071795865）除以2得到圓周率[π=]3.1415926535897932，精確到小數(shù)點后16位。他給出的這個近似值比之前的數(shù)學(xué)家給出的更為精確，他還使用六十進(jìn)制和十進(jìn)制的形式給出了[2π]的近似值。

在西方，阿基米德就使用圓內(nèi)接多邊形和圓外切多邊形的周長逼近圓周的方法來計算圓周率的近似值。與阿基米德不同的是，阿爾·卡西用幾何方式得到一種新的迭代算法，用現(xiàn)代符號表述如下。

如圖2，已知圓的直徑為AB，O為圓心，G0為半圓[AB]上一點，G1是弧[G0B]的中點，記半徑為r，則有AG12=r（2r+AG0）。

如圖3，若G2是弧[G1B]的中點，G3是弧[G2B]的中點，G4是弧[G3B]的中點，…，如此可以一直繼續(xù)下去使得Gn無限逼近點B，且弦AG1，AG2，AG3，…依次求出。在阿爾·卡西的著作《論圓周》中，迭代運算是從圓內(nèi)接正6邊形開始的。首先設(shè)弦AG0是圓內(nèi)接正6邊形的一條邊，在半徑為r的圓中，AG0=r，由此可用上面的方法依次迭代求出AG1，AG2，AG3，…的長度。如圖4，BG0，BG1，BG2，…恰好是圓內(nèi)接正三角形、圓內(nèi)接正六邊形、圓內(nèi)接正十二邊形…的邊長，這可以通過勾股定理得出，將其乘以邊數(shù)就得出圓內(nèi)接正多邊形的周長。當(dāng)Gn無限逼近B時，相應(yīng)的內(nèi)接正多邊形的周長越接近圓的周長。

根據(jù)阿爾·卡西的著作，他預(yù)設(shè)了所要求的圓周率的精度要求，即若有一個直徑為地球直徑600000倍的假想圓，使得通過此直徑所求得的圓周長與真實值之間的誤差小于一根馬鬃的粗細(xì)。通過推算，阿爾·卡西得到如果用半徑為1的單位圓計算出滿足上述要求的圓周率必須精確到六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)值的第9位，即60-9（相當(dāng)于10-16），在計算單位圓的內(nèi)接正3[×2n]邊形的邊長[22-2+…+2+32]時，阿爾·卡西指出得到每次開方都需要精確到60-18，隨后連續(xù)進(jìn)行28次開方運算，相當(dāng)于利用正3[×228]邊形來逼近圓周［13］。

我們可以追隨阿爾·卡西的算法思想，借助現(xiàn)代計算工具計算[π]的近似值，體驗數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的樂趣。通過Python3進(jìn)行編程，在十進(jìn)制下，因為lg60-18=-18lg60[≈]-32.006，所以每次開方需要的精確度為小數(shù)點后33位。當(dāng)n=28時，程序給出的運算結(jié)果為3.141592653589793221349237925199738，

小數(shù)點后前16位均正確，與阿爾·卡西給出的結(jié)果[π][≈]3.1415926535897932一致。

盡管用這種方法求圓周率近似值的效率比不上使用收斂級數(shù)算法的效率，但從歷史上看，圓周率的級數(shù)表達(dá)在16世紀(jì)末才由韋達(dá)首次提出，而阿爾·卡西的算法是利用經(jīng)典幾何與精巧開方算法進(jìn)行計算的集大成者。這里依據(jù)史料用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言對算法的原理進(jìn)行了“再創(chuàng)造”，借助信息技術(shù)重現(xiàn)了迭代算法。在教學(xué)中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對類似問題進(jìn)行探究，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的樂趣，積累基本活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生初步感受數(shù)值逼近這一數(shù)學(xué)思想，感悟?qū)W科魅力。

2.重訪沈括的“會圓術(shù)”

我國古代對圓的研究有輝煌的成就，沈括的“會圓術(shù)”給出了求弧長的近似公式，為我國古代數(shù)學(xué)增添了新的光彩。“會圓術(shù)”給出的近似公式是如何得到的呢？我們先看以下內(nèi)容。［14］

……履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術(shù)。凡圓田既能拆之，須使會之復(fù)圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。予別為拆會之術(shù)：置圓田，徑半之以為弦；又以半徑減去所割數(shù)，余者為股；各自乘，以股除弦，余者開方除為句；倍之，為割田之直徑。以所割之?dāng)?shù)自乘，倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。假令有圓田，徑十步，欲割二步，以半徑為弦，五步自乘得二十五，又以半徑減去所割二步，余三步為股，自乘得九，用減弦外，有十六，開平方，除得四步為句，倍之，為所割直徑，以所割之?dāng)?shù)二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數(shù)，無可除，只用四尺加入直徑，為所割之孤，凡得圓弧八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步，求弧數(shù)，則當(dāng)折半，乃所謂以圓徑除之也。

此二類皆造微之術(shù)，古書所不到者，漫志于此。

上述文字可分三節(jié)：第一節(jié)是介紹“會圓術(shù)”的研究背景，第二節(jié)是敘述“會圓術(shù)”，第三節(jié)是給出“會圓術(shù)”的一個例子。

如圖6，所割數(shù)（弓形的高，即“矢”）為h=CD，圓徑（圓的直徑）為d，割田之直徑（弓形的底，即常說的“弦”）為b=AB，割田之弧為s=[AB]，則“會圓術(shù)”得到的兩個公式為b=[2d22-d2-h2]，[s≈]b+[2h2d]。沈括在書中沒有給出這兩個公式究竟是如何得到的，但我們可以推測他的想法如下［15］。

第一個公式b=[2d22-d2-h2]就是勾股定理，在《九章算術(shù)》中出現(xiàn)過已知弓形的底（“弦”b）和弓形的高（“矢”h）求圓的直徑d的公式d=[b22h]+h，這里考慮的是其“反問題”：已知圓的直徑d和弓形的高（“矢”h），求弓形的底（“弦”b）。

第二個公式[s≈]b+[2h2d]的主要思想是以直代曲，考慮弓形ADB，古代這種形狀的田地也被稱為“弧田”，《九章算術(shù)》第一章就記載了計算弧田面積的“弧田術(shù)”：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一，即S弓形ADB[≈][12bh+h2]。這個公式是經(jīng)驗近似公式，劉徽給出了這個公式的解釋，即用圓內(nèi)接正十二邊形的面積代替圓的面積進(jìn)行近似計算，假設(shè)直徑為d的圓的外接正方形的面積為S外，其內(nèi)接正十二邊形的面積為S內(nèi)，因為S內(nèi)[∶]S外=3[∶]4（可通過出入相補原理來得到，劉徽在注《九章算術(shù)》中提到的“析理以辭，解體用圖”正是數(shù)形結(jié)合方法的思想精髓，圖7只給出一種方式），而S外=[d2]，所以S內(nèi)=[34d2]。

因此，半個內(nèi)接正十二邊形的面積為[12][×][34d2]，這又可以寫成[12d×d2+d22]，將弧田近似看作是半圓時，把d當(dāng)作b，[d2]當(dāng)作h，就得到了弧田面積的近似公式S弓形ADB[≈][12bh+h2]。當(dāng)然，劉徽知道這種算法誤差較大，他又創(chuàng)造了新的算法，用類似“割圓術(shù)”中的極限思想來求弧田的面積。

我們將原文的表述用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言進(jìn)行重述，在追溯背后的想法時，不難看出中國古代數(shù)學(xué)的一脈相承，尤其是可以看到古人對圓的不同角度的認(rèn)識和應(yīng)用。此外，我們還能感受到沈括的創(chuàng)新思維：既然知道能從圓割出弓形，由弓形的弦和矢可以計算出圓的直徑，那么就可以反過來從圓的直徑和弓形的矢求出弓形的弦。他從反面考慮“拆”與“會”的關(guān)系，通過逆向思考發(fā)現(xiàn)了“會圓術(shù)”，對后續(xù)的中國古代天文學(xué)發(fā)展起到了重要作用。

三、數(shù)學(xué)文化試題的欣賞與運用

1. 欣賞數(shù)學(xué)文化試題的三階段

好的數(shù)學(xué)文化試題如夜空中的星光，倘若投射在“題?！敝校瑫l(fā)顯得明亮而耀眼。猶如康德的認(rèn)識三階段，欣賞這些試題也有不同層次的意趣。第一層是感性：直觀了解、感受其中的數(shù)學(xué)文化事實，對所涉及的背景有初步認(rèn)識，是認(rèn)識下一層次的基礎(chǔ)；第二層是知性：運用數(shù)學(xué)思維對材料進(jìn)行推理分析，對其中的數(shù)學(xué)原理或背景有較深入的認(rèn)識，能解決題目中的問題，這一層也是此類試題的考查重點；第三層是理性：這是更高一級的認(rèn)識，與以有限的和有條件的事物為對象的知性所不同，理性以無限的和無條件的事物為對象，它具有窮根究底的本性，這一層次意味著要主動探究文化背景中深層次的內(nèi)涵，在探究時可以向各方向延伸，能發(fā)現(xiàn)和提出新的問題，并能通過質(zhì)疑、反思，運用批判性思維、創(chuàng)造性思維等分析問題和解決問題，從而對相關(guān)的數(shù)學(xué)文化形成更全面的認(rèn)識，感悟其科學(xué)價值、美學(xué)價值、人文價值，這也是數(shù)學(xué)教育的一項重要任務(wù)。而這正是數(shù)學(xué)文化最主要的內(nèi)涵［16］——一種理性思維方式在實踐過程中的不斷探索，形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用。

一些賞析數(shù)學(xué)文化試題的論文大多偏向于對試題特征的分類統(tǒng)計，對試題的評析多與解題相關(guān)，提及的背景比較簡略，對涉及的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的認(rèn)識還有待加深，多處于感性和知性階段。部分師生會誤認(rèn)為數(shù)學(xué)文化試題中的數(shù)學(xué)文化僅是“穿靴戴帽”“貼標(biāo)簽”，去掉它們也不影響解題，進(jìn)而輕視題目背后的深刻用意。希望前文對這兩道與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)涵闡述和溯源能啟發(fā)大家將欣賞數(shù)學(xué)文化試題的感性和知性上升為對其豐富內(nèi)涵的理性思考。

2.對運用數(shù)學(xué)文化試題的思考

數(shù)學(xué)文化要從多個方面融入課堂教學(xué)和評價等環(huán)節(jié)。課堂教學(xué)中運用數(shù)學(xué)文化試題，在認(rèn)識上要避免“狹隘化”，不能“重解題、輕素養(yǎng)”；在教學(xué)設(shè)計時避免“點綴化”，不要把數(shù)學(xué)文化當(dāng)成識記的知識或僅有圖片、故事的“點綴”；在設(shè)計活動時避免“孤立化”，類似的問題可以整合在一起呈現(xiàn)，課堂上未解決的問題也可以延伸至課后。

教師應(yīng)精選、研究可供課堂使用的數(shù)學(xué)文化試題，關(guān)注知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個維度，從感性、知性、理性三個層次鑒賞問題，在閱讀文獻(xiàn)的過程中積累素材，將背景相似或有聯(lián)系的內(nèi)容整合在一起形成專題或單元，整體規(guī)劃進(jìn)行主題式學(xué)習(xí)和探究。在課堂教學(xué)時，基于問題創(chuàng)設(shè)情境，豐富和拓展數(shù)學(xué)文化試題的內(nèi)容，結(jié)合教材，將學(xué)科知識和技能融入其中，關(guān)注其中的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新設(shè)計“啟發(fā)式”“開放式”的學(xué)習(xí)探究問題、活動、任務(wù)、項目，供學(xué)生經(jīng)歷和體驗。此外，還應(yīng)突破課堂的時空限制，鼓勵學(xué)生基于試題進(jìn)行主題化、項目式的學(xué)科融合的小組合作學(xué)習(xí)，通過查閱資料，從各個角度對其中蘊含的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行深入探索。例如，基于阿爾·卡西計算圓周率的題目，教師可以讓學(xué)生了解阿爾·卡西算法中蘊含的數(shù)學(xué)思想，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言、現(xiàn)代計算工具在短時間內(nèi)重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生親自體驗做數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的熱情，還可以向?qū)W生展示中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和西方數(shù)學(xué)在計算[π]的過程中經(jīng)歷的演變過程，從而認(rèn)識到這并非是某個人靈感閃現(xiàn)的結(jié)果，了解中外不同地區(qū)、不同時期的多元數(shù)學(xué)文化。在學(xué)習(xí)弧長公式時，教師可以介紹沈括的“會圓術(shù)”，由此可以引出劉徽的“割圓術(shù)”等，讓學(xué)生直觀感受我國古代數(shù)學(xué)家探究問題和解決問題的過程，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨特的數(shù)學(xué)智慧，體會一代代數(shù)學(xué)家的追求精神，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

四、結(jié)語

在題目的探究過程中挖掘數(shù)學(xué)文化，在知識的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)文化，可以讓學(xué)生消除“數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)大師的深邃智慧，普通人無法輕易掌握”的誤解。對新穎的數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行溯源時，教師應(yīng)與學(xué)生共同研究、互相啟發(fā)，體驗做數(shù)學(xué)的快樂。希望更多教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化試題，充分發(fā)揮其育人功能，引導(dǎo)學(xué)生欣賞和探索數(shù)學(xué)，在文化氣息中品悟數(shù)學(xué)味道，提高數(shù)學(xué)審美，豐富數(shù)學(xué)想象力，激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）